分形理論的發(fā)展及其研究前景111

分形理論的發(fā)展及其研究前景摘要：分形理論是現(xiàn)代非線性科學(xué)中的一個重要的分支，是科學(xué)研究中一種重要的數(shù)學(xué)工具和手段,分形理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是分形幾何。本文介紹了分形理論的創(chuàng)始、發(fā)展、應(yīng)用領(lǐng)域、研究前景，并且給出了經(jīng)典分形圖形如Koch曲線、Seirpniski縷墊的分形維數(shù)值。關(guān)鍵詞：分形理論；分形幾何；自相似性；分形維數(shù)引言歐氏幾何、三角學(xué)、微積分學(xué)使我們能夠用直線、圓、拋物線等其他簡單曲線來建立現(xiàn)實(shí)世界中的形狀模型。而在自然界中存在著大量的復(fù)雜事物：變幻莫測的云彩、雄渾壯闊的地貌、回轉(zhuǎn)曲折的海岸線、動物的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、不斷分叉的樹枝、縱橫交流的血管、燒結(jié)過程中形成的各種尺寸的聚積團(tuán)等等。面對這些事物和現(xiàn)象，傳統(tǒng)科學(xué)顯得束手無策。因?yàn)槟壳斑€沒有哪一種幾何學(xué)能更好地描述自然形態(tài)，象山、云、火這類的自然形態(tài)尚缺少必要的數(shù)學(xué)模型。近30年來，科學(xué)家們朦朧地“感覺”到了另一個幾何世界，即關(guān)于自然形態(tài)的幾何學(xué)，或者說分形幾何學(xué)。這種幾何學(xué)把自然形態(tài)看作是具有無限嵌套層次的邏輯結(jié)構(gòu)，并且在不同尺度之下保持某種相似的屬性，例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)不變。于是在變換與迭代的過程中得到描述自然形態(tài)的有效方法(其中L系統(tǒng)和IFS方法便是典型的代表)1［。］分形理論是非線性科學(xué)的一個重要分支，主要研究的就是自然界和非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的不光滑和不規(guī)則的具有自相似性且沒有特征長度的形狀和現(xiàn)象。二、分形理論的創(chuàng)始和發(fā)展“分形”(fractal)一詞由美籍法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特(BenoitB.mandelbrot)教授在1975年首次提出，其源于拉丁文fractus，原意為“分?jǐn)?shù)的，不規(guī)則的，破碎的”我們通常以曼德爾布羅特發(fā)表在1967年《科學(xué)》雜志上的“英國的海岸線有多長?統(tǒng)計自相似性與分?jǐn)?shù)維數(shù)”一文作為“分形”學(xué)科誕生的標(biāo)志。分形理論的發(fā)展大致可分為三個階段1［：］第一階段為1875年至1925年，在此階段人們已認(rèn)識到幾類典型的分形集，并且力圖對這類集合與經(jīng)典幾何的差別進(jìn)行描述、分類和刻畫。1872年，維爾斯特拉斯(Weieratrass)證明了一種連續(xù)函數(shù)———維爾斯特拉斯函數(shù)(圖1)在任意一點(diǎn)均不具有有限或無限導(dǎo)數(shù)。同年，康托爾(Cantor)引入了一類全不連通的緊集，被稱為康托爾三分集(圖2)。1890年皮亞諾(Peano)構(gòu)造出填充平面的曲線(圖3)。皮亞諾曲線以及其它的例子導(dǎo)致了后來拓?fù)渚S數(shù)的引入。1904年科切(Koch)通過初等方法構(gòu)造了處處不可微的連續(xù)曲線科切曲線(圖2.4)，并且討論了該曲線的性質(zhì)。波瑞(Perrin)在1913年對布朗運(yùn)動的軌跡圖進(jìn)行了深入的研究，明確指出布朗運(yùn)動作為運(yùn)動曲線不具有導(dǎo)數(shù)。他的這些論述在1920年促使維納(Wiener)建立了很多布朗運(yùn)動的概率模型。為了表明自然混亂的極端形式，維納采用了“混沌”一詞。由于非?！皬?fù)雜”的幾何的引入，長度、面積等概念必須重新認(rèn)識。為了測量這些集合，閔可夫斯基(Minkowski)于1901年引入了閔可夫斯基容度。豪斯道夫(Hausdorff)于1919年引入了豪斯道夫測度和豪斯道夫維數(shù)。這些實(shí)際上指出了為了測量一個幾何對象，必須依賴于測量方式以及測量所采取的尺度?？傊?，在分形理論發(fā)展的第一階段，人們已經(jīng)提出了典型的分形對象及其相關(guān)問題并為討論這些問題做了最基本的工作。第二階段大致為1926年到1975年，人們在分形集的性質(zhì)研究和維數(shù)理論的研究都獲得

了豐富的成果。貝希柯維奇(Besicovitch)及其他學(xué)者的研究工作貫穿了第二階段。他們研究曲線的維數(shù)、分形集的局部性質(zhì)、分形集的結(jié)構(gòu)、S-集的分析與幾何性質(zhì)、以及在數(shù)論、調(diào)和分析、幾何測度論中的應(yīng)用。布利干(Bouligand)于1928年引入了布利干維數(shù)，龐德澤金(Pontrjagin)與史尼雷爾曼(Schnirelman)于1932年引入了覆蓋維數(shù)，柯爾莫哥洛夫(Kolmogorov)與季霍米洛夫(VTikhomirov)于1959年引入體維數(shù)。由于維數(shù)可以從不同角度來刻畫集合的復(fù)雜性，從而起了重要作用。以塞勒姆(Salem)與柯漢(Kahane)為代表的法國學(xué)派從稀薄集的研究出發(fā)，對各種類型的康托爾集及稀薄集作了系統(tǒng)的研究，應(yīng)用了相應(yīng)的理論方法和技巧，并在調(diào)和分析理論中得到了重要應(yīng)用。(1)維爾斯特拉斯函數(shù)Weierstrasfunction，1872年2)康托爾三分集(德國，1883年)E(JElIlliIIIIIIIIHiiHH11iiiiiiF年)2)康托爾三分集(德國，1883年)E(JElIlliIIIIIIIIHiiHH11iiiiiiF年)盡管此階段的分形研究成果頗豐，但絕大部分局限于純數(shù)學(xué)理論的研究，而未與其它學(xué)科發(fā)生聯(lián)系。另一方面，物理、地質(zhì)、天文學(xué)和工程學(xué)等學(xué)科已產(chǎn)生了大量與分形幾何有關(guān)的問題，迫切需要新的思想與有利的工具來處理。正是在這種形勢下，曼德爾布羅特以其獨(dú)特的思想,自20世紀(jì)60年代以來，系統(tǒng)、深入、創(chuàng)造性地研究了海岸線的結(jié)構(gòu)、具強(qiáng)噪聲干擾的電子通訊、月球的表面、銀河系中星體的分布、地貌生成的幾何性質(zhì)等典型的自然界的分形現(xiàn)象，并取得了一系列令人矚目的成就。第三階段為1975年至今，是分形幾何在各個領(lǐng)域的應(yīng)用取得全面發(fā)展，并形成獨(dú)立學(xué)科的階段。曼德爾布羅特于1977年以《分形：形、機(jī)遇和維數(shù)》為名發(fā)表了他的劃時代的專著此專著，第一次系統(tǒng)的闡述了分形幾何的思想、內(nèi)容、意義和方法。此專著的發(fā)表標(biāo)志著分形幾何作為一個獨(dú)立的學(xué)科正式誕生，從而把分形理論推進(jìn)到一個更為迅猛發(fā)展的新階段。5年后，他又出版了另一部著作《自然界的分形幾何學(xué)》，至此分形理論初步形成。由于對科學(xué)的杰出貢獻(xiàn)，他榮獲了1985年的Barnard獎?，F(xiàn)在“分形”的研究已經(jīng)進(jìn)入了一個深入攻堅(jiān)與廣泛應(yīng)用的階段。但是“分形”理論的研究卻存在很大的缺陷，例如：分形嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義是什么？應(yīng)該如何對分形進(jìn)行簡單的計算？重要的生長模型-擴(kuò)散置限凝聚生長模型DLA(DiffusionLimitedAggregation)的物理本質(zhì)是什么，它究竟是按什么規(guī)律在進(jìn)行生長等。由于非線性數(shù)學(xué)工具的匱乏，我們在很多問題上都無法做出定量的刻畫，目前大量的工作還是以計算機(jī)模擬為主。三、分形定義及分形維數(shù)分形的數(shù)學(xué)定義曼德爾布羅特對所謂“分形”曾有過以下幾種定義：1?分形是這樣一個集合，其豪斯道夫維Df嚴(yán)格大于拓?fù)渚SDt，即［2］，這就是曼德爾布羅特最初的定義?？紤]到對普遍的規(guī)則幾何對象，所以，后來把分形定義成使不等式成立的幾何對象。集合的拓?fù)渚S數(shù)總是非負(fù)整數(shù)：點(diǎn)是0維，線是1維，面是2維，于是國內(nèi)常常采用“分?jǐn)?shù)維”這一說法，實(shí)際上，非整數(shù)維比分?jǐn)?shù)維的說法稍好些，因?yàn)楹浪沟婪蚓S數(shù)常常是無理數(shù)。2?其組成部分以某種方式與整體相似的形體叫分形⑶。自相似集是研究得最多最透徹的一類分形集。這類分形集的特征是局部與整體相似。換句話說，若適當(dāng)放大尺度，則任何一個局部都可以與整體重合。按集合論的語言：若一有界集合，包含N個不相重疊的子集，當(dāng)其放大或縮小r倍后，仍與原集合疊合，則稱為自相似集合。自相似集是分開集，換句話說，具有自相似性的系統(tǒng)叫做分形。當(dāng)放大或縮小的倍數(shù)不是一個常數(shù)，而必須是的各種不同倍數(shù)去放大或縮小各子集，才能與原集合重合時，稱為自仿射集合，具有自仿射性的系統(tǒng)也叫做分形。3?分形是線性變換下的不變性［4］。分形的性質(zhì)描述定義目前對分形并沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，只能給出描述性的定義。粗略地說，分形是沒有特征長度，但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的總稱。英國數(shù)學(xué)家肯尼斯?法爾科內(nèi)(KennethJ.Falcone)r在其所著《分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用》一書中認(rèn)為⑸，對分形的定義，可以用生物學(xué)中對“生命”定義的辦法。即不尋求分形的確切簡明的定義，而是尋求分形的特性，按這種觀點(diǎn)，稱集合F是分形，是指它具有下面典型的性質(zhì)：F具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即在任意小的尺度下，它總有復(fù)雜的細(xì)節(jié)。F是不規(guī)則的，其整體和局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述；傳統(tǒng)的幾何語言，如歐幾里德幾何語言，只能對那些平滑的直線或曲線進(jìn)行測量和描述，對分形這種處處不連續(xù)或處處連續(xù)但又處處不光滑的圖形是無法測量和描述的。F通常具有自相似形式，這種自相似可以是近似的或是統(tǒng)計意義的；4?一般情況下，F(xiàn)在某種方式下定義的分形維數(shù)大于它的拓?fù)渚S數(shù)；這是曼德爾布羅特于1982年為分形所下的定義。分形維數(shù)是度量分形集復(fù)雜程度的一個量，它可以是整數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。而拓?fù)渚S數(shù)值恰恰是與組成分形的基本單元的歐氏維數(shù)值相同，那么分形維數(shù)大于它的拓?fù)渚S數(shù)，正好說明了分形用傳統(tǒng)幾何學(xué)來度量的話，它是個無限集，是一個趨向無窮的集合。5?在大多數(shù)情形下，F(xiàn)以非常簡單的方法確定，可能由迭代過程產(chǎn)生。分形的貌似復(fù)雜的解雇，其實(shí)是利用非常簡單的規(guī)則反復(fù)迭代生成的。就像曼德爾布羅特集（圖3.1，C語言編程生成，代碼略）這個被稱為數(shù)學(xué)中最復(fù)雜的集合對象的分形，在電腦中只需要二三十個語句的程序就可生成，而它的規(guī)則也簡單的令人吃驚：，只不過這里的和都是復(fù)數(shù)。另外，還應(yīng)該注意到，分形是自然形態(tài)的幾何抽象，如同自然界找不到數(shù)學(xué)上所說的直線和圓周一樣，自然界也不存在“真正的分形”。從背景意義上看，說分形是大自然的幾何學(xué)是恰當(dāng)?shù)?。（三）自相似性與分形維數(shù)1?自相似性⑴自相似性是大多數(shù)分形圖形所具有的性質(zhì)，它們建立在塊與整個集合是幾何相似但尺度更小些的基礎(chǔ)上。一個映射被稱為壓縮的，若對一切，有，其中。顯然，壓縮映射都是連續(xù)的。我們稱使得一切，使不等式都成立的C值的下確界為壓縮比。若一個壓縮映射把中任何一個子集都變換成為一個幾何相似集，則稱它為一個相似。因此，一個相似是一個伸縮、一個旋轉(zhuǎn)、一個平稱和一個可能的反射的集合，比率就是相似的尺度因子。即無論將圖形全體分割成幾部分，分割后的各部分均和原形相似，具有相似性質(zhì)的圖形稱為“自相似圖形”。2?分形維數(shù)維數(shù)是幾何學(xué)和空間理論的基本概念，它源于經(jīng)典的歐氏空間。在歐氏空間中，直線所構(gòu)成的空間是一維的，平面是二維的，普通（立體）空間是三維的。人們稱這種維數(shù)為經(jīng)典維數(shù)或是歐氏維數(shù)［3］，它必須是整數(shù)。歐氏幾何研究的是規(guī)則而光滑的對象,但自然界中更多的是既不規(guī)則又不光滑的研究對象。如果要問雪花、云彩、山脈、江河、樹枝、花朵、以及漩渦等復(fù)雜的自然構(gòu)形的維數(shù)是多少，用經(jīng)典維數(shù)是難以區(qū)別它們的復(fù)雜程度的。在分形幾何中，度量兩個分形集合的“不規(guī)則”程度和“復(fù)雜”程度的客觀工具是分形維數(shù)。目前，對分形維數(shù)的定義很多，如：豪斯道夫維數(shù)、相似維數(shù)、容量維數(shù)、信息維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)等。有著不同定義的分形維數(shù)，描述分形集的角度也是不同的。在一般情況下，它是一個分?jǐn)?shù)。當(dāng)然，它可以是整數(shù)也可以是非整數(shù)。例如，自然界的山，其分形維數(shù)在2.2維左右，但從2.1維到2.5維畫出來的都有一定的山的效果。由于分形客體具有自相似性，所以很自然想到通過對客體的相似維數(shù)來對它進(jìn)行描述。對于某分形集S,若其局部與整體相似，只要將局部放大一定倍數(shù)總可以得到與整體一致的圖形，稱之為自相似集。對自相似集S來說，定義所謂相似維數(shù)為：，其中N是組成S的相似子集的個數(shù)，C為相似比例系數(shù)。按此定義，若S為一直線段，那么它可看作是由比例系數(shù)為的K個直線段構(gòu)成的，于是，。若S是個正方形，它可看作是由比例系數(shù)的K2個與之相似的小正方形構(gòu)成的，那么。也就是說，相似維數(shù)在這種特例之下與通常維數(shù)概念是一致的。相似維數(shù)對具有嚴(yán)格自相似性質(zhì)的結(jié)構(gòu)是好用的。若生成元固定不變，計算相似維數(shù)十分容易。瑞典數(shù)學(xué)家科切設(shè)計出“魔鬼曲線”-科切曲線（圖2.4）?？魄星€在許多方面的性質(zhì)與三分Cantor集相似，它由四個與總體相似的“四分之一”部分組成。但比例系數(shù)為1/3。圖3.2中的曲線稱之為三次科切曲線，按相似維數(shù)的計算公式，由于，可求得它的相似維數(shù)：。四次科切曲線（如圖3.3）的相似維數(shù)為：。又例如將一個等邊三角形四等分，得到四個小等邊三角形，去掉中間的一個，保留它的三條邊。將剩下的三個小等邊三角形再分別進(jìn)行四等分，并分別去掉中間的一個，保留它們的邊。重復(fù)操作直至無窮，就可以得到如圖3.4所示的圖形，人們稱這樣的集合為謝爾賓斯基縷墊。該集合的面積是零，而線的歐氏長度趨于無窮大。因?yàn)?，所以相似維數(shù)為：。四、分形理論的應(yīng)用及研究前景雖然分形是近30年才發(fā)展起來的一門新興學(xué)科，但它已經(jīng)激起了多個領(lǐng)域科學(xué)家的極大興趣，其應(yīng)用探索遍及數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、材料科學(xué)、生物與醫(yī)學(xué)、地質(zhì)與地理學(xué)、地震和天文學(xué)、計算機(jī)科學(xué)乃至經(jīng)濟(jì)、社會等學(xué)科，甚至藝術(shù)領(lǐng)域（美術(shù)、音樂方面）也有它的應(yīng)用。國際學(xué)術(shù)期刊“混沌、孤子和分形”（Chaos,SolitonsandFractals）和“分形學(xué)”（Fractals-AnInterdisciplinaryJournalontheComplexGeometryofNature）先后于1991年和1993年正式創(chuàng)刊。人們把分形與耗散結(jié)構(gòu)及混沌理論共稱為20世紀(jì)70年代中期科學(xué)上的三大重要發(fā)現(xiàn)。美國著名科學(xué)家約翰?惠勒（JohnA.Wheeler）說過“可以相信，明天誰不熟悉分形，誰就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人”。但是，這些年來關(guān)于分形的爭論也很多。特別是1988年以來，曼德爾布羅特與數(shù)學(xué)家克蘭茨（StevenGKrantz）—直在為分形的價值爭論不休。克蘭茨認(rèn)為“，對分形一詞沒有明確的定義，作為一個數(shù)學(xué)家，我覺得這不是一個好兆頭”。而曼德爾布羅特則認(rèn)為，分形工作是充滿想象力、具有挑戰(zhàn)性的，這方面的研究加深了我們對自然的理解，而不應(yīng)該局限于證明幾個定理。一般地說，下列問題需要人們花精力和時間深入進(jìn)行研究［6］。（一）如何判斷一個對象是分形或多重分形（二）分形維數(shù)的物理意義數(shù)學(xué)對自然現(xiàn)象的研究主要注重于形式上規(guī)律性的描述，即不考慮自相似結(jié)構(gòu)內(nèi)部的現(xiàn)實(shí)的相互作用，它可以為自相似現(xiàn)象提供一個檢驗(yàn)方法，如是否存在無標(biāo)度區(qū)，但無法找到形成自相似現(xiàn)象的物理原因。正像曼德布羅特本人所承認(rèn)的，他的計劃的優(yōu)點(diǎn)在于描述世界而不是解釋世界，所以分形語言還不具備物理的意義。分形維數(shù)是描述分形特征的定量參數(shù)。但如何理解分維確切的物理意義，這是人們經(jīng)常提出的問題。在材料科學(xué)中，發(fā)現(xiàn)分維與材料的某些性參數(shù)有關(guān)；在化學(xué)領(lǐng)域，發(fā)現(xiàn)分維同催化劑的催化性和選擇性有關(guān)。但是，分維能否作為一個獨(dú)立參數(shù)存在，現(xiàn)在還不清楚。（三）分形的動力學(xué)機(jī)制分形理論主要致力于形態(tài)的描述（當(dāng)然也對過程進(jìn)行一些分析），對動力學(xué)機(jī)制（包括產(chǎn)生分形的充要條件）則很少涉及。為改變這種“知其然而不知其所以然”的狀況，有必要引入非平衡態(tài)物理學(xué)、協(xié)同學(xué)等學(xué)科中一些概念和方法，還要把時間參量納入研究之中。同時，應(yīng)對分?jǐn)?shù)階微分方程、非線性發(fā)展方程、辛幾何等方面的進(jìn)展給與關(guān)注。目前，在化學(xué)動力學(xué)及酶動力學(xué)領(lǐng)域已有發(fā)展，主要是通過分形子維數(shù)（譜維數(shù)，有是以表示）溝通時間與概率之間的關(guān)系。但這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能說明分形的生長動力學(xué)。下一步應(yīng)加強(qiáng)以下三方面的研究：1.用專門的儀器設(shè)備（如高速攝影機(jī)）詳細(xì)記錄DLA等生長過程，由實(shí)驗(yàn)觀測資料建立其生長動力學(xué)模型，而不是僅僅靠Laplace方程。2.應(yīng)當(dāng)考慮耗散結(jié)構(gòu)及自組織理論，進(jìn)行有效的解析和數(shù)值研究。同時要重視隨機(jī)里和張羅對系統(tǒng)的影響。3.從細(xì)胞自動機(jī)CA（CellularAutomata）和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)NN（Nervous）方面對生長問題進(jìn)行模擬研究?？傊中蝿恿W(xué)是急需努力開拓的領(lǐng)域。（四）分形重構(gòu)問題廣義而言，分形重構(gòu)問題是任給一個幾何上認(rèn)為是分形的圖形，能否以某個指定的方式生成它？狹義而言，則是指能否通過映射迭代來實(shí)現(xiàn)這一分形圖形？這是動力學(xué)研究的逆問題。對于自相似的分形，目前已由“拼貼定理”，即任意分形集總可以用一系列自相似分形來逼近。若把分形重構(gòu)問題再擴(kuò)大，則是“如何由分形維數(shù)來重構(gòu)分形”，即已知一個分形的維數(shù)，如何重新構(gòu)建（還原）這個分形？顯然，由于存在“一因多果”或“一果多因”，由分形維數(shù)來重構(gòu)分形還必須有其它的輔助參數(shù)，僅靠一個分維是不夠的。（五）關(guān)于Julia集和Mandelbrot集的問題（分別簡稱為J集和M集）迭代序列保持有界的復(fù)數(shù)的集合叫Julia填充集，記為Kc0J集是閉子集且有界，它有完全不連同的Cantor型和擬圓周形狀的連通型兩類，取決于復(fù)數(shù)c的取值范圍。M集定義為由復(fù)平面的使Julia填充集稱為連通集的復(fù)數(shù)c構(gòu)成的集合，它本身是一個平面緊致集，又是連通的，但其內(nèi)部似乎是不連通的。當(dāng)c是M集的一點(diǎn)，則它也是Julia填充集KC的一點(diǎn)。M集是否是局部連通的以及其