冀教版九年級數(shù)學(xué)上冊同步練習(xí)：28.4　垂徑定理

冀教版九年級數(shù)學(xué)上冊同步練習(xí)：28.4垂徑定理第頁28.4垂徑定理*知識(shí)點(diǎn)1垂徑定理1．如圖28－4－1，在⊙O中，MN是直徑，AB是弦，且MN⊥AB，垂足為C，以下結(jié)論：①AC＝BC；②eq\o(AN,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵))；③eq\o(BM,\s\up8(︵))＝eq\o(AM,\s\up8(︵))；④OC＝CN.正確的有________．(填序號(hào))圖28－4－12．2023·阿壩州如圖28－4－2，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，假設(shè)⊙O的半徑為5，AB＝8，那么CD的長是()圖28－4－2A．2eq\a\vs4\al(B).3eq\a\vs4\al(C).4eq\a\vs4\al(D).53．2023·河北模擬如圖圖28－4－3，AB是⊙O的弦，∠OAB＝30°，AB＝4，那么⊙O的半徑為()圖28－4－3A．4eq\a\vs4\al(B).2eq\a\vs4\al(C).2eq\r(3)eq\a\vs4\al(D).eq\f(4\r(3),3)4．教材練習(xí)第2題變式如圖28－4－4，⊙O的弦AB＝6，E是AB的中點(diǎn)，且OE的長為4，那么⊙O的半徑為________．圖28－4－45．2023·眉山如圖28－4－5，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，且AB＝8cm，DC＝2cm，那么OC＝______cm.圖28－4－56．2023·安順如圖28－4－6，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，假設(shè)AB＝8，CD＝6，那么BE＝________．圖28－4－67．如圖28－4－7，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O1與坐標(biāo)軸交于A(1，0)，B(5，0)兩點(diǎn)，點(diǎn)O1的縱坐標(biāo)為eq\r(5).求⊙O1的半徑．圖28－4－7知識(shí)點(diǎn)2垂徑定理的推論8．2023·河北模擬如圖28－4－8是一圓柱形輸水管的橫截面，陰影局部為有水局部．假設(shè)水面AB寬為8cm，水最深地方的高度為2cm，那么該輸水管的半徑為________cm.圖28－4－89．⊙O的直徑為10，弦AB＝8，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OP長的取值范圍是________．10．如圖28－4－9，某窗戶由矩形和弓形組成，弓形的跨度AB＝6m，弓形的高EF＝2m，現(xiàn)設(shè)計(jì)安裝玻璃，請你幫工程師求出弧AB所在圓O的半徑．圖28－4－911．如圖28－4－10，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，那么CD的長為()圖28－4－10A．2eq\r(,2)eq\a\vs4\al(B).4eq\a\vs4\al(C).4eq\r(,2)eq\a\vs4\al(D).812．在半徑為13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距離為7，假設(shè)AB＝24，那么CD的長為()A．10eq\a\vs4\al(B).4eq\r(30)eq\a\vs4\al(C).10或4eq\r(,30)eq\a\vs4\al(D).10或2eq\r(,165)13．如圖28－4－11，BC是⊙O的弦，BC的長為8，A是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C，B重合)，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，那么EF的長為________．圖28－4－11圖28－4－1214．2023·遵義如圖28－4－12，AB是⊙O的直徑，AB＝4，M是OA的中點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線與⊙O交于C，D兩點(diǎn)．假設(shè)∠CMA＝45°，那么弦CD的長為________．15．如圖28－4－13，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＝AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)是OE上的一點(diǎn)，且CF∥BD.(1)求證：BE＝CE；(2)試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由；(3)假設(shè)BC＝8，AD＝10，求CD的長．圖28－4－1316．如圖28－4－14①，O是∠EPF的平分線上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心的圓與角的兩邊分別交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D.(1)求證：AB＝CD；(2)假設(shè)角的頂點(diǎn)P在圓上，如圖②，其他條件不變，(1)中的結(jié)論成立嗎？請說明理由；(3)假設(shè)角的頂點(diǎn)P在圓內(nèi)，如圖③，其他條件不變，(1)中的結(jié)論成立嗎？請說明理由．圖28－4－141．①②③2．A[解析]∵OC⊥AB，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝4.在Rt△OAD中，OD＝eq\r(OA2－AD2)＝3，∴CD＝OC－OD＝5－3＝2.應(yīng)選A.D[解析]過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，那么AC＝eq\f(1,2)AB＝2.∵∠OAB＝30°，∴OA＝eq\f(AC,cos30°)＝eq\f(4\r(3),3).應(yīng)選D.4．5[解析]連接OA.∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝3，OE⊥AB.在Rt△OAE中，OA＝eq\r(AE2＋OE2)＝5.即⊙O的半徑為5.5．5[解析]連接OA.∵OC⊥AB，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝4cm.設(shè)⊙O的半徑為R，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，∴R2＝42＋(R－2)2，解得R＝5，∴OC＝5cm.6．4－eq\r(7)[解析]連接OC.∵弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD＝6，∴CE＝ED＝eq\f(1,2)CD＝3.∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝4，∴OE＝eq\r(42－32)＝eq\r(7)，∴BE＝OB－OE＝4－eq\r(7).故答案為4－eq\r(7).7．解：如圖，過點(diǎn)O1作O1C⊥AB，垂足為C，那么有AC＝BC.由A(1，0)，B(5，0)，得AB＝4，∴AC＝2.在Rt△AO1C中，∵點(diǎn)O1的縱坐標(biāo)為eq\r(5)，∴O1C＝eq\r(5)，∴⊙O1的半徑O1A＝eq\r(O1C2＋AC2)＝eq\r(〔\r(5)〕2＋22)＝3.8．5[解析]如下列圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，連接OA.∵OD⊥AB，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．設(shè)OA＝r，那么OD＝r－2.在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，即r2＝(r－2)2＋42，解得r＝5.即該輸水管的半徑為5cm.9．3≤OP≤510．解：∵弓形的跨度AB＝6m，EF為弓形的高，∴OE⊥AB于點(diǎn)F，∴AF＝BF＝3m.設(shè)弧AB所在圓O的半徑為r.∵弓形的高EF＝2m，∴AO＝rm，OF＝(r－2)m.在Rt△AOF中，由勾股定理可知AO2＝AF2＋OF2，即r2＝32＋(r－2)2，解得r＝eq\f(13,4)(m)．答：弧AB所在圓O的半徑為eq\f(13,4)m.C[解析]三角形AOC的外角∠COE＝∠A＋∠ACO＝45°，在等腰直角三角形COE中，∠CEO＝90°，OC＝4.設(shè)CE＝OE＝x，由勾股定理得CE2＋OE2＝OC2，即x2＋x2＝42，解得x＝2eq\r(2)，∴CE＝2eq\r(2).根據(jù)垂徑定理可知CD＝2CE＝4eq\r(2).[D[解析]過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接OA，那么AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×24＝12.在Rt△AOE中，OE＝eq\r(OA2－AE2)＝eq\r(132－122)＝5.當(dāng)AB與CD在圓心O的同側(cè)時(shí)，如圖①所示，延長OE交CD于點(diǎn)F，連接OC，那么OF＝OE＋EF＝5＋7＝12.∵AB∥CD，∴OF⊥CD.在Rt△OCF中，CF＝eq\r(OC2－OF2)＝eq\r(132－122)＝5，∴CD＝2CF＝2×5＝10.當(dāng)AB與CD在圓心O的異側(cè)時(shí)，如圖②所示．反向延長OE交CD于點(diǎn)F，連接OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴OF＝EF－OE＝7－5＝2.在Rt△OCF中，CF＝eq\r(OC2－OF2)＝eq\r(132－22)＝eq\r(165)，∴CD＝2CF＝2×eq\r(165)＝2eq\r(165)，故CD的長為10或2eq\r(165).應(yīng)選D.13．4[解析]∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF為△ABC的中位線，∴EF＝eq\f(1,2)BC＝4.14.eq\r(14)[解析]如圖，連接OD，過點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，那么CE＝DE.∵AB是⊙O的直徑，AB＝4，M是OA的中點(diǎn)，∴OD＝OA＝2，OM＝1，∵∠OME＝∠CMA＝45°，∴△OEM是等腰直角三角形，∴OE＝eq\f(\r(2),2)OM＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ODE中，由勾股定理，得DE＝eq\r(OD2－OE2)＝eq\f(\r(14),2)，∴CD＝2DE＝eq\r(14).15．解：(1)證明：在⊙O中，∵AB＝AC，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴∠BAD＝∠CAD，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)知BE＝CE.(2)四邊形BFCD是菱形．理由：∵AD是⊙O的直徑，BE＝CE，∴AD⊥BC.∵CF∥BD，∴∠FCE＝∠DBE.在△BED和△CEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DBE＝∠FCE，,BE＝CE，,∠BED＝∠CEF＝90°，))∴△BED≌△CEF，∴CF＝BD，∴四邊形BFCD是平行四邊形．∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴四邊形BFCD是菱形．(3)∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，易證△CED∽△AEC，∴eq\f(CE,AE)＝eq\f(DE,EC)，∴CE2＝DE·AE.∵BC＝8，AD＝10，∴BE＝CE＝4.設(shè)DE＝x，那么42＝x(10－x)，解得x＝2或x＝8(舍去)．在Rt△CED中，CD＝eq\r(CE2＋DE2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).16．解：(1)證明：如圖①，過點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G，OH⊥CD于點(diǎn)H，連接OA，OC，OB，OD.易知AG＝BG，CH＝DH.∵∠EPO＝∠FPO，∴OG＝OH.在Rt△OBG和Rt△ODH中，由HL定理得Rt△OBG≌Rt△ODH，∴BG＝DH，∴AB＝CD.(2)成立．理由：如圖②，點(diǎn)P在圓上，此時(shí)點(diǎn)P，A，C重合，過點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G，OH⊥AD于點(diǎn)H，∴AG＝BG，AH＝DH.∵∠EAO＝∠