平面向量基礎知識及練習

平面向量基礎知識及練習積a·b＝|a||b|cos稱為向量a，b的數(shù)量積，其中|a|和|b|分別為向量a和b的長度。3．數(shù)量積的性質：（1）交換律：a·b＝b·a；（2）結合律：(a)·b＝(a·b)＝a·(b)，其中為實數(shù)；（3）分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；（4）平行四邊形法則：向量a，b的數(shù)量積等于以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積，即a·b＝|a||b|sin，其中為向量a，b的夾角。一．向量的基本概念：1.向量是既有大小又有方向的量，與數(shù)量不同。2.長度為零的向量稱為零向量，記作0，其方向是任意的。3.長度為一的向量稱為單位向量，與向量AB共線的單位向量為±AB/|AB|。4.長度相等且方向相同的向量稱為相等向量，具有傳遞性。5.方向相同或相反的非零向量a、b稱為平行向量，記作a∥b，零向量與任何向量平行。注意：①相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定相等；②平行向量包含共線向量，但共線向量不一定平行；③平行向量沒有傳遞性；④三點A、B、C共線當且僅當向量AB、AC共線。6.長度相等方向相反的向量稱為相反向量，a的相反向量為-a。二．向量的表示方法：1.幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，起點在前，終點在后。2.符號表示法：用小寫字母表示，如a、b、c等。3.坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j為基底，則平面內的任一向量a可表示為a=xi+yj=(x,y)，稱(x,y)為向量a的坐標，若向量的起點在原點，則向量的坐標與終點坐標相同。三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2。例如，若a=(1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，則c=2a-3b。四．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度和方向規(guī)定如下：（1）λa=λ|a|，即長度為|a|的向量與λ的乘積的長度為λ|a|；（2）當λ>0時，λa的方向與a的方向相同，當λ<0時，λa的方向與a的方向相反，當λ=0時，λa=0；注意：λa≠0。五．平面向量的數(shù)量積：1.兩個向量的夾角：對于非零向量a、b，作OA=a，OB=b，則∠AOB=θ（0≤θ≤π）稱為向量a、b的夾角，當θ=0時，a、b同向，當θ=π時，a、b反向，當θ=π/2時，a、b垂直。2.平面向量的數(shù)量積：若兩個非零向量a、b的夾角為θ，則稱量積a·b=|a||b|cosθ為向量a、b的數(shù)量積，其中|a|和|b|分別為向量a和b的長度。3.數(shù)量積的性質：（1）交換律：a·b=b·a；（2）結合律：(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)，其中λ為實數(shù)；（3）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c；（4）平行四邊形法則：向量a、b的數(shù)量積等于以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積，即a·b=|a||b|sinθ，其中θ為向量a、b的夾角。規(guī)定：向量a與零向量的數(shù)量積為0，任一向量與自身的數(shù)量積為它的模的平方。例如，在△ABC中，已知AB=3，AC=4，BC=5，則AB?BC=3*5*cosθ。投影是指一個向量在另一個向量上的投影長度，它是一個實數(shù)，但不一定大于零。例如，已知|a|=3，|b|=5，且a?b=12，則向量a在向量b上的投影為12/5。向量a?b的幾何意義是，它等于向量a的模|a|與向量b在a上的投影的乘積。向量數(shù)量積有以下性質：設兩個非零向量a、b，夾角為θ，則：①a⊥b?a?b=0；②當a、b同向時，a?b=|a||b|，特別地，a2=a?a=a^2，a=|a|；當a與b反向時，a?b=-|a||b|；③非零向量a、b夾角θ的計算公式為cosθ=a?b/|a||b|；④|a?b|≤|a||b|。向量的運算包括幾何運算和坐標運算。向量加法可以使用“平行四邊形法則”或“三角形法則”，向量減法使用“三角形法則”，其中減向量與被減向量的起點相同。例如，化簡AB+BC+CD=AD，AB-AD-DC=CB，(AB-CD)-(AC-BD)=AB-AC-BD+CD。坐標運算中，設a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則向量的加減法運算為a±b=(x1±x2,y1±y2)；實數(shù)與向量的積為λa=(λx1,λy1)；向量AB的坐標為(x2-x1,y2-y1)。例如，已知A(2,3)，B(1,4)，且AB=(sinx,cosy)，x,y∈(-2,2)，則x+y=0。刪除了一些明顯有問題的段落后，對于每段話進行了小幅度的改寫，使其更加清晰易懂。剔除下面文章的格式錯誤，刪除明顯有問題的段落,然后再小幅度的改寫每段話。AB，AD=3AB，則C、D的坐標分別是__________平面向量數(shù)量積：a?b=x1y1+x2y2。向量的模：|a|=√(x1^2+y1^2)，a=|a|2=x1^2+y1^2。七．向量的運算律：1．交換律：a+b=b+a，λ(μa)=(λμ)a，a?b=b?a；2．結合律：a+b+c=(a+b)+c，a-b-c=a-(b+c)，λa?b=λ(a?b)=a?(λb)；3．分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb，(a+b)?c=a?c+b?c。八．向量平行(共線)的充要條件：a//b?a=λb?(a?b)^2=(|a||b|)^2?x1y2-y1x2=0。如：設PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k)，則k=17時，A,B,C共線。九．向量垂直的充要條件：a⊥b?a?b=0?|a+b|=|a-b|?x1x2+y1y2=0。平面向量單元練習1．設a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結論中正確的是（）A．a與λa的方向相反B．|-λa|=|λ|·aC．a與λ2a的方向相同D．|-λa|≥|a|答案：B2、下面給出的關系式中正確的個數(shù)是（①a?b=b?a②a?a=|a|2③a×a=0④(a?b)c=a(c?b)⑤a?b≤|a||b|）A.0B.1C.2D.3答案：C3、如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是（）A.AB→=DC→B.AD→+AB→=AC→C.AB→-AD→=BDC→D.AD→+CB→=AC→答案：C4、若AB=(2,4)，AC=(1,3)，則BC=（）A．（1，1）B．（－1，－1）C．（3，7）D．（-3,-7）答案：A5、已知向量a=(1,2)，b=(2，-3)．若向