全等三角形判定一(SSS,SAS)(提高)知識講解

全等三角形判定一（SSS,SAS）（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“邊邊邊”，和判定方法2——“邊角邊”；2．能把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等.【要點梳理】【高清課堂：379109全等三角形判定一，基本概念梳理回顧】要點一、全等三角形判定1——“邊邊邊”全等三角形判定1——“邊邊邊”三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點詮釋：如圖，如果4B'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC,則△ABC044B'C'.要點二、全等三角形判定2——“邊角邊”全等三角形判定2——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點詮釋：如圖，如果AB=A'B',ZA=ZA',AC=A'C'，則△ABC04A'B'C'.注意：這里的角，指的是兩組對應(yīng)邊的夾角.有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.如圖，^ABC與^ABD中，AB=AB,AC=AD,NB=NB,但^ABC與^ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.

類型一、全等三角形的判定1——“邊邊邊”1、如圖，在4ABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,BD=CE,求證：NBAD=NCAE.【答案與解析】證明：在^ABD和4ACE中，AB=ACVAD=AEBD=CE...△ABDSACE(SSS).\ZBAD=ZCAE（全等三角形對應(yīng)角相等）.【總結(jié)升華】把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等，綜合應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì).要證NBAD=NCAE,先找出這兩個角所在的三角形分別是△BDA和ACAE,然后證這兩個三角形全等.舉一反三：【高清課堂：379109全等三角形的判定（一）同步練習(xí)6】【變式】已知：如圖，AD=BC,AC=BD.試證明：NCAD=NDBC.

【答案】證明：連接DC,在4ACD與ABDC中【答案】證明：連接DC,在4ACD與ABDC中AD=BC<AC=BDCD=DC(公共邊)...△ACDSBDC(SSS).\ZCAD=ZDBC（全等三角形對應(yīng)角相等）類型二、全等三角形的判定2——“邊角邊”2、如圖，AD是4ABC的中線，求證：AB+AO2AD.【思路點撥】延長AD到點E,使AD=DE,連接CE.通過證全等將AB轉(zhuǎn)化到ACEA中，同時也構(gòu)造出了2AD.利用三角形兩邊之和大于第三邊解決問題.【答案與解析】證明：如圖，延長AD到點E,使AD=DE,連接CE.在^ABD和^ECD中，AD=DE,ZADB=ZEDC,BD=CD..△ABDSECD.???AB=CE.VAC+CE>AE,??.AC+AB>AE=2AD.即AC+AB>2AD.【總結(jié)升華】證明邊的大小關(guān)系主要有兩個思路：（1）兩點之間線段最短；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊.要證明AB+AO2AD,如果歸到一個三角形中，邊的大小關(guān)系就是顯然的，因此需要轉(zhuǎn)移線段，構(gòu)造全等三角形是轉(zhuǎn)化線段的重要手段.可利用旋轉(zhuǎn)變換，把4ABD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△CED,也就把AB轉(zhuǎn)化到ACEA中，同時也構(gòu)造出了240.若題目中有中線，倍長中線，利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形是一種重要方法．舉一反三：【變式】（2014秋?慈溪市校級期中）如圖，把兩根鋼條AA/,BB’的中點連在一起，可以做成一個測量內(nèi)槽寬的卡鉗，卡鉗的工作原理利用了三角形全等判定定理.【答案】SAS.解：卡鉗的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS,理由如下:?「O是AA’,BB’的中點，.\AO=A'O,BO=B'O,又一NAOB與NA,OB‘是對頂角，.\ZAOB=ZA'OB’,在^AOB和△A'OB‘中，rAO=AOy，ZA0B=ZA;OB',、BO=OB'...△AOBSA,OB'（SAS）,.'.A'B‘二AB,

???只要量出A‘B’的長度，就可以知道工作的內(nèi)徑AB是否符合標(biāo)準(zhǔn).【思路點撥】在DC上取一點E,使BD=DE,則△【思路點撥】在DC上取一點E,使BD=DE,則△ABD04AED,所以AB=AE,只要再證出EC求證：AB=CD—BD.=AE即可.【答案與解析】證明：在DC上取一點E,使BD=DE?;AD±BC,AZADB=ZADE在4ABD和4AED中，BD=DE,AD=AD.△ABDSAED(SAS).AB=AE,ZB=ZAED.又,.?/B=2NC=NAED=NC+NEAC.ZC=ZEAC.AAE=EC.AB=AE=EC=CD—DE=CD—BD.【總結(jié)升華】此題采用截長或補(bǔ)短方法.上升到解題思想，就是利用翻折變換，構(gòu)造的全等三角形，把條件集中在基本圖形里面，從而使問題加以解決.如圖，要證明AB=CD—BD,把CD—BD轉(zhuǎn)化為一條線段，可利用翻折變換，把4ABD沿AD翻折，使線段BD運(yùn)動到DC上，從而構(gòu)造出CD—BD,并且也把NB轉(zhuǎn)化為NAEB,從而拉近了與/C的關(guān)系.舉一反三：【變式】已知，如圖，在四邊形ABCD中，AC平分/BAD,CEXAB于E,并且AE=1(AB+AD),求證：NB+ND=180

【答案】證明：在線段AE上，截取EF=EB,連接FC,.*.ZCEB=ZCEF=90.?.證明：在線段AE上，截取EF=EB,連接FC,.*.ZCEB=ZCEF=90.?.△CBESCFE(SAS)VCEXAB,在ACBE和ACFE中,(EB=EFZCEB=ZCEFEC二ECAZB=ZCFEVAE=1(AB+AD),；.2AE=AB+AD2.?.AD=2AE—ABVAE=AF+EF,.??AD=2(AF+EF)—AB=2AF+2EF—AB=AF+AF+EF+EB—AB=AF+AB—AB,即AD=AF在△AFC和△ADC中'AF=ADv/FAC=/DAC(角平分線定義)AC=AC...△AFCSADC(SAS).\ZAFC=ZDVZAFC+ZCFE=180°,ZB=ZCFE.AZAFC+ZB=180°,ZB+ZD=180類型三、全等三角形判定的實際應(yīng)用4、(2014秋?紫陽縣期末)雨傘的中截面如圖所示，傘骨AB=AC,支撐桿0E=0F,AE^AB,AF」AC,當(dāng)。沿AD滑動時，雨傘開閉，問雨傘開閉過程中，NBAD與NCAD有何關(guān)系說明3理由．【思路點撥】證角相等，常常通過把角放到兩個全等三角形中來證，本題OA=OA公共邊，可考慮SSS證明三角形全等，從而推出角相等.【答案與解析】解：雨傘開閉過程中二者關(guān)系始終是：NBAD二NCA