1-3 集合的基本運(yùn)算（解析版）（人教A版2019必修第一冊(cè)）

1.3集合的基本運(yùn)算【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一并集知識(shí)點(diǎn)二交集知識(shí)點(diǎn)三補(bǔ)集1．全集(1)定義：如果一個(gè)集合含有所研究問(wèn)題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集．(2)記法：全集通常記作U.2．補(bǔ)集自然語(yǔ)言對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，記作?UA符號(hào)語(yǔ)言?UA＝{x|x∈U，且x?A}圖形語(yǔ)言【基礎(chǔ)自測(cè)】1．集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以，所以；故選：D2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，，則或，，故，故選：B3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(?RB)＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．{a|a≤1}B．{a|a<1}C．{a|a≥2}D．{a|a>2}【答案】C【詳解】?RB＝{x|x≤1或x≥2}，如圖所示．∵A∪(?RB)＝R，∴a≥2.4．已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|x≤－3}，則M∩N＝_______.【答案】?【詳解】利用數(shù)軸表示集合M與N，可得M∩N＝?.5．設(shè)全集，，則集合________．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所以，解得，所以，解得或，所以，所以故答案為：【例題詳解】一、并集、交集的運(yùn)算例1(1)已知集合，集合，那（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)交集的知識(shí)求得正確答案.【詳解】由于，所以.故選：A(2)設(shè)集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，則A∪B=（

）A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}【答案】C【分析】根據(jù)集合并集概念求解.【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合并集，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知集合，則_________．【答案】【分析】求直線的交點(diǎn)可得.【詳解】由，解得，所以．故答案為：.(2)已知集合，，則（

）A．S B．T C．R D．【答案】A【分析】對(duì)n分奇、偶討論，判斷出，即可得到.【詳解】集合，.當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有.所以，所以.故選：A二、并集、交集性質(zhì)的應(yīng)用例2已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，試求k的取值范圍．【詳解】(1)當(dāng)B＝?，即k＋1>2k－1時(shí)，k<2，滿足A∪B＝A.(2)當(dāng)B≠?時(shí)，要使A∪B＝A，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1，,4≥2k－1，,k＋1≤2k－1，))解得2≤k≤eq\f(5,2).綜合(1)(2)可知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤\f(5,2))))).變式1．把本例條件“A∪B＝A”改為“A∩B＝A”，試求k的取值范圍．【詳解】由A∩B＝A可知A?B.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≥k＋1，,2k－1≥4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤－4，,k≥\f(5,2)，))所以k∈?.所以k的取值范圍為?.變式2．把本例條件“A∪B＝A”改為“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值．【詳解】由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1≤4，,2k－1＝5，))解得k＝3.所以k的值為3.跟蹤訓(xùn)練2(1)若集合，則的值為_(kāi)________.【答案】0或1或【分析】考慮集合B為空集和不為空集兩種情況，進(jìn)而根據(jù)集合間的關(guān)系解得答案.【詳解】由題意得，若，則，滿足題意；若，則，因?yàn)椋曰颍瑒t.綜上：或.故答案為：0或1或.(2)已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)交集和空集的定義以及方程的聯(lián)立即可求解.【詳解】聯(lián)立，解得，若，則，所以.①當(dāng)時(shí)，兩個(gè)集合的條件都變?yōu)?，因此交集不為空?②當(dāng)時(shí)，兩個(gè)集合的條件都變?yōu)楹停越患癁榭占?故答案為：.(3)若集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，A∪B＝B，則m的取值范圍是________．【答案】－2≤m≤－1【詳解】∵A∪B＝B，∴A?B，如圖所示，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤－3，,2m＋9≥5，))解得－2≤m≤－1.∴m的取值范圍為{m|－2≤m≤－1}．三、全集與補(bǔ)集例3已知全集，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可．【詳解】∵，∴.故選：B．跟蹤訓(xùn)練3已知全集，，，則集合等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)補(bǔ)集與并集的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】，則.故選C．四、交、并、補(bǔ)的綜合運(yùn)算例4已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)，?U(A∪B)．【詳解】如圖所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，?UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}，A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．故(?UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(?UB)＝{x|2<x<3}，?U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．跟蹤訓(xùn)練4已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求?U(A∪B)，?U(A∩B)，(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．【詳解】方法一∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴?U(A∪B)＝{6,7,9}．∵A∩B＝{5,8}，∴?U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．∵?UA＝{1,3,6,7,9}，?UB＝{2,4,6,7,9}，∴(?UA)∩(?UB)＝{6,7,9}，(?UA)∪(?UB)＝{1,2,3,4,6,7,9}．方法二作出Venn圖，如圖所示，由圖形也可以直接觀察出來(lái)結(jié)果．五、與補(bǔ)集有關(guān)的參數(shù)的范圍問(wèn)題例5已知集合，，全集為.(1)求集合；(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】(1)由已知結(jié)合集合補(bǔ)集的運(yùn)算即可求解；(2)由，則，然后對(duì)是否為空集進(jìn)行分類討論即可求解.【詳解】（1），.（2）由得，，當(dāng)時(shí)，由，可得，即；當(dāng)時(shí)，由，且，可得，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.跟蹤訓(xùn)練5全集，集合，集合.(1)若，且集合滿足：，求出所有這樣的集合；(2)集合是否能滿足，若能，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)，，或；(2)能，【分析】（1）解出，，根據(jù)，，求出所有的集合；（2）根據(jù)得到，分與，與，討論得到結(jié)論.【詳解】（1）時(shí)，，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，故，，或；?）因?yàn)?，所以，若，則滿足，此時(shí)，解得：；若，則，解得：，所以，解得：或，故，不滿足，舍去；若，則，解得：，所以，解得：或2，所以，不滿足，舍去；若，則，解得：，所以，解得：或4，不滿足，舍去，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是【課堂鞏固】1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合中元素范圍，再求即可.【詳解】，，故選：D.2．若集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求出集合，再利用并集的定義即可求解.【詳解】由題意可知，又，所以．故選：D．3．設(shè)集合，則滿足的集合B的個(gè)數(shù)是()A．1 B．3 C．4 D．8【答案】C【詳解】試題分析：,且B中可能含有1或2；即或或或共四種可能.考點(diǎn)：集合間的關(guān)系.4．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.【詳解】由題設(shè)可得，故，故選：B.5．設(shè)集合或，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得，再結(jié)合集合及，運(yùn)算即可得解.【詳解】由集合或，則，又集合且，則，故選：B.6．若集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件，運(yùn)用集合并集運(yùn)算定義，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】已知，，，，故參數(shù)的取值范圍為.故答案為：7．已知集合，若，則集合的子集個(gè)數(shù)為_(kāi)_______【答案】32【分析】由題知，進(jìn)而結(jié)合題意得，再求子集個(gè)數(shù)即可.【詳解】解：由題意得，又，所以，所以或或或，或，所以，集合，所以其子集個(gè)數(shù)為.故答案為：8．設(shè)，集合，，若，則實(shí)數(shù)m=__________.【答案】1或2【分析】對(duì)分類討論，求出集合,再分析得解.【詳解】解：由題得集合，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以.綜合得或.故答案為：1或29．已知全集，求.【答案】，或，或.【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，或，因?yàn)榛颍曰?10．已知集合，，．（1）求；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）直接利用集合并集的運(yùn)算法則求解即可；（2）由題意分類討論、，根據(jù)包含關(guān)系列不等式，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）因?yàn)榧希?，?）由（1）知，①當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，得；②當(dāng)時(shí)，要，則，解得；由①②得，，綜上所述，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查了集合的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，同時(shí)考查利用包含關(guān)系求參數(shù)，易錯(cuò)點(diǎn)是要注意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合兩種情況討論，考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題.11．設(shè)集合，.(1)若，試求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用一元二次方程的公式及集合的并集的定義即可求解.（2）利用子集的定義及一二次方程的根的情況即可求解.【詳解】（1）由，解得或，.當(dāng)時(shí)，得解得或；∴.（2）由（1）知，，，于是可分為以下幾種情況．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩根為，，則，解得.當(dāng)時(shí)，又可分為兩種情況．當(dāng)時(shí)，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程有且只有一個(gè)根為，則，解得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程有且只有一個(gè)根為，則，此時(shí)方程組無(wú)解，當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值為.12．已知集合，．(1)若，求；(2)在①，②中任選一個(gè)，補(bǔ)充到橫線上，并求解問(wèn)題．若______，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)條件選擇見(jiàn)解析，【分析】（1）當(dāng)時(shí)，集合，則可求出；（2）任選一個(gè)條件都可得，討論集合是否為空集，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，集合，又，所以；（2）方案一

選擇條件①．由，得．當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，得，解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．方案二

選擇條件②．由，得．當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)，符合題意．當(dāng)時(shí)，得，解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【課時(shí)作業(yè)】1．已知集合為質(zhì)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集的定義運(yùn)算即得.【詳解】因?yàn)闉橘|(zhì)數(shù)，所以.故選：B.2．已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)4和6的最小公倍數(shù)為12，得，而，易得兩集合之間關(guān)系.【詳解】,且,,，又，則集合中的元素應(yīng)為12的正整數(shù)倍,集合中的元素為24的整數(shù)倍,故,.可知,當(dāng)元素滿足為24的整數(shù)倍時(shí),必滿足為12的正整數(shù)倍,則故A,B錯(cuò)誤，對(duì)D選項(xiàng)，若，則此元素既不在集合中，也不在集合中，故D錯(cuò)誤，故選：C.3．集合,,則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)補(bǔ)集的性質(zhì)和定義即可得出結(jié)果.【詳解】解:由題知,,所以.故選:C4．已知A、B均為R的子集，且，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合Venn圖可得答案.【詳解】如圖，陰影部分為集合，且，則.故選：D.5．設(shè)集合，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)補(bǔ)集性質(zhì),轉(zhuǎn)化再求補(bǔ)集即可.【詳解】因?yàn)?所以,又因?yàn)樗?故選:.6．已知全集,且,則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】求出集合后,寫出集合的真子集,數(shù)出個(gè)數(shù)即可.【詳解】解:由題知,,所以,所以集合的真子集有:,共3個(gè).故選:B7．已知集合，集合，則下列關(guān)系式正確的是（

）A． B．C．或 D．【答案】D【分析】由絕對(duì)值的幾何意義化簡(jiǎn)集合，再利用交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．【詳解】解：∵，=，∴，故A不正確；，故B不正確；或，∴，故C不正確；，故D正確．正確的是D．故選：D．8．設(shè)全集且，，若，，則這樣的集合共有（

）A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)【答案】D【分析】先求出全集，再求出集合的子集即為，再進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算可得集合，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】且，的子集有，，，，，，，，的子集有個(gè)，，所以有個(gè)，因?yàn)?，所以存在一個(gè)即有一個(gè)相應(yīng)的，所以，，，，，，，有個(gè)，故選：D.9．（多選）已知全集，集合，，則（

）A．的子集有個(gè) B． C． D．中的元素個(gè)數(shù)為【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件求出集合，利用子集的定義及集合的并集，結(jié)合補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)橹械脑貍€(gè)數(shù)為，所以的子集有個(gè)，故A正確；由，，得，所以，故B不正確；由，，所以，所以，故C正確；由，得中的元素個(gè)數(shù)為，故D正確.故選：ACD.10．（多選），，且，則的可能值為（

）A． B． C．0 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)，，得到，分類討論解決即可.【詳解】由題知由，解得或所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，，即，或，即；故選：BCD11．（多選）對(duì)于非空集合，，我們把集合且叫做集合與的差集，記作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，則有，2，，如果，集合與之間的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】利用差集、并集、交集的定義直接求解．【詳解】差集的定義，且，，，故選：．12．設(shè)集合，，若，則______．【答案】【分析】由已知，根據(jù)，可利用集合A，求解出x的值，然后分別求解出集合A和集合B，然后驗(yàn)證是否滿足，如果滿足即可直接求解.【詳解】由，得，所以或，解得或或4．當(dāng)時(shí)，，，，不滿足題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，，，，滿足題意，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，B中元素不滿足互異性，故舍去．故答案為：．【點(diǎn)睛】在解決集合中含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)，求出參數(shù)的值后，一定要回代檢驗(yàn)，避免因忽略集合中元素的互異性而出現(xiàn)錯(cuò)誤．13．已知集合，，則__________.【答案】【分析】通過(guò)解一元二次不等式，求解函數(shù)值域，結(jié)合，，用列舉法表示集合，再結(jié)合補(bǔ)集的定義，即得解【詳解】由題意，，又又由于，又故故答案為：14．已知集合集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】通過(guò)集合運(yùn)算得出，對(duì)集合進(jìn)行分類討論，時(shí)顯然成立，時(shí)無(wú)解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，滿足題意.當(dāng)時(shí)，時(shí)，解得綜上所述，.故答案為：15．已知集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__．【答案】【分析】根據(jù)題意得出，然后分和兩種情況，再利用集合間的包含關(guān)系即可求解．【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)榧?，，且，則，當(dāng)時(shí)，，即，符合題意，當(dāng)時(shí)，，得，綜上，的取值范圍為，故答案為：.16．設(shè)，集合，，若，且(1)求集合；(2)求集合【答案】(1)；(2)【分析】（1）首先由條件確定，求得，再求集合；（2）根據(jù)，確定，代入求，再求集合，最后求.【詳解】（1）由條件可知，，，所以，解得：，，解得：或，所以（2）因?yàn)椋?代入，解得：代入集合，，解得：或所以,所以.17．已知全集U=R，集合A={x|0≤x≤5}，B={x|2m﹣1≤x≤3m}.（1）若m=3，求B和；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）CUB={x|x<5或x>9}，A∪B={x|0≤x≤9}；（2）；（3）[0，3].【分析】（1）m=3時(shí)，求出集合B，由此能求出B和；（2）當(dāng)B=時(shí)，2m﹣1>3m，當(dāng)B≠時(shí)，，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）當(dāng)