空間向量及其線性運算第二課時

1.1.1空間向量及其線性運算1.理解空間向量的含義，能夠區(qū)別于平面向量，懂得一些特殊向量如零向量和單位向量。理解相等向量和相反向量，后續(xù)進一步理解共面向量和異面向量。加法、減法和數(shù)乘等線性法則、以及結(jié)合律和交換律等運算律，并通過空間幾何體加深對運算的理解。培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。問題(1)

你還記得兩個向量共線的充要條件嗎？這個充要條件對于空間向量也成立嗎？平面向量共線的充要條件空間向量共線的充要條件

對任意兩個平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb

.

對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb

.追問(1)

你還記得兩個向量共線的充要條件嗎？這個充要條件對于空間向量也成立嗎？如右圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.對于直線l上任意一點P，由向量共線的充要條件可知，存在唯一確定的實數(shù)λ，使得=λa.也就是說，直線可以由其上一點和它的方向向量確定.直線的方向向量追問(2)

任意兩個空間向量都可以通過平移，移到同一平面內(nèi)，三個向量呢？任意兩個空間向量總是共面的，但三個空間向量既可能共面，也可能不共面.追問(3)如何判斷三個向量是否共面呢？

ab.Oαcp追問(4)

你還記得平面向量基本定理的內(nèi)容嗎？它和三個空間向量共面有什么關(guān)系？ab.Oαpp＝xa+yb平面向量基本定理：若向量a，b是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，則α內(nèi)任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)

，使得：

p＝xa+yb.若p在α內(nèi)，則有p＝xa+yb；若p＝xa+yb，則p在α內(nèi).平面向量基本定理

若向量a，b是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，則α內(nèi)任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)

，使得：

p＝xa+yb.兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得：

p＝xa+yb.空間向量共面的充要條件ABC問題4

如右圖，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F(xiàn)，G，H，使.求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面.追問(1)

如何證明E

，F(xiàn)

，G

，H四點共面？可以通過證明這四點構(gòu)成的三個向量，如共面，來證明這四點共面.追問(2)

如何證明這三個向量共面？根據(jù)向量共面的充要條件，用表示即可.追問(3)

如何實現(xiàn)上述表示？把根據(jù)三角形法則，把分別用等向量來表示；再利用已知條件，將它們轉(zhuǎn)化為用

來表示的形式.而由平行四邊形ABCD，得到，從而可以得到的關(guān)系，進一步得到的關(guān)系，最終用表示.證明:因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以.因此，因此，共面，即

四點共面.因為，所以【例題講解】向量共面、四點共面P5-例1.

如圖，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F(xiàn)，G，H，使

，

求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面.思路：·證明:共面向量的定義

共面向量：平行于同一個平面的向量.②任意兩個空間向量必共面.③任意三個空間向量可能共面，也可能不共面.注：①共面向量所在直線可能平行、重合、相交或異面.探究與思考：向量共面的判定任意三個空間向量可能共面，也可能不共面.回顧平面向量基本定理：共面思考：什么情況下三個空間向量共面？任意兩個空間向量一定共面.可平移到同一平面內(nèi)新知：向量共面的判定向量共面的充要條件：作用:判定三個向量是否共面(找x,y).推論:判定四點是否共面(同起點/系數(shù)和為1，或轉(zhuǎn)化為三個向量共面).1空間向量及線性運算(1)空間向量的概念：定義；表示法；相關(guān)概念.(2)空間向量的線性運算：加、減、數(shù)乘運算及其運算律.(3)線性運算的應(yīng)用：直線的方向向量；向量共面.2類比平面向量的研究方法類比猜想證明或轉(zhuǎn)化推廣【實戰(zhàn)演練】證明向量共面、四點共面如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，

O是B1D1的中點，求證：B1C∥平面ODC1.思路：

【實戰(zhàn)演練】向量共面、四