行列式克萊姆法則

用消元法解二元線性方程組一、二階行列式的引入方程組的解為由方程組的四個系數(shù)確定,且為一個數(shù).

由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義即主對角線次對角線對角線法則二階行列式的計算若記對于二元線性方程組系數(shù)行列式二、三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.(1)沙路法三階行列式的計算.列標(biāo)行標(biāo)(2)對角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號．說明1

對角線法則只適用于二階與三階行列式．

2.三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負(fù).例２

解按對角線法則，有例3解方程左端補充定義一階行列式為：觀察：有什么特點？2.類似地，定義四階行列式為：3.由歸納法，從上面可以看出，可以給出任意階行列式的定義：(1)（余子式的定義）設(shè)n-1階方陣的行列式已經(jīng)定義，對于n階方陣去掉A的第i行和第j列，其余元素不動所構(gòu)成的n-1階方陣的行列式稱為元素的余子式。如：解：(2)n階行列式|A|的定義：規(guī)定n階行列式|A|為下式的值：記為：（也將|A|記為D或Dn）。也稱之為行列式|A|按第一行的展開式。例2.計算下列行列式：解：按第一行展開有結(jié)論：下三角行列式（或?qū)切辛惺剑┑闹?，等于它的主對角線上的元素的乘積。二、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.例如數(shù)乘行列式等于數(shù)乘行列式的某一行(列）的所有元素。證明則D等于下列兩個行列式之和：例如性質(zhì)7

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如例１二、應(yīng)用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．解說明：利用性質(zhì)7，可將行列式化為上三角行列式所有列的元素之和相等所有列的元素之和相等三.行列式按行（列）展開定理及其推論

n階行列式|A|的元素的余子式為，令：叫做的代數(shù)余子式。按第i行展開按第j列展開說明：利用此性質(zhì)，可對行列式進行降階運算----稱之為降階法。選取零元素較多的行（列）展開定理1.3n階行列式|A|的值等于它的任一行（列）的元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。即：例1

證用數(shù)學(xué)歸納法例2證明范德蒙德(Vandermonde)行列式n-1階范德蒙德行列式推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證同理相同關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)例3

計算行列式解按第一行展開，得例４計算行列式解四.方陣乘積的行列式定理兩個n階方陣A與B乘積的行列式等于這兩個方陣的行列式的乘積，即|AB|=|A||B|推論1設(shè)A1，A2，…，Am是m個n階方陣，則|A1A2…Am|=|A1||A2|…|Am|定義11.9如果|A|0，則稱n階方陣A為非奇異方陣，否則稱為奇異方陣。推論2設(shè)A，B是兩個n階方陣，則AB為奇異方陣的充分必要條件是A，B中至少有一個是奇異方陣。方陣A的行列式|A|的運算性質(zhì)：例4：小結(jié)(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立).

計算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．行列式的6個性質(zhì)3.行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具.

思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和思考題解答解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成設(shè)線性方程組則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時稱方程組為齊次線性方程組.非齊次與齊次線性方程組的概念五、克萊姆法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為二、重要定理定理1

如果線性方程組的系數(shù)行列式則一定有解,且解是唯一的.定理2

如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.齊次線性方程組的相關(guān)定理定理如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式則齊次線性方程組沒有非零解.定理如果齊次線性方程組

有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.有非零解.系數(shù)行列式例1