初三數(shù)學(xué)圓知識點復(fù)習(xí)專題經(jīng)典整理版

初三數(shù)學(xué)圓知識點復(fù)習(xí)專題經(jīng)典[整理版]《圓》章節(jié)知識點復(fù)習(xí)一、圓的概念圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合。圓的外部可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合，圓的內(nèi)部可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合。軌跡形式的概念：以定點為圓心，定長為半徑的圓是到定點的距離等于定長的點的軌跡。另外，到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；到直線的距離相等的點的軌跡是平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；到兩條平行線距離相等的點的軌跡是平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系分為三種情況：點在圓內(nèi)，點在圓上，點在圓外。點在圓內(nèi)的條件是d<r，點在圓上的條件是d=r，點在圓外的條件是d>r。三、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系分為三種情況：直線與圓相離，直線與圓相切，直線與圓相交。直線與圓相離的條件是d>r，直線與圓相切的條件是d=r，直線與圓相交的條件是d<r。四、圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系分為五種情況：外離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含。外離的條件是d>R+r，外切的條件是d=R+r，相交的條件是R-r<d<R+r，內(nèi)切的條件是d=R-r，內(nèi)含的條件是d<R-r。五、垂徑定理垂徑定理是指垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1包括四個定理，其中共5個結(jié)論，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論。推論2是指圓的兩條平行弦所夾的弧相等。例題1、基本概念下面四個命題中正確的一個是：圓是到定點的距離等于定長的點的集合。A.垂徑定理1.平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑，平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦，弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心，在一個圓內(nèi)平分一條弧和它所對弦的直線必過這個圓的圓心。2.正確的命題是：過弦的中點的直線必過圓心，弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦，且過圓心，弦的垂線平分弦所對的弧。B.度數(shù)問題1.已知在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，如果油的最大深度為16cm，那么油面寬度AB是多少厘米。2.已知在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，如果油面寬度是48cm，那么油的最大深度為多少厘米。3.已知在⊙O中，弦AB=CD，且AB⊥CD，垂足為H，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F。(1)求證：四邊形OEHF是正方形。(2)若CH=3，DH=9，求圓心O到弦AB和CD的距離。C.相交問題如圖，已知⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的長。D.平行問題在直徑為50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求AB與CD之間的距離。E.同心圓問題如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦AB，交小圓于C、D兩點，設(shè)大圓和小圓半徑分別為a,b，求證：AD×BD=a-b。F.平行與相似已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F。求證：EC=FD。G.圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結(jié)論，即：①∠AOB=∠DOE；②AB=DE；EC=FD。九、切線的性質(zhì)與判定定理切線的判定定理：如果一條直線過半徑外端且垂直于半徑，那么它就是切線。這個定理有兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可。例如，在圖7-107中，因為MN垂直于OA且MN過半徑OA外端，所以MN是⊙O的切線。切線的性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑。由此可以得出兩個推論：一是過圓心垂直于切線的直線必過切點，二是過切點垂直于切線的直線必過圓心。這三個定理及推論也稱為二推一定理，因為只要知道其中兩個條件，就能推出最后一個。切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。例如，在圖7-107中，如果PA、PB是的兩條切線，那么PA=PB，且OP平分∠BPA。利用切線性質(zhì)計算線段的長度例如，在圖中，已知AB是⊙O的直徑，P為延長線上的一點，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，又PC=4，⊙O的半徑為3，求OD的長。根據(jù)切線性質(zhì)可知，CD=PC=4，因為AB是直徑，所以O(shè)D=OA-AD=3-2=1。利用切線性質(zhì)計算角的度數(shù)例如，在圖中，已知AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延長線與AE的延長線交于F，且AF=BF，求∠A的度數(shù)。根據(jù)切線性質(zhì)可知，∠ACD=∠ABF=90°，因為AB是直徑，所以∠ACB=180°，又∠ACE=90°，所以∠A=∠ACE-∠ACB=90°-180°=-90°。利用切線性質(zhì)證明角相等例如，在圖中，已知AB為⊙O的直徑，過A作弦AC、AD，并延長與過B的切線交于M、N，求證：∠MCN=∠MDN。因為AB是直徑，所以∠ACD=∠ABM=90°，所以四邊形ABCD是一個矩形。因為MN是切線，所以∠MNC=∠MDC，所以∠MCN=∠MDN。利用切線性質(zhì)證線段相等例如，在圖中，已知AB是⊙O的直徑，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E，求證：CD=CE。因為AB是直徑，所以∠ACD=∠ABD=90°，所以四邊形ABCD是一個矩形。因為CD是切線，所以∠DCO=∠DBC，所以三角形ADE和三角形ACO相似，因此CE/CO=AD/AC，即CE=CD。利用切線性質(zhì)證兩直線垂直例如，在圖中，已知△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E，求證：DE⊥AC。因為AB是直徑，所以∠ACD=∠ABD=90°，所以四邊形ABCD是一個矩形。因為DE是切線，所以∠DEC=∠DBC，所以三角形ADE和三角形ACO相似，因此∠ADE=∠ACO=45°，所以DE⊥AC。十一、圓冪定理相交弦定理：如果圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。例如，在⊙O中，因為弦AB、CD相交于點P，所以PA×PB=PC×PD。推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成比例中項。例如，在⊙O中，因為直徑AB垂直于CD，所以CE=AE×BE。切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線與圓交點的兩條線段長的比例中項。例如，在圖中，如果PA是切線，PB是割線，那么PA/PC=PB/PO。（2）面積公式：SA2nR；2、圓柱：（1）側(cè)面積公式：S2rh；（2）體積公式：Vr2h；3、圓錐：（1）側(cè)面積公式：Srl；（2）體積公式：V1/3r2h。例1.正方形ABCD的邊長為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過A作半圓切線，切點為F，交CD于E，求DE：AE的值。解：首先，連接OF，OE，AF，AE，DE，如圖1所示。由于BC為直徑，所以∠OBC＝90°，∠OAC＝90°，因此，△OAF和△OED都是直角三角形。由于OF為半圓O的直徑，所以O(shè)F＝R＝1/2。由于AE是半圓O的切線，所以∠OAE＝90°，因此，△OAE也是直角三角形。根據(jù)勾股定理，得：OE＝√(OF2EF2)＝√(1/4(1AE)2)；AE＝√(OF2AF2)＝√(1/4(1OE)2)；DE＝AEAD＝AE1。將OE的值代入AE的式子中，得：AE＝√(1/4(1√(1/4(1DE)2))將AE的值代入DE的式子中，得：DE＝√(1/4(1√(1/4(1√(1/4(1DE)2)))解得DE＝0.158，AE＝0.843。因此，DE：AE＝0.187：1。例2.⊙O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。解：首先，連接OE，如圖2所示。由于AE＝6cm，BE＝2cm，所以AB＝AE＋EB＝8cm。由于CD是弦，所以CE＝CD－DE。根據(jù)割線定理，得：CE＝CDAE/BE－AB/BE＝76/2－8/2＝10cm。因此，CE＝10cm。例3.如圖3，P是⊙O外一點，PC切⊙O于點C，PAB是⊙O的割線，交⊙O于A、B兩點，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是___________cm。解：首先，連接OB，如圖3所示。由于PC是切線，所以∠OCP＝90°。由于PAB是割線，所以根據(jù)割線定理，得：PCPB＝PAPA＝(PA)25(R2OP2)。由于PA：PB＝1：4，所以PA＝10cm，PB＝40cm。將PC，PA，PB的值代入上式，得：(10)25(100OP2)。解得OP＝6cm。因此，圓心O到AB的距離是6cm。公式1：nR2=lR（2）扇形面積公式：S=360/2n×R2×sin（l/R）公式2：圓柱側(cè)面展開圖面積：S=2πrh，表面積：S=2πr2+2πrh，體積：V=πr2h公式3：圓錐側(cè)面展開圖面積：S=πRr+πr2，表面積：S=S側(cè)+S底=πRr+πr2+πr√(h2+r2)，體