2024年高考數(shù)學一輪復習（新高考版） 第10章　§10.7　二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布

§10.7二項分布、

超幾何分布

與正態(tài)分布第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布1.理解二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題.2.借助正態(tài)曲線了解正態(tài)分布的概念，并進行簡單應用.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.二項分布(1)伯努利試驗只包含

可能結果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為

.兩個n重伯努利試驗(2)二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝____________，k＝0,1,2，…，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作____________.X～B(n，p)(3)兩點分布與二項分布的均值、方差①若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝___，D(X)＝________.②若X～B(n，p)，則E(X)＝___，D(X)＝_________.pp(1－p)np(1－p)np2.超幾何分布一般地，假設一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝__________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.3.正態(tài)分布(1)定義若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝

，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為____________.(2)正態(tài)曲線的特點①曲線是單峰的，它關于直線______對稱；②曲線在_____處達到峰值

；③當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.X～N(μ，σ2)x＝μx＝μ(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝___，D(X)＝___.μσ21.“二項分布”與“超幾何分布”的區(qū)別：有放回抽取問題對應二項分布，不放回抽取問題對應超幾何分布，當總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項分布來處理.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩點分布是二項分布當n＝1時的特殊情形.(

)(2)若X表示n次重復拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項分布.(

)(3)從裝有3個紅球、3個白球的盒中有放回地任取一個球，連取3次，則取到紅球的個數(shù)X服從超幾何分布.(

)(4)當μ取定值時，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”.(

)×√√×1.如果某一批玉米種子中，每粒發(fā)芽的概率均為

那么播下5粒這樣的種子，恰有2粒不發(fā)芽的概率是√因為數(shù)學成績近似地服從正態(tài)分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.6827.根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性可知，位于80分到90分之間的概率是位于70分到90分之間的概率的一半，2.某班有48名同學，一次考試后的數(shù)學成績服從正態(tài)分布N(80,102)，則理論上在80分到90分的人數(shù)約是A.32 B.16 C.8 D.20√3.在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品的個數(shù)，則P(X＝1)＝______.探究核心題型第二部分例1

(1)(2023·海口模擬)某班50名學生通過直播軟件上網(wǎng)課，為了方便師生互動，直播屏幕分為1個大窗口和5個小窗口，大窗口始終顯示老師講課的畫面，5個小窗口顯示5名不同學生的畫面.小窗口每5分鐘切換一次，即再次從全班隨機選擇5名學生的畫面顯示，且每次切換相互獨立.若一節(jié)課40分鐘，則該班甲同學一節(jié)課在直播屏幕上出現(xiàn)的時間的均值是A.10分鐘

B.5分鐘C.4分鐘

D.2分鐘√題型一二項分布設他在直播屏幕上出現(xiàn)的輪次為X，設甲同學一節(jié)課在直播屏幕上出現(xiàn)的時間為Y(單位：分鐘)，則E(Y)＝E(5X)＝5×0.8＝4(分鐘).(2)(2022·衡陽模擬)某地政府為鼓勵大學生創(chuàng)業(yè)，制定了一系列優(yōu)惠政策.已知創(chuàng)業(yè)項目甲成功的概率為

項目成功后可獲得政府獎金20萬元；創(chuàng)業(yè)項目乙成功的概率為P0(0<P0<1)，項目成功后可獲得政府獎金30萬元.項目沒有成功，則沒有獎勵，每個項目有且只有一次實施機會，兩個項目的實施是否成功互不影響，項目成功后當?shù)卣畠冬F(xiàn)獎勵.①大學畢業(yè)生張某選擇創(chuàng)業(yè)項目甲，畢業(yè)生李某選擇創(chuàng)業(yè)項目乙，記他由已知得，張某創(chuàng)業(yè)成功的概率為

李某創(chuàng)業(yè)成功的概率為P0，且兩人是否創(chuàng)業(yè)成功互不影響，記“這2人累計獲得的獎金X≤30”的事件為A，則事件A的對立事件為“X＝50”，②若兩位大學畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項目甲或創(chuàng)業(yè)項目乙進行創(chuàng)業(yè)，問：他們選擇何種創(chuàng)業(yè)項目，累計得到的獎金的均值更大？設兩位大學畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項目甲且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為X1，都選擇創(chuàng)業(yè)項目乙且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為X2，則這兩人選擇項目甲累計獲得的獎金的均值為E(20X1)，選擇項目乙累計獲得的獎金的均值為E(30X2)，E(30X2)＝30E(X2)＝60P0，二項分布問題的解題關鍵(1)定型：①在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.②各次試驗中的事件是相互獨立的.③在每一次試驗中，試驗的結果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.(2)定參：確定二項分布中的兩個參數(shù)n和p，即試驗發(fā)生的次數(shù)和試驗中事件發(fā)生的概率.思維升華√因為隨機變量X～B(n，p)，所以P(X≥2)＝1－P(X＝1)－P(X＝0)(2)某中學面向全校所有學生開展一項有關每天睡眠時間的問卷調查，調查結果顯示，每天睡眠時間少于7小時的學生占40%，而每天睡眠時間不少于8小時的學生只有30%.現(xiàn)從所有問卷中隨機抽取4份問卷進行回訪(視頻率為概率).①求抽取到的問卷中至少有2份調查結果為睡眠時間不少于7小時的概率；所以4份問卷中至少有2份結果為睡眠時間不少于7小時的概率為②記抽取到的問卷中調查結果為睡眠時間少于7小時的問卷份數(shù)為X，求X的分布列及均值E(X).所以X的分布列為例2

2022年12月4日，神舟十四號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，航天員順利出艙，神舟十四號載人飛行任務圓滿完成.為紀念中國航天事業(yè)成就，發(fā)揚并傳承中國航天精神，某校高一年級組織2000名學生進行了航天知識競賽(滿分：100分)并進行記錄，根據(jù)得分將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.(1)用頻率估計概率，從該校隨機抽取2名同學，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；題型二超幾何分布每名學生得分低于70分的概率為1－(0.04＋0.02)×10＝0.4，不低于80分的概率為0.02×10＝0.2.(2)從得分在[60,90]的學生中利用比例分配的分層隨機抽樣的方法選出8名學生，若從中選出3人參加有關航天知識演講活動，求選出的3人中競賽得分不低于70分的人數(shù)X的分布列及均值.由頻率分布直方圖可得，8人中分數(shù)在[60,70)的有2人，[70,90]的有6人，所以X～H(3,6,8)，X的所有可能取值為1,2,3，故X的分布列為(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的分布列.(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質是古典概型.思維升華跟蹤訓練2

為了適當疏導電價矛盾，保障電力供應，支持可再生能源發(fā)展，促進節(jié)能減排，某省推出了省內(nèi)居民階梯電價的計算標準：以一個年度為計費周期，月度滾動使用.第一階梯：年用電量在2160度以下(含2160度)，執(zhí)行第一檔電價0.5653元/度；第二階梯：年用電量在2161度到4200度內(nèi)(含4200度)，超出2160度的電量執(zhí)行第二檔電價0.6153元/度；第三階梯：年用電量在4200度以上，超出4200度的電量執(zhí)行第三檔電價0.8653元/度.某市的電力部門從本市的用戶中隨機抽取10戶，統(tǒng)計其同一年度的用電情況，列表如下：用戶編號12345678910年用電量/度1000126014001824218024232815332544114600(1)計算表中編號為10的用戶該年應交的電費；因為第二檔電價比第一檔電價每度多0.05元，第三檔電價比第一檔電價每度多0.3元，編號為10的用戶一年的用電量是4600度，所以該戶該年應交電費4600×0.5653＋(4200－2160)×0.05＋(4600－4200)×0.3＝2822.38(元).用戶編號12345678910年用電量/度1000126014001824218024232815332544114600(2)現(xiàn)要在這10戶中任意選取4戶，對其用電情況進行進一步分析，求取到第二階梯的戶數(shù)的分布列.用戶編號12345678910年用電量/度1000126014001824218024232815332544114600用戶編號12345678910年用電量/度1000126014001824218024232815332544114600設取到第二階梯的戶數(shù)為X，易知第二階梯有4戶，則X的所有可能取值為0,1,2,3,4.用戶編號12345678910年用電量/度1000126014001824218024232815332544114600故X的分布列為例3

(1)(多選)(2023·哈爾濱模擬)某市有甲、乙兩個工廠生產(chǎn)同一型號的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，X～

其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結論中正確的是A.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于

乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值B.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于

乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值C.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性D.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性題型三正態(tài)分布√√結合正態(tài)密度函數(shù)的圖象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值，故A正確，B錯誤；甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性，故C正確，D錯誤.(2)(2022·合肥模擬)某市高三年級共有14000人參加教學質量檢測，學生的數(shù)學成績ξ近似服從正態(tài)分布N(90，σ2)(試卷滿分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，據(jù)此可以估計，這次檢測數(shù)學成績在80到90分之間的學生人數(shù)約為A.2800 B.4200

C.5600 D.7000√∵ξ近似服從正態(tài)分布N(90，σ2)(試卷滿分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，∴估計這次檢測數(shù)學成績在80到90分之間的學生人數(shù)約為14000×0.2＝2800.解決正態(tài)分布問題的三個關鍵點(1)對稱軸為x＝μ.(2)標準差為σ.(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進行轉化，使分布區(qū)間轉化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.思維升華跟蹤訓練3

(1)(2022·新高考全國Ⅱ)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________.因為X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.0.14(2)(2022·安慶模擬)某中學開展學生數(shù)學素養(yǎng)測評活動，高一年級測評分值X近似服從正態(tài)分布，正態(tài)密度曲線如圖①所示.為了調查參加測評的學生數(shù)學學習的方法與習慣差異，該中學決定在分數(shù)段[m，n)內(nèi)抽取學生，并確定m＝67，且P(m≤X≤n)＝0.8186.在某班用簡單隨機抽樣的方法得到20名學生的分值分布莖葉圖如圖②所示.若該班抽取學生分數(shù)在分數(shù)段[m，n)內(nèi)的人數(shù)為k，則k＝____；這k名學生的平均分為____.(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)1074由圖①可知，μ＝72，σ＝5，∴隨機變量X～N(72,25)，∴P(67≤X≤77)≈0.6827，P(62≤X≤82)≈0.9545，∴n＝82，由圖②可知，該班在[67,82)內(nèi)抽取了10人，即k＝10，課時精練第三部分ξ的所有可能取值為0,1,2，1.已知5件產(chǎn)品中有2件次品，3件正品，檢驗員從中隨機抽取2件進行檢測，記取到的正品數(shù)為ξ，則均值E(ξ)為√1234567891011121314基礎保分練2.(2023·鹽城模擬)某中學高三(1)班有50名學生，在一次高三模擬考試中，經(jīng)統(tǒng)計得，數(shù)學成績X～N(110,100)，則估計該班數(shù)學得分大于120分的學生人數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：P(|X－μ|≤σ)≈0.6827，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545)A.16

B.10

C.8

D.2√因為數(shù)學成績X～N(110,100)，故估計該班數(shù)學得分大于120分的學生人數(shù)約為0.16×50＝8.12345678910111213143.(2022·安慶模擬)高爾頓(釘)板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形小木塊(如圖所示)，并且每一排小木塊數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個小木塊正好對準上面一排兩個相鄰小木塊的正中央，從入口處放入一個直徑略小于兩個小木塊間隔的小球，當小球從之間的間隙下落時，碰到下一排小木塊，它將以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通過間隙，又碰到下一排小木塊.如此繼續(xù)下去，小球最后落入下方條狀的格子內(nèi)，則小球落到第⑤個格子的概率是√1234567891011121314123456789101112131412345678910111213144.(多選)(2021·新高考全國Ⅱ改編)某物理量的測量結果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結論中正確的是A.σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9，10.2)與落在(10,10.3)的

概率相等√√√對于A，σ2為數(shù)據(jù)的方差，所以σ越小，數(shù)據(jù)在μ＝10附近越集中，所以測量結果落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，該物理量一次測量大于10的概率為0.5，故B正確；對于C，由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，該物理量一次測量結果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結果落在(9.9，10.0)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次測量結果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10，10.3)的概率不同，故D錯誤.12345678910111213145.(多選)下列說法正確的是B.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，則P(0<X<2)＝0.4C.甲、乙、丙三人均準備在3個旅游景點中任選一處去游玩，則在至少有

1個景點未被選擇的條件下，恰有2個景點未被選擇的概率是D.E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝2D(X)＋31234567891011121314√√√對于B，因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，所以正態(tài)密度曲線的對稱軸是直線x＝2.因為P(X<4)＝0.9，所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.1，所以P(0<X<2)＝P(2<X<4)＝0.4，故B正確；1234567891011121314對于C，設事件A為至少有1個景點未被選擇，事件B為恰有2個景點未被選擇，1234567891011121314對于D，E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故D不正確.6.(2022·寧波模擬)一個袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中有1個紅球、2個黑球，現(xiàn)隨機等可能地取出小球.當有放回地依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為ξ1；當無放回地依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為ξ2，則A.E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)

B.E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)

D.E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)1234567891011121314√當無放回地依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為ξ2，則ξ2的所有可能取值為0,1，1234567891011121314所以E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2).12345678910111213147.某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道.現(xiàn)從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試，規(guī)定至少答對2道題才算合格.則合格的概率為______.1234567891011121314設此人答對題目的個數(shù)為ξ，則ξ的所有可能取值為0,1,2,3，12345678910111213148.(2023·泰安模擬)隨著時代發(fā)展和社會進步，教師職業(yè)越來越受青睞，考取教師資格證成為不少人的職業(yè)規(guī)劃之一.當前，中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分.已知某市2022年共有10000人參加了中小學教師資格考試的筆試，現(xiàn)從中隨機抽取100人的筆試成績(滿分100分)作為樣本，整理得到如下頻數(shù)分布表：1234567891011121314筆試成績X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)51025302010由頻數(shù)分布表可認為該市全體考生的筆試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中，μ近似為100名樣本考生筆試成績的平均值(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)，則μ＝________.若σ＝12.9，據(jù)此估計該市全體考生中筆試成績高于85.9的人數(shù)約為________.(結果四舍五入精確到個位)參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.1234567891011121314筆試成績X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)51025302010731587故估計該市全體考生中筆試成績高于85.9的人數(shù)大約為10000×0.15865≈1587.12345678910111213149.為普及空間站相關知識，某部門組織了空間站模擬編程闖關活動，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運輸?shù)?0個相互獨立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運行即為程序正確.每位參賽者從10個不同的題目中隨機選擇3個進行編程，全部結束后提交評委測試，若其中2個及以上程序正確即為闖關成功.現(xiàn)已知10個程序中，甲只能正確完成其中6個，乙正確完成每個程序的概率均為

每位選手每次編程都互不影響.(1)求乙闖關成功的概率；1234567891011121314乙正確完成2個程序或者3個程序則闖關成功，記乙闖關成功為事件A，1234567891011121314(2)求甲編寫程序正確的個數(shù)X的分布列和均值，并判斷甲和乙誰闖關成功的可能性更大.1234567891011121314由題意知，隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3，故X的分布列為12345678910111213141234567891011121314123456789101112131410.“雙減”政策，即有效減輕義務教育階段學生過重作業(yè)負擔和校外培訓負擔的政策，“雙減”政策的出臺對校外培訓機構的經(jīng)濟效益產(chǎn)生了嚴重影響.某大型校外培訓機構為了降低風險，尋求發(fā)展制定科學方案，工作人員對2022年前200名報名學員的消費金額進行了統(tǒng)計整理，其中數(shù)據(jù)如表所示.消費金額(千元)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)[13,15]人數(shù)3050602030101234567891011121314(1)該大型校外培訓機構轉型方案之一是將文化科主陣地輔導培訓向音體美等興趣愛好培訓轉移，為了深入了解當前學生的興趣愛好，工作人員利用比例分配的分層隨機抽樣方法在消費金額在區(qū)間[9,11)和[11,13)內(nèi)的學員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進行有獎問卷調查，求抽取的3人中消費金額為[11,13)的人數(shù)的分布列和均值；消費金額(千元)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)[13,15]人數(shù)305060203010設抽取的3人中消費金額在區(qū)間[11,13)內(nèi)的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為1,2,3，1234567891011121314所以X的分布列為12345678910111213141234567891011121314(2)將頻率視為概率，假設該大型校外培訓機構2022年所有學員的消費金額可視為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，μ，σ2分別為前200名報名學員消費的平均數(shù)

以及方差s2(同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值替代).①試估計該機構學員2022年消費金額ε在區(qū)間[5.2,13.6)內(nèi)的概率(保留一位小數(shù))；參考數(shù)據(jù)：

≈1.4；若隨機變量ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ