第9章 曲線擬合與數(shù)據(jù)分析

第9章曲線擬合與數(shù)據(jù)分析·任課老師：程道建

副教授·E-mail:

chengdj@第9章曲線擬合與數(shù)據(jù)分析·

9.1曲線擬合·

回歸分析概述所謂回歸（regression）分析，就是一種處理變量與變量之間相互關(guān)系的數(shù)理統(tǒng)計方法。用這種數(shù)學(xué)方法可以從大量觀測的散點數(shù)據(jù)中尋找到能反映事物內(nèi)部的一些統(tǒng)計規(guī)律，并可以按數(shù)學(xué)模型形式表達(dá)出來?；貧w分析方法是處理變量之間相關(guān)關(guān)系的有效工具，它不僅提供建立變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式——經(jīng)驗公式，而且可對其進(jìn)行擬合程度評價和顯著性檢驗，從而檢驗經(jīng)驗公式的正確性?；貧w（regression）分析也可以稱為擬合（fitting），回歸是要找到一個有效的關(guān)系，擬合則要找到一個最佳的匹配方程，兩者雖然略有差異，但基本一個意思?！?/p>

9.1曲線擬合回歸分析的過程1）確定變量。包括自變量和因變量。2）確定數(shù)學(xué)模型。即自變量和因變量之間的關(guān)系。確定數(shù)學(xué)模型要注意兩點：一是能否通過數(shù)據(jù)變換找到盡可能的模塊。3）交由計算機軟件進(jìn)行反復(fù)逼近，必要時進(jìn)行人為干預(yù)。4）根據(jù)運算結(jié)果，特別是相關(guān)系數(shù)進(jìn)行檢驗。5）如果結(jié)果不滿意，則重新修改模型參數(shù)再進(jìn)行運算?！?/p>

9.1曲線擬合線性擬合線性擬合是數(shù)據(jù)分析中最簡單又很重要的分析方法。Origin按以下方法把曲線擬合為直線：對X（自變量）和Y（因變量），線性回歸方程為：Y=A+BX，參數(shù)A(截距)和B（斜率）由最小二乘法求算。線性擬合實例導(dǎo)入數(shù)據(jù)，通過【File】→【Import】命令打開安裝目錄中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve

Fitting\Linear

Fit.dat文件。選中A、B列數(shù)據(jù)，生成散點圖。通過【Analysis】→【Fitting】→【FitLinear】命令打開Linear

Fit對話框?！?/p>

9.1曲線擬合·

線性擬合4）選擇默認(rèn)設(shè)置，單擊OK按鈕生成擬合曲線及分析報表。擬合曲線分析報表·

9.1曲線擬合·

線性擬合–Linear

Fit對話框設(shè)置擬合參數(shù)設(shè)置對話框中，包含以下幾項設(shè)置。1）Recalculate在這一項中，可以設(shè)置輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)的關(guān)系，包括Auto（當(dāng)源數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)變化后，自動更新）、Manual（手動更新）和None?！?/p>

9.1曲線擬合–Linear

Fit對話框設(shè)置Input

Data該項下面的選項用于設(shè)置輸入數(shù)據(jù)區(qū)域以及誤差數(shù)據(jù)區(qū)域。Fit

Options◆Errors

as

Weight：誤差權(quán)重?！鬎ix

Intercept（at）：截距限制?！鬎ix

Slope（at）：斜率限制?！鬠seReducedChi-Sqr：這個數(shù)據(jù)也能顯示誤差。◆ApparentFit：使用log坐標(biāo)對指數(shù)衰減進(jìn)行直線擬合。·

9.1曲線擬合–Linear

Fit對話框設(shè)置5）Quantities

to

ComputeFit

Parameters：擬合參數(shù)項。Fit

Statistics：擬合統(tǒng)計項。Fit

Summary：擬合摘要項。ANOVA：是否進(jìn)行方差分析。Covariance

matrix：是否產(chǎn)生協(xié)方差Matrix。Correlation

matrix：是否顯示相關(guān)性Matrix?！?/p>

9.1曲線擬合。–Linear

Fit對話框設(shè)置Residual

Analysis該項設(shè)置幾種殘差分析的類型。6）Output

Result該項用來定制分析報表Paste

Result

Tables

to

Graph：是否在擬合的圖形上顯示結(jié)果表格Output

Fitted

Values

To：報表輸出位置。Output

Find

Specific

X/YTables：輸出時包含一表格。自動計算X對應(yīng)的Y值或Y對應(yīng)的X值。（后面Find

specific

X/Y選中才出現(xiàn)此項）·

9.1曲線擬合–Linear

Fit對話框設(shè)置7）Fitted

Curves

Plot設(shè)置擬合圖形選項PlotonOriginalGraph：在原圖上作擬合曲線。Update

Legend

on

Original

Graph：更新原圖上的圖例。X

Data

Type：設(shè)置X列數(shù)據(jù)類型。Confidence

Bands：顯示置信區(qū)間。Prediction

Bands：顯示預(yù)計區(qū)間。Confidence

Level

for

Curves：設(shè)置置信度?！?/p>

9.1曲線擬合–Linear

Fit對話框設(shè)置8）Find

Specific

X/Y設(shè)置是否產(chǎn)生一個表格，顯示在Y列或X列中尋找另一列對應(yīng)的數(shù)據(jù)。（輸出位置在Output

Result中設(shè)置）9）Residual

Plots用于輸出各殘差分析圖?！?/p>

9.1曲線擬合·

線性擬合–關(guān)于分析報表分析報表（Analysis

Report

Sheets）較之舊版本，是新版本中的一個重要改進(jìn)。新版本重新設(shè)計了全新的電子表格模塊支持復(fù)雜的格式輸出。另外在新版本中，新版本分析報表并不僅僅是用來顯示分析結(jié)果的“靜態(tài)”報表，而更像一種分析模板，也即是“動態(tài)”報表。新分析報表的特點：按樹形結(jié)構(gòu)組織，可根據(jù)需要進(jìn)行收縮或展開；每個節(jié)點的輸出內(nèi)容可以是表格、圖形、統(tǒng)計和說明；報表以電子表格（Workbook）形式呈現(xiàn)，分析報表附帶的數(shù)據(jù)會生成新的電子表格?！?/p>

9.1曲線擬合–擬合結(jié)果分析報表Notes：記錄用戶、使用時間和擬合方程等信息。Input：顯示數(shù)據(jù)的來源。3）Parameters：顯示斜率、截距和標(biāo)準(zhǔn)差?！?/p>

9.1曲線擬合–擬合結(jié)果分析報表Statistics主要顯示統(tǒng)計點個數(shù)，相關(guān)系數(shù)R-Square。Summary摘要信息顯示，整合了斜率、截距和相關(guān)系數(shù)等主要信息。ANOVA顯示方差分析的結(jié)果?！?/p>

9.1曲線擬合擬合結(jié)果分析報表Fitted

Curves

Plot顯示擬合結(jié)果縮略圖。Residual

vs.

Independent

Plot實驗值與估計值的殘差圖。顯示其他圖表可以再ResidualPlots中設(shè)置。·

9.1曲線擬合·

多項式擬合對于并非有明顯線性關(guān)系的數(shù)據(jù)，通常會考慮多項式擬合。理論上n值越大，擬合效果越好。但隨著n的增大，擬合曲線就會產(chǎn)生劇烈震蕩，并且項數(shù)的增多，如何解釋其物理意義也是一個問題。在實際實驗數(shù)據(jù)分析處理中，多項式擬合一般不會超過4次項。·

9.1曲線擬合多項式擬合多項式擬合實例導(dǎo)入數(shù)據(jù)，通過【File】→【Import】命令打開安裝目錄中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve

Fitting\Polynomial

Fit.dat文件。選中A、B列數(shù)據(jù)，生成散點圖。通過【Analysis】→【Fitting】→【FitPolynomial命令打開Polynomial

Fit對話框。其中的參數(shù)設(shè)置以及結(jié)果輸出可參考線性擬合，其內(nèi)容基本相同?！?/p>

9.1曲線擬合·

多項式擬合多項式次數(shù)二次多項式擬合結(jié)果·

9.1曲線擬合·

多元線性擬合在回歸分析中，如果有兩個或兩個以上的自變量，就稱為多元回歸。事實上，一種現(xiàn)象常常是與多個因素相聯(lián)系的，由多個自變量的最優(yōu)組合共同來預(yù)測或估計因變量，比只用一個自變量進(jìn)行預(yù)測或估計更有效，更符合實際。在Origin中同樣可以是想多元線性回歸分析?！?/p>

9.1曲線擬合多元線性擬合多元線性擬合實例導(dǎo)入數(shù)據(jù)，通過【File】→【Import】命令打開安裝目錄中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve

Fitting\Multiple

LinearRegression文件。無需生成散點圖，通過【Analysis】→【Fitting】→【Multiple

Linear

Regression】命令打開類似Linear

Fit對話框的Multiple

Regression對話框?！?/p>

9.1曲線擬合–多元線性擬合實例3）輸入因變量（dependent）和自變量（independent），其他設(shè)置選擇默認(rèn)，單擊OK即可輸出下圖分析報表。Summary中給出了截距（intercept），自變量（Indep1、2、3）的系數(shù)及相關(guān)系數(shù)?！?/p>

9.1曲線擬合·

非線性擬合對于實際實驗，很多數(shù)據(jù)并不能處理成一種直線關(guān)系，除了多項式擬合外，Origin還提供了非線性函數(shù)進(jìn)行擬合。在Origin中，使用NonLinearFitting（NLFit）對話框來完成這個工作。NLFit工具內(nèi)置了超過200種的擬合函數(shù)，基本能夠適合各種學(xué)科數(shù)據(jù)擬合的要求，每一個函數(shù)也可以使用具體函數(shù)進(jìn)行定制。·

9.1曲線擬合·

非線性擬合–非線性模型擬合·

9.1曲線擬合Origin解非線性模型的算法Levenberg-Marquardt(L-M)method (列文伯格-馬夸爾特法)：LM算法需要對每一個待估參數(shù)求偏導(dǎo)。對于Origin內(nèi)置的擬合函數(shù)，Origin提供了求偏導(dǎo)的解析表達(dá)式，因此速 度快，擬合時，盡可能使用Origin的提供的內(nèi)置擬合函數(shù)對于用戶自定義的擬合函數(shù)，求偏導(dǎo)時，直接使用數(shù)值進(jìn)行，速度較慢。 Origin也允許用戶定義求偏導(dǎo)的表示式。2）Simplex

Method（單純形算法）當(dāng)L-M算法不能得出最佳的擬合結(jié)果時，可嘗試使用該算法。·

9.1曲線擬合·

如何評價非線性擬合結(jié)果·

9.1曲線擬合非線性擬合非線性擬合實例導(dǎo)入數(shù)據(jù)，通過【File】→【Import】命令打開安裝目錄中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve

Fitting\Gaussian.dat文件。選中A、B列數(shù)據(jù)，生成散點圖。通過【Analysis】→【Fitting】→【

NonLinearCurve

Fit】命令打開NLFit對話框。選擇默認(rèn)設(shè)置，單擊OK?！?/p>

9.1曲線擬合·

非線性擬合NLFit對話框非線性擬合結(jié)果·

9.1曲線擬合–NLFit對話框設(shè)置對話框上部的一組標(biāo)簽，主要用來設(shè)置擬合的參數(shù)。1）Setting標(biāo)簽：包括4個子項。A、Function：包括Category（函數(shù)所屬種類）、Function（具體的函數(shù)）、Description（函數(shù)描述）和File

Name（函數(shù)來源和名稱）。·

9.1曲線擬合–NLFit對話框設(shè)置B、DataSelection：輸入數(shù)據(jù)的設(shè)置。C、Fitted

Curves：擬合圖形的一些參數(shù)設(shè)置。D、Advanced：一些高級設(shè)置，參考線性擬合部分。·

9.1曲線擬合–NLFit對話框設(shè)置4）bounds標(biāo)簽：各參數(shù)上下限、及上下限與參數(shù)的關(guān)系（有<<=、>、>=和Disable5個選項）。·

9.1曲線擬合–NLFit對話框設(shè)置對話框中間一組控制按鈕從左至右包括：1）Create/Edit

Fitting

Function:新建/編輯擬合函數(shù)。2）Save

FDF

File：保存擬合函數(shù)。3）Initialize

Parameters：初始化參數(shù)。4）Simplex：給參數(shù)賦予近似值。5）Calculate

Chi-Square：計算Chi-Square的值。6）1

Iteration：使當(dāng)前函數(shù)每次運行時只執(zhí)行一次。7）Fit

till

Converge：使當(dāng)前函數(shù)每次運行時不斷循環(huán)執(zhí)行直到結(jié)果在規(guī)定范圍內(nèi)?！?/p>

9.1曲線擬合5）為了得到有效的結(jié)果和減少處理工作量，單擊Parameter標(biāo)簽，將y0,a,b的初始值設(shè)為1。然后單擊按鈕Tit

TillConverged，完成收斂后得到y(tǒng)0,a,b的值。單擊OK返回主頁面，完成成擬擬合合。。擬合結(jié)果設(shè)置y0,a,b初始值·

9.2數(shù)據(jù)管理與數(shù)學(xué)運算對數(shù)據(jù)管理數(shù)據(jù)列操作雙擊列標(biāo)題或者右擊在快捷菜單中選擇Properties,打開Column話框設(shè)置列屬性,如右圖。數(shù)據(jù)列間的運算可用第7章介紹的[Column]→[Set

ColumnValues]命令實現(xiàn)。簡單的加減乘除冪運算，可用接下來數(shù)學(xué)運算中介紹的SimpleMath命令實現(xiàn)?！?/p>

9.2數(shù)據(jù)管理與數(shù)學(xué)運算·

數(shù)據(jù)管理–數(shù)據(jù)排列在Origin中也可以做到對單列、多列甚至整個工作表數(shù)據(jù)排序。實現(xiàn)命令為：菜單欄【W(wǎng)orksheet】→【Sort

Range】/【Sort

Column】/【Sort

Worksheet】?！?/p>

9.2數(shù)據(jù)管理與數(shù)學(xué)運算選擇數(shù)據(jù)范圍作圖Go

toEdit→Go

to命令，可以跳到指定的行列。Set

As

Begin/End選定指定行，執(zhí)行Edit→SetAsBegin命令,則該行被設(shè)置為起始行（同時該行前的數(shù)據(jù)消失）。結(jié)束行同樣設(shè)置。然后作圖，此時作圖范圍即為指定的始末行區(qū)間。始末行設(shè)置撤銷執(zhí)行Edit→UndoSetrawasbeginorasend命令可撤銷始末行設(shè)置，并恢復(fù)原有數(shù)據(jù)顯示·

9.2數(shù)據(jù)管理與數(shù)學(xué)運算本章介紹的數(shù)學(xué)運算主要包括插值與外推、簡單數(shù)學(xué)運算、微分、積分和曲線操作等。這些分析大都是通過【Analysis】→【Mathematics】/【DataManipulation】菜單，選擇相應(yīng)指令進(jìn)行操作?！?/p>

9.2數(shù)據(jù)管理與數(shù)學(xué)運算簡單數(shù)學(xué)運算利用SimpleMath命令可以進(jìn)行普通的數(shù)學(xué)運算，適用于數(shù)據(jù)表和圖形。利用這個功能可以非常方便地對數(shù)據(jù)或曲線進(jìn)行簡單的加減乘除的運算，對于圖形來說，可以利用加減運算進(jìn)行平移或升降，利用乘除可以調(diào)整曲線的縱橫深度。簡單數(shù)學(xué)運算實例導(dǎo)入數(shù)據(jù)：打開安裝目錄D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve

Fitting\中的Multiple.dat文件。選中所有的列作線圖。·

9.2數(shù)據(jù)管理與數(shù)學(xué)運算·

簡單數(shù)學(xué)運算3）下圖即為所作圖，可以發(fā)現(xiàn)所有曲線重疊在一起，不方便觀察，調(diào)用菜單【Analysis】→【Mathematics】中Simple

Math命令進(jìn)行調(diào)整。·

9.2數(shù)據(jù)管理與數(shù)學(xué)運算·

簡單數(shù)學(xué)運算3）調(diào)用Simple

Math命令打開Mathematics

Mathtool對話框。其中參數(shù)設(shè)置：Input：數(shù)據(jù)輸入。Operator：操作符，包括加、減、乘、除和冪運算。Operand：操作數(shù)類型，包括const常量和Reference

Data參數(shù)數(shù)據(jù)（用于扣除背景）。Output：結(jié)果輸出區(qū)域。Recalculate：輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)關(guān)系?！?/p>

9.2數(shù)據(jù)管理與數(shù)學(xué)運算Integrate積分利用菜單【Analysis】→【Mathematics】→【Integrate命令可以對數(shù)據(jù)進(jìn)行積分運算。對話框參數(shù)設(shè)置：Input：輸入數(shù)據(jù)。Area

Type：進(jìn)行積分的方式。Output：結(jié)果輸出區(qū)域。Plot

Integral

Curve：是否生成計算結(jié)果的圖形。Results

Log

Output：是否輸出計算結(jié)果到Result

Log窗口。Recalculate：輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)關(guān)系?！?/p>

9.2數(shù)據(jù)管理與數(shù)學(xué)運算扣除數(shù)據(jù)減去參考直線操作命令：Analysis→Data

Manipulation→SubtractStraight

Line。通過鼠標(biāo)雙擊確定起點終點。目的：扣除一條直線（可以是水平或斜線），以修正原有數(shù)據(jù)減去參考數(shù)據(jù)操作命令：Analysis→Data

Manipulation→SubtractReference

Data。在對話框中設(shè)置參考數(shù)據(jù)。目的：主要用于扣除空白實驗（即背景或基底）?！?/p>

9.3統(tǒng)計分析及其他應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)（Statistics）是一門