飽和土體中無限大彈性體內(nèi)球殼動(dòng)力響應(yīng)

飽和土體中無限大彈性體內(nèi)球殼動(dòng)力響應(yīng)

在這項(xiàng)工作中，通常會(huì)發(fā)現(xiàn)不限于大的球殼的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題，例如，地下倉庫的突然爆炸、地下實(shí)驗(yàn)室的干擾和其他類型地下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。美的應(yīng)用拉普拉斯變換方法解決了在軸對(duì)稱的徑向負(fù)荷和切向負(fù)荷的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題。abd-all等人研究了正交彈性介質(zhì)中球形孔的熱應(yīng)力。zarkut采用加權(quán)殘數(shù)法，分析了無限彈性介質(zhì)中存在地殼或無地殼波形孔的表面負(fù)荷的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，并對(duì)最小接收體中的傳輸進(jìn)行了分析。在選定的時(shí)間模式下討論了最小接收模式和最小值模式的結(jié)果。由于飽和多孔介質(zhì)中波的傳播較彈性介質(zhì)中復(fù)雜,Biot波動(dòng)理論是研究飽和多孔介質(zhì)中應(yīng)力波傳播的理想模型.徐長(zhǎng)節(jié)等人采用Biot固結(jié)、波動(dòng)理論研究了黏彈性飽和土體中球空腔的動(dòng)力響應(yīng)問題,陳仁鵬等人求解了飽和土體中球空腔的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)并由此分析了樁在穩(wěn)態(tài)振動(dòng)下的剛度和阻尼.Seyed等人采用Biot理論研究了球形孔洞在表面荷載下的模態(tài)阻抗.Liu等人假設(shè)殼體為多孔彈性介質(zhì),研究了黏彈性飽和土體中半封閉球殼在表面軸對(duì)稱荷載和流體壓力作用下的動(dòng)力響應(yīng),并討論了反映球殼半封閉特性的滲透性參數(shù)及殼體和土體的相對(duì)剛度的影響.筆者采用Biot理論,通過引入勢(shì)函數(shù)及Helmholtz分解原理,研究黏彈性飽和土體中半封閉球殼表面作用任意荷載條件下球殼的動(dòng)力響應(yīng)問題.1土體的黏結(jié)反應(yīng)中l(wèi)ame常態(tài)和黏彈性介質(zhì)的發(fā)生假設(shè)球殼置于無限黏彈性飽和土體中,殼體與土體完全接觸,則球殼內(nèi)側(cè)邊界上受任意荷載作用下的計(jì)算模型如圖1所示,其中a為殼體中曲面半徑,h為殼體厚度,r2為殼體外半徑.在建立了問題的基本模型后,可以建立球形孔洞求解的基本方程.黏彈性飽和土體中球形孔洞動(dòng)力響應(yīng)問題求解的控制方程為G?2u+(λ1+α2M+2G1)grade-αMgradξ=?2?t2(ρu+ρfw),(1a)αΜgrade-Μgradξ=?2?t2(ρfu+mw)+η0kd?w?t.(1b)式中:u為土體的徑向位移;w為流體的相對(duì)徑向位移;ρf為孔隙流體的密度;ρ為土體和孔隙流體的總密度,ρ=(1-f)ρs+fρf,f為孔隙率,ρs為土顆粒密度;η0為流體的黏滯系數(shù);kd為土體在動(dòng)力條件下的滲透系數(shù);m=ρf/f;e為土體的總應(yīng)變,e=ui,i;ξ=-wi,i;α、M為反映飽和土體壓縮性的參數(shù),0≤α≤1,0≤M≤∞,當(dāng)M→∞,α→1時(shí)表示土顆粒和孔隙流體均不可壓縮;λ、G為彈性介質(zhì)的Lame常數(shù),λ′、G′為黏性介質(zhì)的膨脹和剪切系數(shù).λ1=λ+λ′?/?t,G1=G+G′?/?t.引入4個(gè)勢(shì)函數(shù)?、χ、ψ和φ,利用Helmholtz分解原理,則位移場(chǎng)可表示為u=??+?×ψ,(2a)w=?χ+?×φ.(2b)Liu等人假定彈性介質(zhì)的Lame常數(shù)和黏性介質(zhì)的膨脹及剪切系數(shù)有以下關(guān)系:λ′/λ=G′/G=η,η定義為黏彈性飽和土體的黏滯常數(shù),則將式(2)代入式(1)并利用Laplace變換得到[λc+2G0αΜαΜΜ][?2ˉ??2ˉχ]=[ρs2ρfs2][ˉ?ˉχ],(3a)[G0000][?2ˉψ?2ˉφ]=[ρs2ρfs2ρfs2ms2+η0/kds][ˉψˉφ].(3b)式中:λc=λ0+α2M;λ0=λ(1+ηs);G0=G(1+ηs).對(duì)方程(3a)、(3b)進(jìn)行Helmholtz分解得到?2ˉ?1,2-γ21,2ˉ?1,2=0,(4a)?2ˉψ-γ23ˉψ=0.(4b)式中:γ1、γ2分別為兩類壓縮波的復(fù)波數(shù),γ3為剪切波的復(fù)波數(shù).γ21,2=B?√B2-4AC2A,(5a)γ23=CG0(ms2+η0/kds).(5b)式中:A=M(λc+2G0)-α2M2,B=(λc+2G0)(ms2+η0/kds)+ρs2M-2αMρfs2,C=ρs2(ms2+η0/kds)-ρ2fs4.利用方程(3)和(4)可知?jiǎng)莺瘮?shù)?、χ、ψ和φ之間存在以下關(guān)系:ˉ?=ˉ?1+ˉ?2?ˉχ=k1ˉ?1+k2ˉ?2?ˉ?=α0ˉψ.(6)式中:k1,2=(λc+2G0-α2Μ)γ21,2-ρs2+αρfs2ρfs2-α(ms2+η0/kds);α0=-ρfs2ms2+η0/kds.在球坐標(biāo)(r,θ,φ)中,當(dāng)殼體表面作用有非扭轉(zhuǎn)荷載時(shí),uz=σrz=σθz=0.假設(shè)?=∞∑n=0?n(r,t)Ρn(cosθ),ψ=∞∑n=0ψn(r,t)Ρn(cosθ),χ=∞∑n=0χn(r,t)Ρn(cosθ)φ=∞∑n=0φn(r,t)Ρn(cosθ),其中Pn(cosθ)為第一類Legendre函數(shù).當(dāng)n取不同的值時(shí)表示不同的響應(yīng)模式,例如瞬時(shí)模式(n=0)、平移模式(n=1)和最小葉模式(n=2),等等,則位移和應(yīng)力的表達(dá)式可表示為ur=∞∑n=0unr(r,t)Ρn(cosθ)=∞∑n=0(??n?r+n(n+1)rψn)Ρn(cosθ),(7a)uθ=∞∑n=0unθ(r,t)dΡn(cosθ)dθ=∞∑n=0(?nr+?ψn?r+ψnr)dΡn(cosθ)dθ,(7b)wr=∞∑n=0wnr(r,t)Ρn(cosθ)=∞∑n=0(?χn?r+n(n+1)rφn)Ρn(cosθ),(7c)wθ=∞∑n=0wnθ(r,t)dΡn(cosθ)dθ=∞∑n=0(χnr+?φn?r+φnr)dΡn(cosθ)dθ,(7d)σr=∞∑n=0σnr(r,t)Ρn(cosθ),(7e)τrθ=∞∑n=0σnrθ(r,t)dΡn(cosθ)dθ.(7f)將式(7)代入式(2)中可以得到土體的總應(yīng)變:e=?u=∞∑n=0?2?ncosnθ=∞∑n=0(γ21?n1+γ22?n2)cos(nθ),(8a)ξ=-?w=-∞∑n=0?2χncos(nθ)=-∞∑n=0(k1γ21?n1+k2γ22?n2)cos(nθ).(8b)式中:?2=?2?r2+2r??r-n(n+1)r2,ˉ?n=ˉ?n1+ˉ?n2.在Laplace變換域中方程(4a)、(4b)可表示為?2?n1?r2+2r??n1?r+(i2γ21-n(n+1)r2)?n1=0,(9a)?2?n2?r2+2r??n2?r+(i2γ22-n(n+1)r2)?n2=0,(9b)?2?r2+2r?ψn?r+(i2γ23-n(n+1)r2)ψn=0.(9c)求解式(9),并利用球形孔洞位移有界性可得到ˉ?n1=DnΗn(iγ1r),ˉ?n2=EnΗn(iγ2r),ˉψn=FnΗn(iγ3r).}(10)式中:Hn(x)為n階漢克爾函數(shù),Dn、En、Fn為待定參數(shù),可由球形孔洞的邊界條件確定.在獲得勢(shì)函數(shù)的表達(dá)式后,可以得到球形孔洞的位移、孔隙水壓力和應(yīng)力響應(yīng)在Laplace變換域中的通解形式為ˉur=∞∑n=0[Η′n(iγ1r)Dn+Η′n(iγ2r)En+n(n+1)rΗn(iγ3r)Fn]Ρn(cosθ),(11a)ˉwθ=∞∑n=0[1r[Ηn(iγ1r)k1Dn+Ηn(iγ2r)k2En]+α0(Η′n(iγ3r)+1rΗn(iγ3r))Fn]?dΡn(cosθ)dθ,(11d)ˉp=-∞∑n=0[Μ(k1+α)γ21Ηn(γ1r)Dn+Μ(k2+α)γ22Ηn(γ2r)En]Ρn(cosθ),(11e)ˉσr=∞∑n=0{[λ0+αΜ(k1+α)]γ21Ηn(iγ1r)+2G0Η*n(iγ1r)}Ρn(cosθ)+{[λ0+αΜ(k2+α)]γ22Ηn(iγ2r)+2G0Η*n(iγ2r)}EnΡn(cosθ)+2G0[n(n+1)rΗ′n(iγ3r)-n(n+1)r2Ηn(iγ3r)FnPn(cosθ),(11f)n(n+1)r2Ηn(iγ3r)-2r2Ηn(iγ3r)+H″n(iγ3r)FndΡn(cosθ)dθ.(11g)2接觸面為殼體的應(yīng)力本文前面得到了任意荷載條件下,黏彈性飽和土體中球形孔洞的位移、孔隙水壓力和應(yīng)力的動(dòng)力響應(yīng)解答.然而,考慮有殼體支護(hù)條件下殼體和土體的相互作用更有實(shí)際意義,假設(shè)殼體的厚度相對(duì)于球形孔洞半徑很小,為彈性薄殼,因此可以按無扭矩條件下的薄殼理論進(jìn)行計(jì)算,在任意荷載作用下球殼的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為-η11Unθ+η12Unr+γ2?2Unr?t2=a2(1-μ2l)Elh?Qn,(12a)η21Unθ-η22Unr+γ2?2Unθ?t2=a2(1-μ2l)Elh?Sn.(12b)式中∶η11=λn[β2(μl+λn-1)+(1+μl)],η12=2(1+μl)+β2λn(μl+λn-1),η21=(1+β2)(μl+λn-1),η12=β2(μl+λn-1)+(1+μl).λn=n(n+1),γ=c1/cp,c1=√(λ+2G)/ρ,cp=√El/[ρl(1-μ2l)],β2=h2/(12a2).其中,El、μl、ρl分別為殼體的彈性模量、泊松比和密度;Ur、Uθ為殼體的徑向和切向變形,Ur=∞∑n=0Unr(r,t)Ρn(cosθ)Uθ=∞∑n=0Unθ(r,t)dΡn(cosθ)dθ；?Qn為殼體外部徑向凈壓力,?Sn為切向凈壓力.假設(shè)殼體和土體完全接觸,在其接觸面上(r=a+h/2)應(yīng)力協(xié)調(diào),因此在接觸面上有?Qn=Qn+σnr(r=a+h/2),(13a)?Sn=Sn+τnrθ(r=a+h/2).(13b)式中:σnr為土體對(duì)殼體施加的應(yīng)力,由于殼體的厚度相對(duì)于殼體中曲面(r=a)半徑很小,將h/2忽略對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大,因此可以將殼體的中曲面視為殼體和土體的接觸面;Qn、Sn為殼體上作用的外荷載.在殼體和土體接觸面上(r=a)位移協(xié)調(diào),表達(dá)式為Unr=(??n?r+n(n+1)rψn)|r=a,(14a)Uθn=(1r?n+?ψn?r+ψnr)|r=a.(14b)3襯砌質(zhì)量的確定Liu等人假設(shè)殼體為多孔彈性介質(zhì)且完全柔性,研究了隧洞邊界上作用軸對(duì)稱荷載和流體壓力(單級(jí)加載)條件下半封閉球殼的動(dòng)力響應(yīng),討論了殼體半封閉特性的影響.本文也僅考慮半封閉球殼表面單級(jí)加載情況,在殼體和土體接觸面上(r=a)有:Qn=Γq(t);r=a,(15a)Sn=0;r=a,(15b)?pn?r=kr[pn-(1-Γ)q(t)];r=a.(15c)式中:Γ定義為應(yīng)力系數(shù),反映殼體表面由殼體和孔隙水分別承擔(dān)的應(yīng)力值,當(dāng)Γ=1時(shí)表示殼體內(nèi)邊界上的荷載全部由殼體承擔(dān),當(dāng)Γ=0時(shí)表示殼體內(nèi)邊界上的荷載全部由孔隙水承擔(dān),此種情況相當(dāng)于殼體內(nèi)邊界上作用有流體壓力;k=klkd1lnr2-lnr1?k為決定隧洞襯砌流量的無量綱參數(shù),當(dāng)k→0時(shí)表示隧洞邊界不透水,k→∞時(shí)表示隧洞邊界完全透水,kl為襯砌的滲透系數(shù).將式(13)～(15)代入經(jīng)Laplace變換后的式(12),并利用式(11)得到m1Dn+m2En+m3Ηn=-a2(1-μl2)Elhqˉ(s),(16a)x1Dn+x2En+x3Hn=0.(16b)式中:m1=η11rΗn(iγ1r)-(η12+γ2s2)Η′n(iγ1r)+a2(1-μl2)Elh{[λ0+αΜ(k1+α)]γ12Ηn(iγ1r)+2G0Η″n(iγ1r)}|r=a,m2=η11rΗn(iγ2r)-(η12+γ2s2)Η′n(iγ2r)+a2(1-μl2)Elh[(λ0+αΜ(k2+α))γ22Ηn(iγ2r)+2G0Η″n(iγ2r)]|r=a,m3={η11[Η′n(iγ3r)+1rΗn(iγ3r)]-(η12+γ2s2)?n(n+1)rΗn(iγ3r)+a2(1-μl2)Elh2G0n(n+1)r?[Η′n(iγ3r)-1rΗn(iγ3r)]}|r=a,x1=η22Η′n(iγ1r)-(η21+γ2s2)Ηn(iγ1r)r+a2(1-μl2)Elh2G0r[Η′n(iγ1r)-1rΗn(iγ1r)]|r=a,x2=η22Η′n(iγ2r)-(η21+γ2s2)Ηn(iγ2r)r+a2(1-μl2)Elh2G0r[Η′n(iγ2r)-1rΗn(iγ2r)]|r=a,x3={η22n(n+1)rΗ′n(iγ3r)-(η21+γ2s2)[Η′n(iγ3r)+1rΗn(iγ3r)]+G0a2(1-μl2)Elh?[Ηn*(iγ3r)+2rΗ′n(iγ3r)+n(n+1)r2Ηn(iγ3r)]}|r=a,將式(11e)代入式(15c)有y1Dn+y2En=-ka(1-Γ)qˉ(s).(17)式中:y1+Μ(k1+α)γ12[-Η′n(iγ1r)-krΗn(iγ1r)]|r=a,y2+Μ(k2+α)γ22[-Η′n(iγ2r)-krΗn(iγ2r)]|r=a.求解式(16)、(17)得到:在確定參數(shù)Dn、En、Hn后,即得到黏彈性飽和土體中半封閉球殼在任意響應(yīng)模式下的具體解答.4孔隙水壓力響應(yīng)的持續(xù)時(shí)間特性前文得到黏彈性飽和土體中半封閉球殼在不同響應(yīng)模式下的具體解答,下面分別考慮球殼內(nèi)作用有軸對(duì)稱荷載和流體壓力兩種特殊情況在n=0(瞬時(shí)響應(yīng)模式)、2、3、4模式下的響應(yīng)進(jìn)行比較,對(duì)于其他響應(yīng)模式下的結(jié)果可以作同樣的分析.在瞬時(shí)模式條件下(n=0),ψ=φ=0,則問題的解答退化到文獻(xiàn)中的解答.時(shí)間域中的結(jié)果可采用Durbin拉普拉斯數(shù)值逆變換計(jì)算.計(jì)算過程中對(duì)變量做無量綱化處理,λ*=λG,Μ*=ΜG,ρf*=ρfρ,ρl*=ρlρ,b*=η0kdaρG?式中:b*為反映飽和土體滲透性的無量綱參數(shù).其他計(jì)算參數(shù)如下:f=0.4,ρ*f=0.5,α=0.98,M*=20,η=0.1,b*=10,ρ*l=1.5,μl=0.15,μs=0.4,Es=8MPa,h/a=0.05.部分計(jì)算結(jié)果如圖2～5所示.