2021年中考數(shù)學(xué) 匯編：相似三角形及其應(yīng)用（含答案）

2021中考數(shù)學(xué)專題匯編：相似三角形及其應(yīng)用

一、選擇題（本大題共io道小題）

1.如圖，在△ABC中，D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，DE//BC,若AO=2,

AB=3,DE=4,則3c等于()

D.8

AV9

2.（2020?永州）如圖，在ABC中，EF//BC,—=-,四邊形3CEE的面積

EB3

為21,則ABC的面積是（）

C.35D.63

3.（2020.嘉興）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△048的頂點(diǎn)為。（0,0）,A（4,3）,

B（3,0）.以點(diǎn)。為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△0A8的位似比為［的位似圖

3

形△OC0,則點(diǎn)C坐標(biāo)為（）

44

A.(-1,-1)B.(--,-1)C.(-1,--)D.(-

33

2,-1)

4.(2019?巴中)如圖ABCD,產(chǎn)為中點(diǎn)，延長A。至E,使OE：AD=1：3,

連接EF交DC于點(diǎn)G,則S&DEG:SMFG

A.2：3B.3：2

C.9：4D.4：9

5.（2020.河南）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,邊BC在x軸上，頂點(diǎn)A,B

的坐標(biāo)分別為（-2,6）和（7,0）.將正方形OCDE沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊

上時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）

6.（2020.河北）在圖5所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)。為位似中心，四邊形ABCO的位似

圖形是

A.四邊形NPM。B.四邊形NPMR

C.四邊形NHMQD.四邊形NHMR

7.（2019?賀州）如圖，在“呂。中，D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，DE//BC,

若4）=2,43=3,DE=4,則3C等于

A.5B.6

C.7D.8

8.如圖，在放aABC中，ZC=90°,NCAB的平分線交BC于D,DE是AB

的垂直平分線，垂足為E.若BC=3,則DE的長為（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2020?麗水）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形

ABCD與正方形EFGH.連結(jié)EG,BD相交于點(diǎn)0、BD與HC相交于點(diǎn)P.若

GO=GP,則13絲的值是（）

5正方形

AD

BC

A.1+\f2B.2+>/2C.5—J215

T

10.（2020?新疆）如圖，在△ABC中，ZA=90°,。是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作

BC的平行線交AC于點(diǎn)E,作BC的垂線交BC于點(diǎn)F,若AB=CE,且△。產(chǎn)E

的面積為1,則3C的長為

A.2人C.4有D.10

二、填空題（本大題共8道小題）

11.如圖，在△ABC中，ZACD=ZB,若AD=2,BD=3,則AC長為.

12.在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m,同時(shí)同地測(cè)得一棟樓

的影長為90m,則這棟樓的高度為m.

7

13.（2020?郴州）在平面直角坐標(biāo)系中，將AAOB以點(diǎn)O為位似中心，4為位似

3

比作位似變換，得到AA。？.已知A（2,3），則點(diǎn)A,的坐標(biāo)是.

14.如圖，在中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,CDLAB,垂足為

D,E為8C的中點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)尸，則DF的長為.

15.（2019?瀘州）如圖，在等腰RtAABC中，NC=90。，AC=15,點(diǎn)E在邊CB上,

CE=2EB,點(diǎn)。在邊A3上，CDLAE,垂足為F，則AD長為.

16.（2020.杭州）如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)E在河邊上，把△8CE沿直線CE對(duì)折,

使點(diǎn)3落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，連接OF.若點(diǎn)、E,F,。在同一條直線上，AE=2,

則DF=,BE=.

17.如圖，在RQA8C中，ZBAC=90°,AB=\5,AC=20,點(diǎn)。在邊AC上,

AD=5,QELBC于點(diǎn)￡,連接AE,則△ABE的面積等于.

I)

18.（2020?長沙）如圖，點(diǎn)尸在以MN為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，（點(diǎn)尸與MN不重

合）PQLMN,NE平分/MNP,交PM于點(diǎn)E,交PQ于點(diǎn)、F.

⑴『喘

(2)若PN2=PM?MN,則竺2=

NQ

三、解答題（本大題共4道小題）

19.（2020?涼山州）（7分）如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊8C=

120mm,高A￡>=80mm,把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC■上，

其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在A3、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長是多少？

20.如圖，在RQA3C中，ZACB=90°,A3=10,BC=6,CD//AB,NABC的平

分線交AC于點(diǎn)￡,求。E的長.

21.已知：在等邊△A3C中，D、E分別是AC、上的點(diǎn)，且NBAE=NCBD

<60°,DH1AB,垂足為點(diǎn)H.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)￡>、E分別在邊AC、上時(shí)，求證：XABEQXBC6

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。、E分別在AC、CB延長線上時(shí)，探究線段AC、AH、BE的

數(shù)量關(guān)系；

(3)在(2)的條件下，如圖③，作EK〃8O交射線AC于點(diǎn)K,連接"K,交于

點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)P,當(dāng)AC=6,BE=2時(shí)，求線段BP的長.

22.已知在4ABC中，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)(與A,B不重合)，同

時(shí)，點(diǎn)E由點(diǎn)C沿BC的延長線方向運(yùn)動(dòng)(E不與C重合)，連接DE交AC于

點(diǎn)F,點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn).

AT

(1)如圖①，若4ABC是等邊三角形，DH1AC,且D,E的運(yùn)動(dòng)速度相等，求一上

HF

的值.

(2)如圖②，若在4ABC中，ZABC=90°,ZADH=ZBAC=30°,且點(diǎn)D,E

的運(yùn)動(dòng)速度之比是：1,求4c的值；

HF

(3)如圖③，若在4ABC中，AB=AC,NADH=NBAC=36°,記生=m，且點(diǎn)

AC

D,

2021中考數(shù)學(xué)專題匯編：相似三角形及其應(yīng)用

-答案

一、選擇題(本大題共io道小題)

1.【答案】B［解析］..?OE〃8C,

/.△ADE^AABC,

ADDE24

.-.AB=BC,EP3=BC,解得BC=6,故選B.

2.【答案】B

【詳解】解：???EF//5C

:.ZAEF=/B,ZAFE=NC

:.AEEs

..AE_2

?EB-3

.AE2

??--=—

AB5

?SAEH_4

S四邊形BCFE2.

?S四邊形BCFE=21

SAEB=4

?,SABC=25

故選：B.

3.【答案】B

【解析】本題考查了在坐標(biāo)系中，位似圖形點(diǎn)的坐標(biāo).在平面直角坐標(biāo)系中，如

果以原點(diǎn)為位似中心，畫出一個(gè)與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為

k,那么與原圖形上的點(diǎn)（x,y）對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（依，ky）或（-依,

-0）.由A（4,3）,位似比仁1"可得C4因此本題選B.

4.【答案】D

【解析】設(shè)?！?X,vDE：AD=\：3,AD=3x,

??,四邊形ABC。是平行四邊形，/.AD//BC,BC=A￡）=3x,

13

???點(diǎn)F是的中點(diǎn)，彳x,

22

AD//BC,：.4DEGs/\CFG,

/DE21%、24

=旨=（『=§故選D.

——X

2

5.【答案】B

【解析】??,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-2,6)和(7,0),/.OC=2,AC=6,OB=7,

，BC=9,正方形的邊長為2.將正方形OCDE沿％軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊

上時(shí)，設(shè)正方形與*軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為G、F,?.?EF，x軸，EF=GF=DG=2,

，EF〃AC,D,E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為2,

二空=空，即:=竺，解得BF=3.；.OG=OB-BF-GF=732=2，二D點(diǎn)的橫坐

ACBC69

6.【答案】A

【解析】解析：連接AO并延長AO至點(diǎn)N,連接BO并延長PO至點(diǎn)P,連接CO并延

AOBOCODO

長CO至點(diǎn)M,連接DO并延長DO至Q,可知N°P°MOQO耳，所以以

點(diǎn)O為位似中心，四邊形ABCD的位似圖形是四邊形NPMQ,故答案為A.

7.【答案】B

【解析】VDE//BC,：.2DES&BC,

—,即解得:

2=/-,BC=6,故選B.

ABBC3BC

8.【答案】A【解析】'：AD是NBAC的平分線，ACU8C,AE±DE,：.DC=

DE,AE=AC又YOE是A3的垂直平分線，：.BE^AE,即AB=2AE=2AC,

Y1

NB=30°.設(shè)。E=尤，則B￡>=3—x.在中，丁一=7，解得x=l,:.DE

3—x2

的長為1.

9.【答案】C

【解析】?.?四邊形EFGH為正方形，.,.ZEGH=45°,ZFGH=90°,VOG=

GP,/.ZGOP=ZOPG=67.5°,AZPBG=22.5°,又?；NDBC=45°,AZ

GBC=22.5°,/.ZPBG=ZGBC,

VZBGP=ZBG=90°,BG=BG,AABPG^ABCG,.*.PG=CG.設(shè)OG=

PG=CG=x,

?.?0為EG,BD的交點(diǎn)，，EG=2x,FG=^x-.?四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙

爽弦圖"，.?.BF=CG=x,

.J5■口巾一口八0”「0=苫2（應(yīng)+1尸+/=（4+20）x?

??BG—+.BC2—BG2+CG2'7,

SiLsc。=（4+2"）廠=2+應(yīng)

%方彩印21,因此本題選D.

10.【答案】A

【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理.如答圖,

過點(diǎn)E作EGLBC于G,過點(diǎn)A作AH_LBC于H.

又因?yàn)镈FLBC,所以DF〃AH〃EG,四邊形DEGF是矩形.所以△BDFs4

BAH,DF=EG,所以=因?yàn)镈為AB中點(diǎn)，所以^=所以

AHBABA2AH

=1.設(shè)DF=EG=x,則AH=2x.因?yàn)镹BAC=90°,所以NB+NC=90°,

因?yàn)镋G_LBC,所以NC+NCEG=90°,所以NB=/CEG,又因?yàn)?BHA=

ZCGE=90°,AB=CE,所以AABH0ACEG,所以CG=AH=2x.同理可證

RFRD111

△BDF^AECG,所以一=—，因?yàn)锽D=—AB=—CE,所以Bb=—EG=

EGEC222

；x.在RrABDF中，由勾股定理得BD=4DF2+BF1=Jx2+（y%）2=*x,所以

AD=@x,所以CE=AB=2AD=7^X.因?yàn)镈E〃BC,所以空=當(dāng)=（，

2ACAD2

所以AE=gAC=CE=6x.

在RfZ^ADE中，由勾股定理得DE==樗》）2+（氐）2=，x.因^

DEF的面積為1,所以;DE?DF=1,即gx|x?x=l,解得x=|石，所以

DE=|X|A/5=75?因?yàn)锳D=BD,AE=CE,所以BC=2DE=2正，因此本

題選D.

二、填空題1本大題共8道小題）

11.【答案】師ZACD=ZB,ZCAD=ZBAC,：.^ACD^AABC,

ACADAC2

/.AB=AC,即2+3=AC,

：.AC=fi^^4。=-呵舍去）.

12.【答案】54

13.【答案】（生2）

3

【解析】?.?將△AOB以點(diǎn)0為位似中心，2為位似比作位似變換，得到△40B,

3

A（2,3）,...點(diǎn)4的坐標(biāo)是:（2x2,2x3）,即Ai（生2）.故答案為：（生2）.

3333

54

14.【答案】—

85

【解析】本題考查平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì).已知N

ACB=90°,AC=3,BC=4,由勾股定理，得45=5.CD1AB,由三角形的面

積，得CD=AC8C=乜易得△ABCSAACDS^CBD,由相似三角形對(duì)應(yīng)

AB5

邊成比例，得AD=A。A。=2,BD=BCBC=—.過點(diǎn)E作EG〃AB交CO

AB5AB5

于點(diǎn)G,由平行線分線段成比例，得DG=LCD=9,EG=J所以空=絲，

255GFEG

9

即盧_=&,所以。E=,故答案為四.

。鄉(xiāng)85

55

15.【答案】9&

【解析】如圖，過。作￡>H_L4C于〃，則乙4"。=90。,

?.?在等腰RtA48C中，ZC=90°,AC=15,

AC=BC=15,ZC4D=45°,

ZADH=9Q°-ZCAD=45°=ZCAD,

：.AH=DH,

：.CH=AC-AH=\5-DH,

,：CFA.AE,:.NDHA=NDFA=90°,

又NANH=ZDNF,：.ZHAF=ZHDF,

.PHCH

：.SDUC

AACEA,"7c-cF

,:CE=2EB,CE+BE=BC=i5,，CE=10,

.DH\5-DH

??-----=-----------,

1510

:.DH=9,

AD="JAH2+DH2=9>/2?故答案為：9\/2-

16.【答案】26一1

【解析】設(shè)BE=x,則AB=AE+BE=2+x.?.?四邊形ABCD是矩形，；.CD=AB

=2+x,AB〃CD,.*.ZDCE=ZBEC.由折疊得NBEC=/DEC,EF=BE=x,

/.ZDCE=ZDEC.，DE=CD=2+x.*.?點(diǎn)D,F,E在同一條直線上，；.DF=

DCDFx+2

DE—EF=2+x—x=2.：AB〃CD,ADCF^AEAF,:.EA=EF.:.2

2____

=x,解得%1=逐-1,x2=一6-1.經(jīng)檢驗(yàn)，xl=布-1,x2=一6一1都

是分式方程的根???”>（），即BE=^—1.

17.【答案】78【解析】如解圖，過A作AH_LBC,VAB=15,AC=20,ZBAC

=90°,...由勾股定理得，BC=）152+勾2=25,VAD=5,.*.DC=20-5=15,

VDE1BC,ZBAC=90°,AACDE^ACBA,，齊=7^，/.CE=^|x20=12.

CACDZJ

法-*：BC,AH—AB-AC,AH—口r-—TZ—12,SAABE=^^12X13—78.

DUZDz

法二：DE=-152—122=9,由△CDEs/\CAH可得，胃=瞿，，AH=^1^=

YLAHAID

亞一

18.【答案】1;1

2

【解析】本題考查了圓的基本性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，平行相似，相似判定與性質(zhì),

(1)EHLMN,又〈MN是直徑,NE平分/MNP,PQ工MN,，易證出PE

?ME_EH_PF

=EH=HF=PF,EH//PQ,：.4EMHS4PMQ,

’?麗一而一而

尸"+PE_ME_卜PE_]

~PQPM~~PM~PM~'

(2)由相似基本圖射影型得：解得PN?=QN?MN又,：PN?=PM?MN,：.QN=

PM,設(shè)QN=PM=a,MQ=b,由相似基本圖射影型得：解得PM?=MQ?MN,

02=岫+勸解得，=(T+/)?或匕=￡1二^^(舍去).?.理=2=上；

22NQa2

因此本題答案為1;3二

三、解答題(本大題共4道小題)

19.【答案】

解：設(shè)這個(gè)正方形零件的邊長為xmm,則4AEF的邊EF上的高AK=(80-

x)mm.

???四邊形EFHG是正方形，；.EF〃GH,即EF〃BC./.AAEF^AABC.

EFAKx80-x

/.BC~AD,即120—80..?.x=48..?.這個(gè)正方形零件的邊長是48mm.

20.【答案】

解:BD平分ZABC,：.ZABD=ZCBD.

,:AB〃CD,:.ND=NABD,：.NCBD=ND,：.CD=BC=6.

I29I~~29

在RSABC中，AC以AB-BCJ10-6=8

"：AB//CD,:.XABEs/\CDE,

CEDECD63

...AE=BE=AB=10=5,

3333

CE=^AE,DE±BE,即CE至4。=叔8=3.

在RtABCE中，BE=\，BC2+CE」6~+32=35

DEqBE士x3*=^.

21.【答案】

⑴證明：???△ABC為等邊三角形，

...NA3C=NC=NC4B=60°,AB=BC,

在AABE和△BCD中，

ZBAE=ZCBD

AB=BC,

NABE=/BCD

：.AABE^ABCD(ASA)；

(2)解：..?△ABC為等邊三角形，

AZABC=ZCAB=60°,AB=BC,

：.ZABE=ZBCD=\SO°-60°=120°.

.?.在△ABE和△BCD中，

/BAE=/CBD

AB=BC,

NABE=NBCD

：.AABE^ABCD(ASA),

：.BE=CD.

,：DHLAB,

：.ZDHA=90°,

VZC4B=60°,

/.ZADH=30°,

：.AD=2AH,

：.AC=AD-CD=2AH-BE；

(3)解：如解圖，作。SLBC延長線于點(diǎn)S,作“加〃4。交8。于點(diǎn)M,

D

解圖

'：AC=6,BE=2,

.,.由(2)得A"=4,BH=2,

與(1)同理可得3E=CD=2,CE=8,

VZSCD=ZACB=6Q°,

AZCD5=30°,

，CS=1,SO=小，BS=7,

'：BD2=BS2+SD2=l2+(43)2,

：.BD=2g,

\'EK//BD,

：./\CBD^/\CEK,

.CBCDBD

''~CET~CK=~EK,

CD?CE2X88CE?BD8X27158713

,,CK=CB=~T=VEK=CB=6=3'

^HM/ZAC,

：.ZHMB=ZACB=60°,

...△HMB為等邊三角形，BM=BH=HM=2,

CM=CB-BM=4,

又‘：HM"AC,

：./\HMGS/\KCG,

.HMMG

''~KC=~CG'

2