數(shù)學(xué)歸納法證題中的常見錯誤剖析

精品文檔-下載后可編輯數(shù)學(xué)歸納法證題中的常見錯誤剖析數(shù)學(xué)歸納法看起來較簡單，但中學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中常常出錯，主要原因在于學(xué)生對于數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)理解不夠充分，僅停留在淺嘗輒止的狀態(tài)，對于證明步驟僅是形而上學(xué)，缺乏理論根據(jù)。命題的結(jié)果形式在保證兩步證全的前提下，本文根據(jù)對證題中的常見錯誤本文歸納為五種情形，并逐一予以剖析。文中N為正整數(shù)集。

常見錯誤之一：初始值代入出錯。

例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明，n邊形對角線的條數(shù)為■（n≥3，且n∈N）

證明:（1）當(dāng)n=1時，一邊形不存在，對角線就不能確定為多少條。此時，將n=1代入對角線的條數(shù)表達(dá)式中有，對角線的條數(shù)為■=-1，至此，數(shù)學(xué)歸納法的第一步無法完成。

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，命題成立。如圖，即k邊形A1A2A3…Ak的對角線的條數(shù)是■。

于是當(dāng)n=k+1時，多邊形為（k+10）邊形A1A2A3…Ak+1，比k邊形多一個頂點(diǎn)Ak+1，圖中畫出了增加的對角線，分析知，增加的對角線的條數(shù)是點(diǎn)Ak+1與點(diǎn)A2A3…Ak-1的連線（有k-2條連線）和點(diǎn)A1與點(diǎn)Ak的連線。共增加了[（k-2）+1]條。

（k+1）邊形A1A2A3…Ak+1的對角線總條數(shù)為■+[（k-2）+1]=■=■。故當(dāng)n=k+1時，命題成立。

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理知命題成立。

以上例題證明的第一步是初始值代入出錯應(yīng)取n=3時進(jìn)行驗(yàn)證:顯然當(dāng)n=3時，三角形沒有對角線，將n=3代入對角線的條數(shù)表達(dá)式中有■=0，命題成立。再結(jié)合證明的第二步，就是此例的完美的數(shù)學(xué)歸納法的證明。

上述例題說明，利用數(shù)學(xué)歸納法證題的第一步n0（初始值）取值未必都是1，即它的取值應(yīng)是結(jié)論有意義的最小正整數(shù)。因此，證題前要認(rèn)真審題，確定是n∈N還是n≥n0（n∈N）。

常見錯誤之二，不符合數(shù)學(xué)歸納法證題的原則。

例如，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

3+7+11+……+（4n-1）=n（2n+1）（n∈N）

證明：

（1）當(dāng)n=1時，左邊=3，右邊=3，所以當(dāng)n=1時命題成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即

3+7+……+（4k-1）=k（2k+1）

當(dāng)n=k+1時，3+7+……+（4k-1）+（4k+3）=■（k+1）（4k+3+3）=（k+1）（2k+3）=（k+1）[2（k+1）+1]

所以當(dāng)n=k+1時命題成立。

根據(jù)（1）、（2）可知，等式對一切n∈N成立。

上述利用數(shù)學(xué)歸納法證題的第二步?jīng)]有用到歸納假設(shè)，其推理過程不是在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的，第二步的正確證明方法是：

假設(shè)n=k時命題成立，即

3+7+……+（4k-1）=k（2k+1）。

則當(dāng)n=k+1時，3+7+……+（4k-1）+（4k+3）=k（2k+1）+4k+3=2k2+5k+3=（k+1）（2k+3）=（k+1）[2（k+1）+1]

即當(dāng)n=k+1時命題也成立。

這里指出：用數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟缺一不可，盡管有的與正整數(shù)有關(guān)的命題用其他方法也可以觖決，但題目若要求用數(shù)學(xué)歸納法證明，則必須依題目的要求嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行證明，特別是在第二步證明中對歸納假設(shè)“設(shè)而不用”，那就不正確。

不符合用數(shù)學(xué)歸納法證題的原則要求，因而證明不算數(shù)學(xué)歸納法。

常見錯誤之三：沒有嚴(yán)格的邏輯推證。

例如，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

■+■+……+■=■（n∈N）

證明：（1）當(dāng)n=1時，左端■=■=右端，等式成立。

（2）假設(shè)n=K時，原等式成立，即：■+■+……+■=■，于是當(dāng)n=k+1時，有■+■+……+■=■，故n=k+1時，原等式成立。

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理知等式對一切n∈N均成立。

上述證明從表面上看與數(shù)學(xué)歸納法相符合。而數(shù)學(xué)歸納法原理的第2步是保證一系列命題——“傳遞性”成立的關(guān)鍵，必須給予嚴(yán)格的證明。但此例證明過程中的第2步形式套用數(shù)學(xué)歸納法原理的第2步，沒有給予嚴(yán)格的邏輯推證，因此不符合數(shù)學(xué)歸納法原理的要求。

常見錯誤之四：錯誤理解歸納假設(shè)。

例如，已知n個正數(shù)a1、a2，……，an且a1·a2，……，an=1，試證：a1+a2+……+an≥n。

證明：（1）n=1時，顯然有a1≥1。

（2）假設(shè)n=k時，命題成立，則n=k+1時，a1·a2……akak+1=1，a1，a2……ak+1中必有一個不小于1，不妨設(shè)ak+1≥1，于是a1+a2+……+ak+ak+1=a1+a2+……+ak+1，由歸納假設(shè)a1+a2+……+ak≥k，a1+a2+……+ak+ak+1≥k+1，故當(dāng)n=k+1時，命題成立。

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理知，對一切n∈N原命題成立。

上述證明過程表面上看起來沒有什么問題，但是第2步的證明過程中所用歸納假設(shè)的結(jié)論a1+a2+……+an≥k是有條件的，必須a1·a2……ak=1，而a1·a2……akak+1=1及ak+1≥1并不能保證a1·a2……ak=1，從而未必有結(jié)果a1+a2+……+an≥k成立，而此題的第2步在推理過程中正應(yīng)用了這個不可靠的結(jié)果，因而證明錯誤。

常見錯誤之五：由n=k表達(dá)n=k+1時表達(dá)式之間關(guān)系出錯。

例如，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

■+■+■+……+■＞■（n≥2）

在數(shù)學(xué)歸納法的第2步的證明中，若設(shè)f（n）=■+■+■+……+■，則f（k+1）=■+■+■+……+■=f（k）+■，從而正確地證明結(jié)論。產(chǎn)生以上錯誤的原因是未能把握f（n）右式中各項(xiàng)間規(guī)律，右式是一