吉林省長春市閔家鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

吉林省長春市閔家鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)y=+x的反函數(shù)圖像是(

)

參考答案：答案：B2.設(shè)定義域為的函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個不同的解，則等于

（

）A.5

B.

C.13

D.

參考答案：A

設(shè)，則方程必有根。不可能有兩根，否則原方程有四解或五解。關(guān)于t的方程只能有一個正數(shù)解，且為，再令，求得。3.

是，，，的平均數(shù)，是，，，的平均數(shù)，是，，，的平均數(shù)，則下列各式正確的是（）Ａ．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．參考答案：A4.已知函數(shù)（）為奇函數(shù)，則（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先根據(jù)奇函數(shù)求出a的值，再求f(1)得解.【詳解】由題得經(jīng)檢驗，當(dāng)a=1時，函數(shù)f(x)是奇函數(shù).所以.故選：B【點睛】本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.5.一個圓臺的三視圖和相關(guān)數(shù)據(jù)如右圖所示，則該圓臺的側(cè)面積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A6.若向量，則下列說法中錯誤的是（

）A．

B．向量與向量的夾角為

C．D．對同一平面內(nèi)的任意向量，都存在一對實數(shù)，使得參考答案：D試題分析：，A正確；，B正確；，C正確；因此D錯誤，故選D．考點：向量的垂直，向量的共線，平面向量基本定理．7.《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有女子善織，日增等尺，七日織二十八尺，第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺，問若聘該女子做工半月（15日），一共能織布幾尺（

）A．75

B．85

C.105

D．120參考答案：D設(shè)第一天織尺，第二天起每天比前一天多織尺，由已知得，，故選D.

8.設(shè)變量x,y滿足,則2x+3y的最大值為(

)A.20

B.35

C.45

D.55參考答案：D9.設(shè)，則的大小關(guān)系是

A.

B.

C.

D.參考答案：D，所以根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)知，而，所以，選D.10.已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.在曲線y＝f(x)與直線y＝1的交點中，若相鄰交點距離的最小值為，則f(x)的最小正周期為()A.

B.

C．π

D．2π參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．問本持金幾何”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金，第2關(guān)收稅金，第3關(guān)收稅金，第4關(guān)收稅金，第5關(guān)收稅金，5關(guān)所收稅金之和，恰好1斤重，設(shè)這個人原本持金為x，按此規(guī)律通過第8關(guān)，”則第8關(guān)需收稅金為x．參考答案：【考點】數(shù)列的應(yīng)用．【分析】第1關(guān)收稅金：x；第2關(guān)收稅金：（1﹣）x=x；第3關(guān)收稅金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8關(guān)收稅金．【解答】解：第1關(guān)收稅金：x；第2關(guān)收稅金：（1﹣）x=x；第3關(guān)收稅金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8關(guān)收稅金：x，即x．故答案為：．【點評】本題考查了數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．12.已知變量滿足，目標(biāo)函數(shù)的最小值為5，則c的值為

．參考答案：5如圖為滿足條件的可行域，由得，當(dāng)直線過點

時有最小值5，此時

，解得坐標(biāo)為，代入得.【點睛】利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：1.在坐標(biāo)系中作出可行域；2.根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進行變形；3.確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從面確定最優(yōu)解；4.求最值：將最解代入目標(biāo)函數(shù)即可求最大值與最小值.

13.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

；體積為

.參考答案：

(1).

(2).幾何體為一個三棱錐與一個四棱錐的組合體，如圖，其中所以表面積為，體積為點睛:空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．14.不等式的解集是

.參考答案：或，當(dāng)時，由得，得；當(dāng)時，由得，解得，所以不等式的解集為.15.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和_______．參考答案：16.點M是橢圓上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F，圓M與y軸相交于P,Q，若△PQM是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是__________．參考答案：17.若tanα=，則=．參考答案：【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用．【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出sinα和cosα，再由=，能求出結(jié)果．【解答】解：∵tanα=，∴sinα=，cos，或，cos，∴=﹣sin2α===．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)有極大值.（Ⅰ）求實數(shù)、的值；

（Ⅱ）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：①當(dāng)時，，令得當(dāng)變化時，的變化情況如下表：-+-單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減根據(jù)表格，又，，

略19.（本小題滿分12分）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.(1)求證：AF∥平面BDE；(2)求證：CF⊥平面BDE；(3)求二面角A－BE－D的大?。畢⒖即鸢福?0.（本小題13分）已知橢圓：的離心率，是橢圓上兩點，是線段的中點，線段的垂直平分線與橢圓相交于兩點.（1）求直線的方程；（2）是否存在這樣的橢圓，使得以為直徑的圓過原點？若存在，求出該橢圓方程；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）離心率，橢圓：設(shè)直線的方程為，整理得

①

②由是線段AB的中點，得解得，代入②得，直線的方程為（2）∵垂直平分，∴直線的方程為，即，代入橢圓方程，整理得

又設(shè)

∴假設(shè)存在這樣的橢圓，使得以為直徑的圓過原點，則得，又故不存在這樣的橢圓.21.設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1，對?x∈R，f（x）≥0恒成立．（1）求a的取值集合；（2）求證：1+．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（1）通過對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，討論f（x）的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）的最小值；根據(jù)條件可得g（a）=a﹣alna﹣1≥0，討論g（a）的單調(diào)性即得結(jié)論；（2）由（1）得ex≥x+1，即ln（x+1）≤x，通過令x=（k∈N*），即＞ln=ln（1+k）﹣lnk，（k=1，2，…，n），然后累加即可得證．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ex﹣a，令f′（x）=0，解得x=lna，當(dāng)x＞lna時，f′（x）＞0；當(dāng)x＜lna時，f′（x）＜0，因此當(dāng)x=lna時，f（x）min=f（lna）=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．因為f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，所以f（x）min≥0，∴f（x）min=a﹣alna﹣1，所以a﹣alna﹣1≥0，令g（a）=a﹣alna﹣1，函數(shù)g（a）的導(dǎo)數(shù)為g′（a）=﹣lna，令g′（a）=0，解得a=1．當(dāng)a＞1時，g′（a）＜0；當(dāng)0＜a＜1時，g′（a）＞0，所以當(dāng)a=1時，g（a）取得最大值，為0．所以g（a）=a﹣alna﹣1≤0．又a﹣alna﹣1≥0，因此a﹣alna﹣1=0，解得a=1；故a的取值集合是{a|a=1}．（2）由（1）得ex≥x+1，即ln（x+1）≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，令x=（k∈N*），則＞ln（1+），即＞ln=ln（1+k）﹣lnk，（k=1，2，…，n），累加，得1+++…+＞ln（n+1）﹣lnn+lnn﹣ln（n﹣1）+…+ln2﹣ln1，則有1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．22.為選拔選手參加“中國漢字聽寫大會”，某中學(xué)舉行了一次“漢字聽寫大賽”活動．為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進行統(tǒng)計．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數(shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）．（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值；（2）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生參加“中國漢字聽寫大會”，求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率．參考答案：【考點】CC：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；B8：頻率分布直方圖．【分析】（1）由樣本容量和頻數(shù)頻率的關(guān)系易得答案；（2）由題意可知，分數(shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有3人，分數(shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，抽取的2名學(xué)生的所有情況有10種，其中2名同學(xué)的分數(shù)至少有一名得分在[90，100]內(nèi)的情況有7種，即可求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率．【解答】解：（1）由題意可知，樣本容量n==25，y==