新教材數(shù)學(xué)人教A版教案4-5函數(shù)的應(yīng)用（二）4-5-2用二分法求方程的近似解

4.5.2用二分法求方程的近似解新課程標(biāo)準(zhǔn)：1.探索用二分法求方程近似解的思路并會(huì)畫程序框圖.2.能借助計(jì)算工具用二分法求方程近似解.3.了解用二分法求方程近似解具有一般性.學(xué)業(yè)水平要求：★水平一1.能從教材實(shí)例中了解二分法概念.（數(shù)學(xué)抽象）2.能從教材實(shí)例中歸納出用二分法求方程近似解的步驟.（邏輯推理）★水平二能了解二分法求方程近似解的思想，能利用二分法求方程的近似解.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）導(dǎo)思1.求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，如果方程無(wú)法用所學(xué)的方法求根，那么怎樣求函數(shù)的零點(diǎn)？2.應(yīng)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)有哪些步驟？(1)二分法：對(duì)于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.(2)本質(zhì)：利用零點(diǎn)存在定理，將零點(diǎn)所在的范圍盡量縮小，得到符合一定精確度要求的零點(diǎn)的近似值.(3)應(yīng)用：求函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的近似解.【思考】為什么能用二分法求方程的近似解？提示：方程的根即為對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn).(1)步驟：給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的一般步驟如下：①確定零點(diǎn)的初始區(qū)間，驗(yàn)證.②求區(qū)間的中點(diǎn).③計(jì)算，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：(i)若(此時(shí))，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；(ii)若(此時(shí))，則令；(iii)若(此時(shí)零點(diǎn))，則令.④判斷是否達(dá)到精確度：若，則得到零點(diǎn)近似值(或)，否則重復(fù)步驟②～④.(2)本質(zhì)：計(jì)算過(guò)程程序化，算法思想的具體體現(xiàn).(3)應(yīng)用：利用二分法的步驟，可以設(shè)計(jì)程序框圖，用有關(guān)算法語(yǔ)言編寫程序，用信息技術(shù)求方程的近似解.【思考】零點(diǎn)的近似解只能是區(qū)間的端點(diǎn)或嗎？提示：不是，區(qū)間中任意一個(gè)值都是零點(diǎn)滿足精確度的近似值.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)任何函數(shù)的零點(diǎn)都可以用二分法求得. ()(2)用二分法求出的函數(shù)零點(diǎn)就是精確值. ()(3)用“二分法”求近似解時(shí)，精確度越大，零點(diǎn)的精確度越高. ()提示：(1)×.函數(shù)需滿足在區(qū)間上連續(xù)不斷且，才能用二分法求零點(diǎn).(2)×.用二分法求出的函數(shù)零點(diǎn)可能是精確值，也可能是近似值.(3)×.精確度越大，零點(diǎn)的精確度越低.軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是()軸交點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值不變號(hào)，都是正值，因此不能用二分法.3.(教材二次開發(fā)：例題改編)若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)(正數(shù))附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如表：則方程的一個(gè)近似解(精確度)為_______.【解析】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，又，所以，此時(shí).所以可以是之間的任意一個(gè)數(shù)，故取.答案：(答案不唯一)類型一二分法的概念應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)【題組訓(xùn)練】1.(2020·周口高一檢測(cè))下列函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是 ()有零點(diǎn)，但不能用二分法求出，則的值是()A. B. C. D.，的敘述中，①二分法既是一種求值方法，又是一種解決實(shí)際問(wèn)題的思想，有著廣泛應(yīng)用；②若是在上的零點(diǎn)，則可用二分法求的近似值；③用二分法求方程的近似解時(shí)，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位；④用二分法求方程的根時(shí)，得到的都是近似值.其中正確的個(gè)數(shù)為 ()A. B. C. D.【解析】1.選C.只要函數(shù)圖象有部分在x軸的上下兩側(cè)，并且沒(méi)有間斷，就能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)，觀察所給的四個(gè)圖象，滿足條件的只有C.2.選A.有零點(diǎn)，但不能用二分法求出，則，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則，解得.3.選B.二分法除了可以求函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根外，還廣泛應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中，如在一個(gè)串聯(lián)多焊點(diǎn)的故障檢測(cè)中，要查出哪個(gè)焊點(diǎn)出現(xiàn)故障時(shí)，就可以用二分法，以盡快找到故障焊點(diǎn).正確；②中函數(shù)不一定連續(xù)，且無(wú)法判斷是否有，錯(cuò)誤；③中利用信息技術(shù)，步驟循環(huán)進(jìn)行，可以得到小數(shù)點(diǎn)后的任一位，正確；④中用二分法求方程的根時(shí)，得到的根也可能是精確值，錯(cuò)誤.【解題策略】運(yùn)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)具備的兩個(gè)條件(1)函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷.(2)在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào).只有滿足上述兩個(gè)條件，才可用二分法求函數(shù)零點(diǎn).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)的圖象如圖所示，其中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與可以用二分法求解出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為 ()A.， B.， C.， D.，【解析】選D.由圖象可知，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，能用二分法求出的有個(gè).類型二用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似解(邏輯推理)【典例】1.(多選題)用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可得的一個(gè)零點(diǎn)近似值(精確度)為()A. B. C. D.在區(qū)間內(nèi)的根，取區(qū)間的中點(diǎn)為，那么下一個(gè)有根的區(qū)間是_______.

【解題導(dǎo)引】1.首先確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，再根據(jù)相關(guān)的概念判斷所取的零點(diǎn)是否正確.，，的符號(hào)作出判斷.，即且.所以的一個(gè)零點(diǎn)的近似值可取為，，.，，，，零點(diǎn)所在的區(qū)間為，所以方程下一個(gè)有根的區(qū)間是.答案：【解題策略】二分法求函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)注點(diǎn)(1)驗(yàn)證零點(diǎn)所在的區(qū)間是否符合精確度要求.(2)區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)都可以作為零點(diǎn)的近似解，一般取端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似解.【跟蹤訓(xùn)練】1.用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)，經(jīng)過(guò)若干次運(yùn)算后函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，當(dāng)(為精確度)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)近似值與真實(shí)零點(diǎn)的誤差最大不超過(guò) ()A. B. C. D.最遠(yuǎn)即靠近或，而因此誤差最大不超過(guò).在內(nèi)的零點(diǎn)的近似解時(shí)，經(jīng)計(jì)算，，，則可得出方程零點(diǎn)的一個(gè)近似解為_______(精確度).

【解析】因?yàn)?，所以?nèi)的任意一個(gè)值都可作為方程的近似解.答案：(答案不唯一)類型三用二分法求方程的近似解(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)角度1求方程的近似解

【典例】用二分法求方程的近似解(精確度為).【思路導(dǎo)引】設(shè)出方程相應(yīng)的函數(shù)，按照二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟計(jì)算.【解析】設(shè)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)與在上都是增函數(shù)，所以在上是單調(diào)遞增的，又因?yàn)椋?，，所以在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，利用二分法可得表，區(qū)間中點(diǎn)的符號(hào)區(qū)間長(zhǎng)度方程在精確度為的要求下的一個(gè)近似值為.【變式探究】本例中，若精確度變?yōu)?，則要達(dá)到精確度要求至少要計(jì)算多少次？【解析】設(shè)至少需要計(jì)算次，則滿足，即，因?yàn)?，所以至少需要?jì)算次.角度2已知方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

【典例】(2020·南通高一檢測(cè))已知函數(shù)設(shè)方程有個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.

【思路導(dǎo)引】將方程的根的個(gè)數(shù)變成函數(shù)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用圖象解決.【解析】方程有個(gè)不同的根，即為有個(gè)不等實(shí)根，作出的圖象，可得時(shí)，與的圖象有個(gè)交點(diǎn).答案：【解題策略】設(shè)出方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根，因此只需利用二分法求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)即可.(1)首先將方程變形為等號(hào)兩邊均為初等函數(shù)的等式，設(shè)出兩個(gè)函數(shù)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根的個(gè)數(shù)即為圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用圖象確定參數(shù)的范圍；(2)解題思維過(guò)程：方程解的個(gè)數(shù)?函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)?方程根的個(gè)數(shù)，方法是數(shù)形結(jié)合法.【題組訓(xùn)練】的近似解，初始區(qū)間可以取 ()A. B. C. D.，因?yàn)楫?dāng)連續(xù)函數(shù)滿足時(shí)，在區(qū)間上有零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有解，又因?yàn)椋?，故，故方程在區(qū)間上有解.2.(2020·吉林高一檢測(cè))已知函數(shù)若函數(shù)恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______.

【解析】因?yàn)?所以的圖象如圖：所以的圖象如圖：因?yàn)榍∮袀€(gè)不同的零點(diǎn)，所以圖象與時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，則令，得或；則時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，所以.因?yàn)槿魰r(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；則時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，所以.答案：.在區(qū)間上的唯一零點(diǎn)的近似值時(shí)，驗(yàn)證，取區(qū)間的中點(diǎn)，計(jì)算得，則此時(shí)零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. B.C.【解析】選B.由題意可知：對(duì)于函數(shù)在區(qū)間上，有，利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，所以函數(shù)在,因?yàn)橛?jì)算得，所以利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在上有零點(diǎn).為上的連續(xù)函數(shù)，且，使用二分法求函數(shù)零點(diǎn)，要求近似值的精確度達(dá)到，則需對(duì)區(qū)間至少等分的次數(shù)為 ()A. B. C. D.次，則滿足，即.故計(jì)算次就可滿足要求，所以將區(qū)間等分的次數(shù)最少為次.3.(教材二