醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)-第一章省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

第一章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限第1頁9/15/20231南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院第一章第一節(jié)函數(shù)第2頁9/15/20232南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院設(shè)有兩個變量x和y，一個非空數(shù)集D,假如按照某個對應(yīng)法則f，對于D中每個數(shù)x，都有唯一確定實數(shù)y與之對應(yīng)，則稱y是定義在D上x函數(shù)，記作其中x叫做自變量，y叫做因變量；定義域:D定義域一、函數(shù)1.函數(shù)概念定義

值域:自變量因變量第3頁9/15/20233南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院函數(shù)表示方法:解析法、圖象法、列表法如,絕對值函數(shù)定義域值域第4頁9/15/20234南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院2.函數(shù)基本性質(zhì)設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱為有界函數(shù).在I上有界.稱為有上界稱為有下界若不存在這么正整數(shù)M,則稱f(x)

無界.f(x)在(a,b)有界

f(x)在(a,b)現(xiàn)有上界,又有下界.第5頁9/15/20235南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院(2)單調(diào)性時,稱為I上稱為I上單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).當(dāng)?shù)?頁9/15/20236南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院(3)奇偶性且有若則稱f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時,則當(dāng)必有比如,偶函數(shù)第7頁9/15/20237南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院又如,奇函數(shù)再如,奇函數(shù)第8頁9/15/20238南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院(4)周期性且則稱為周期函數(shù),若稱l為周期(普通指最小正周期).周期為

周期為注:周期函數(shù)不一定存在最小正周期.比如,常量函數(shù)第9頁9/15/20239南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院3.三種特殊函數(shù)(1)分段函數(shù)注意：分段點第10頁9/15/202310南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院(2)反函數(shù)習(xí)慣上,反函數(shù)記成其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):2)函數(shù)與其反函數(shù)圖形關(guān)于直線對稱.第11頁9/15/202311南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱.指數(shù)函數(shù)反三角函數(shù)定義域值域補第12頁9/15/202312南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院(3)復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)稱為由①,②確定復(fù)合函數(shù),①②u稱為中間變量.注意:組成復(fù)合函數(shù)條件不可少.比如,函數(shù)鏈:函數(shù)但函數(shù)鏈不能組成復(fù)合函數(shù).可定義復(fù)合第13頁9/15/202313南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院兩個以上函數(shù)也可組成復(fù)合函數(shù).比如,可定義復(fù)合函數(shù):第14頁9/15/202314南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院另外，已知一個復(fù)合函數(shù)，將其“分解”比如，能夠看成是由復(fù)合而成.第15頁9/15/202315南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院4.初等函數(shù)六大基本初等函數(shù)(P-6)常量函數(shù)：2.冪函數(shù)：3.指數(shù)函數(shù)：4.對數(shù)函數(shù)：5.三角函數(shù)：6.反三角函數(shù)：為常數(shù)第16頁9/15/202316南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院初等函數(shù)由六大基本初等函數(shù)不然稱為非初等函數(shù).比如,并可用一個式子表示函數(shù),經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合步驟所組成,稱為初等函數(shù).可表為故不為初等函數(shù).取整函數(shù)當(dāng)?shù)?7頁9/15/202317南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院第一章第二節(jié)函數(shù)極限第18頁9/15/202318南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院數(shù)列通項an當(dāng)n無限增大時,無限迫近一個有限數(shù)

√×√×一、數(shù)列極限第19頁9/15/202319南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院定義:自變量取正整數(shù)函數(shù)稱為數(shù)列,記作或稱為通項(普通項).若數(shù)列及常數(shù)a有以下關(guān)系:當(dāng)n>

N

時,總有記作此時也稱數(shù)列收斂,不然稱數(shù)列發(fā)散.幾何解釋:即或則稱該數(shù)列極限為a,第20頁9/15/202320南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例1.已知證實數(shù)列極限為1.

證:欲使即只要所以,取則當(dāng)時,就有故第21頁9/15/202321南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院收斂數(shù)列性質(zhì)證:用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時,有1.收斂數(shù)列極限唯一.使當(dāng)n>N1時,假設(shè)從而矛盾.所以收斂數(shù)列極限必唯一.則當(dāng)n>N時,故假設(shè)不真!滿足不等式第22頁9/15/202322南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例2.

證實數(shù)列是發(fā)散.

證:用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時落在長度為1開區(qū)間使當(dāng)n>N時,有所以該數(shù)列發(fā)散.第23頁9/15/202323南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院2.收斂數(shù)列一定有界.證:設(shè)取則當(dāng)時,從而有取則有由此證實收斂數(shù)列必有界.說明:此性質(zhì)反過來不一定成立.比如,雖有界但不收斂.有數(shù)列第24頁9/15/202324南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院二、函數(shù)極限定義2

.設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時有定義,若則稱常數(shù)時極限,幾何解釋:記作直線y=A為曲線水平漸近線A為函數(shù)1.時函數(shù)極限第25頁9/15/202325南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例3.

證實證:取所以注:就有故欲使即第26頁9/15/202326南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院直線y=A仍是曲線y=f(x)

漸近線.兩種特殊情況:當(dāng)時,有當(dāng)時,有幾何意義:比如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，第27頁9/15/202327南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院定義3.設(shè)函數(shù)在點某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時,有則稱常數(shù)A為函數(shù)當(dāng)時極限,或即當(dāng)時,有若記作幾何解釋:2.時函數(shù)極限定義第28頁9/15/202328南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例4.證實證:故對任意當(dāng)時,所以總有第29頁9/15/202329南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例5.證實證:欲使取則當(dāng)時,必有所以只要第30頁9/15/202330南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院3.左極限與右極限左極限:當(dāng)時,有右極限:當(dāng)時,有定理第31頁9/15/202331南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例6.

設(shè)函數(shù)討論時極限是否存在.解:利用定理3.因為顯然所以不存在.第32頁9/15/202332南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院4.函數(shù)極限性質(zhì)極限值唯一局部有界保號性定理.若且A>0,則存在(A<0)若在某去心鄰域內(nèi)且則第33頁9/15/202333南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院三、無窮小量與無窮大量當(dāng)1、無窮小量定義5.若時,函數(shù)則稱函數(shù)比如:函數(shù)當(dāng)時為無窮小;函數(shù)時為無窮小;函數(shù)當(dāng)為時無窮小.時為無窮小.第34頁9/15/202334南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院說明:除0以外任何很小常數(shù)都不是無窮小!因為當(dāng)時,顯然C只能是0!CC時,函數(shù)(或)則稱函數(shù)為定義1.若(或)則時無窮小.第35頁9/15/202335南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院其中

為時無窮小量.定理6.

(無窮小與函數(shù)極限關(guān)系)證:當(dāng)時,有對自變量其它改變過程類似可證.第36頁9/15/202336南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院2、無窮大量定義6

.若任給M>0,一切滿足不等式

x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大,

使對若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在第37頁9/15/202337南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院注意:1.無窮大不是很大數(shù),它是描述函數(shù)一個狀態(tài).2.函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!比如,函數(shù)當(dāng)?shù)詴r,不是無窮大!第38頁9/15/202338南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例7.證實證:任給正數(shù)M,要使即只要取則對滿足一切x,有所以若則直線為曲線鉛直漸近線.漸近線說明:第39頁9/15/202339南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院3、無窮小與無窮大關(guān)系若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則據(jù)此定理,關(guān)于無窮大問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.在自變量同一改變過程中,說明:第40頁9/15/202340南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例8.求解:

利用性質(zhì)2可知4、無窮小量性質(zhì)1.有限個無窮小和、差、積，以及常數(shù)與無窮小乘積，還是無窮小.2.有界變量與無窮小乘積，還是無窮小.第41頁9/15/202341南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院1、極限四則運算法則則有定理7.

若四、函數(shù)極限運算第42頁9/15/202342南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院若且B≠0,則有為無窮小(詳見P44)證:因有其中設(shè)無窮小有界所以由極限與無窮小關(guān)系定理,得為無窮小,第43頁9/15/202343南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院推論1.(C為常數(shù))推論2.(n為正整數(shù))例2.設(shè)

n次多項式則第44頁9/15/202344南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院

x=3時分母為0!例9.例10.求解:第45頁9/15/202345南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例11.求解:

x=1時分母=0,分子≠0,但因第46頁9/15/202346南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例12.求解:時,分子分子分母同除以則分母原式第47頁9/15/202347南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院普通有以下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))(如P-14例11)(如P-14例12)(如P-14例13)第48頁9/15/202348南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院定理.設(shè)且x滿足時,又則有

說明:若定理中則類似可得2、復(fù)合函數(shù)極限運算法則第49頁9/15/202349南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院都是無窮小,引例.但可見無窮小趨于0速度是多樣.3、無窮小量比較第50頁9/15/202350南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院定義.若則稱

是比

高階無窮小,若若若若或設(shè)是自變量同一改變過程中無窮小,記作則稱

是比

低階無窮小;則稱

是

同階無窮小;則稱

是關(guān)于

k階無窮小;則稱

是

等價無窮小,記作第51頁9/15/202351南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院比如,當(dāng)～時～～又如

，故時是關(guān)于x二階無窮小,～且～第52頁9/15/202352南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院定理8.設(shè)且存在,則證:比如,第53頁9/15/202353南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院設(shè)對同一改變過程,

,

為無窮小,說明:無窮小性質(zhì),(1)和差取大規(guī)則:由等價可得簡化一些極限運算下述規(guī)則.若

=o(

),(2)和差代替規(guī)則:比如,比如,第54頁9/15/202354南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院(3)因式代替規(guī)則:界,則比如,

例13.求解:原式第55頁9/15/202355南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院～～～～慣用等價無窮小:～～第56頁9/15/202356南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例14.求解:第57頁9/15/202357南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院小結(jié)1.極限運算法則(1)無窮?。ù螅┬再|(zhì)(2)極限四則運算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限方法(1)分式函數(shù)極限求法時,用代入法(分母不為0)時,對型,約去公因子時,分子分母同除最高次冪(2)復(fù)合函數(shù)極限求法(3)等價無窮小替換定理第58頁9/15/202358南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院二、兩個主要極限一、極限存在定理第三節(jié)極限存在定理及兩個主要極限第一章第59頁9/15/202359南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院一、極限存在定理1.夾逼定理定理1.且第60頁9/15/202360南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限(證實略)第61頁9/15/202361南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院圓扇形AOB面積二、兩個主要極限證:當(dāng)即亦即時，顯然有△AOB

面積＜＜△AOD面積故有注第62頁9/15/202362南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院當(dāng)時注第63頁9/15/202363南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例2.求解:例3.求解:令則所以原式第64頁9/15/202364南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例4.求解:原式=例5.已知圓內(nèi)接正n邊形面積為證實:證:說明:計算中注意利用第65頁9/15/202365南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院2.說明:此極限也可寫為第66頁9/15/202366南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例6.求解:令則說明

：若利用則原式第67頁9/15/202367南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例7.求解:原式=第68頁9/15/202368南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院小結(jié)1.極限存在性定理2.兩個主要極限或注:代表相同表示式第69頁9/15/202369南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院思索與練習(xí)第70頁9/15/202370南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院二、函數(shù)間斷點一、函數(shù)連續(xù)性定義第四節(jié)函數(shù)連續(xù)性第一章第71頁9/15/202371南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院可見,函數(shù)在點一、函數(shù)連續(xù)性定義定義:在某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)(1)在點即(2)極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備以下條件:存在;且有定義,存在;第72頁9/15/202372南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院continue若在某區(qū)間上每一點都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上連續(xù)函數(shù).比如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)集合記作只要都有第73頁9/15/202373南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院對自變量增量有函數(shù)增量左連續(xù)右連續(xù)當(dāng)時,有函數(shù)在點連續(xù)有以下等價命題:第74頁9/15/202374南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例.證實函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證:即這說明在內(nèi)連續(xù).一樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).第75頁9/15/202375南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院在在二、函數(shù)間斷點(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):設(shè)在點某去心鄰域內(nèi)有定義,則以下情形這么點之一函數(shù)f(x)在點雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點.在無定義;第76頁9/15/202376南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院間斷點分類:第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中最少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點.為跳躍間斷點.為無窮間斷點.為振蕩間斷點.第77頁9/15/202377南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.比如:第78頁9/15/202378南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.第79頁9/15/202379南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限最少有一個不存在在點間斷類型在點連續(xù)等價形式第80頁9/15/202380南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院思索與練習(xí)1.討論函數(shù)x=2是第二類無窮間斷點.間斷點類型.2.設(shè)時提醒:為連續(xù)函數(shù).答案:x=1是第一類可去間斷點,第81頁9/15/202381南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院備用題確定函數(shù)間斷點類型.解:間斷點為無窮間斷點;故為跳躍間斷點.第82頁9/15/202382南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院定理2.連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)反函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)三、初等函數(shù)連續(xù)性定理1.在某點連續(xù)有限個函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,(利用極限四則運算法則證實)商(分母不為0)運算,結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)函數(shù).比如,比如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減).(證實略)在[－1,1]上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)第83頁9/15/202383南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院定理3.連續(xù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)是連續(xù).在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.證:設(shè)函數(shù)于是故復(fù)合函數(shù)又如,

且即第84頁9/15/202384南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院比如,是由連續(xù)函數(shù)鏈所以在上連續(xù).復(fù)合而成,第85頁9/15/202385南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)比如,連續(xù)區(qū)間為(端點為單側(cè)連續(xù))連續(xù)區(qū)間為定義域為所以它無連續(xù)點而第86頁9/15/202386南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例2.求解:原式例3.求解:令則原式說明:當(dāng)時,有第87頁9/15/202387南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例4.求解:原式說明:若則有第88頁9/15/202388南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例5.設(shè)解:討論復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.故此時連續(xù);而故x=1為第一類間斷點.在點x=1

不連續(xù),第89頁9/15/202389南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院注意:

若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.（最值定理）定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)即:設(shè)則使值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷在該區(qū)間上一定有最大(證實略)點,四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)第90頁9/15/202390南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院比如,無最大值和最小值也無最大值和最小值又如,

第91頁9/15/202391南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院推論.由定理1可知有證:設(shè)上有界.定理2.

(零點定理)最少有一點且使(證實略)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上有界.第92頁9/15/202392南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院定理3.(介值定理)設(shè)且則對A與B之間任一數(shù)C,一點證:作輔助函數(shù)則且故由零點定理知,最少有一點使即推論:使最少有在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間任何值.第93頁9/15/202393南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例1.證實方程一個根.證:顯然又故據(jù)零點定理,最少存在一點使即在區(qū)間內(nèi)最少有第94頁9/15/202394南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院上連續(xù),且恒為正,例2.設(shè)在對任意必存在一點證:使令,則使故由零點定理知,存在即當(dāng)時,取或,則有證實:第95頁9/15/202395南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院備用題最少有一個不超出4證：證實令且依據(jù)零點定理,原命題得證.內(nèi)最少存在一點在開區(qū)間顯然正根.第96頁9/15/202396南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院二、連續(xù)與間斷一、函數(shù)三、極限習(xí)題課函數(shù)與極限第一章第97頁9/15/202397南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院一、函數(shù)1.函數(shù)概念定義:定義域值域圖形:(普通為曲線)設(shè)函數(shù)為特殊映射:其中第98頁9/15/202398南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院2.函數(shù)特征有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性3.反函數(shù)設(shè)函數(shù)為單射,反函數(shù)為其逆映射4.復(fù)合函數(shù)給定函數(shù)鏈則復(fù)合函數(shù)為5.初等函數(shù)有限個常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算與復(fù)復(fù)合而成一個表示式函數(shù).第99頁9/15/202399南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例1.設(shè)函數(shù)求解:第100頁9/15/2023100南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院解:利用函數(shù)表示與變量字母無關(guān)特征.代入原方程得代入上式得設(shè)其中求令即即令即畫線三式聯(lián)立即例2.第101頁9/15/2023101南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院思索與練習(xí)1.以下各組函數(shù)是否相同?為何?相同相同相同第102頁9/15/2023102南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院2.以下各種關(guān)系式表示y是否為x函數(shù)?為何?不是是不是提醒:(2)第103頁9/15/2023103南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院⑶⑵3.以下函數(shù)是否為初等函數(shù)?為何?⑷以上各函數(shù)都是初等函數(shù).第104頁9/15/2023104南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院4.設(shè)求及其定義域.5.已知,求6.設(shè)求由得4.解:第105頁9/15/2023105南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院5.已知,求解:6.設(shè)求解:第106頁9/15/2023106南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院二、連續(xù)與間斷1.函數(shù)連續(xù)等價形式有2.函數(shù)間斷點第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點第107頁9/15/2023107南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院有界定理;最值定理;零點定理;介值定理.3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)例3.

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則a=

,b=

.提醒:第108頁9/15/2023108南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院有沒有窮間斷點及可去間斷點解:為無窮間斷點,所以為可去間斷點,極限存在例4.設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a及b.第109頁9/15/2023109南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例5.設(shè)f(x)定義在區(qū)間上,,若f(x)在連續(xù),提醒:閱讀與練習(xí)且對任意實數(shù)證實f(x)

對一切

x

都連續(xù).P64題2(2),4;P73題5第110頁9/15/2023110南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院證:P73題5.證實:若令則給定當(dāng)時,有又依據(jù)有界性定理,,使取則在內(nèi)連續(xù),存在,則必在內(nèi)有界.第111頁9/15/2023111南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院三、極限1.極限定義等價形式(以為例)(即為無窮小)有2.極限存在準(zhǔn)則及極限運算法則第112頁9/15/2023112南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院3.無窮小無窮小性質(zhì);無窮小比較;慣用等價無窮小:

4.兩個主要極限6.判斷極限不存在方法～～～～～～～～～5.求極限基本方法第113頁9/15/2023113南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例6.求以下極限：提醒:無窮小有界第114頁9/15/2023114南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院令第115頁9/15/2023115南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院～則有復(fù)習(xí):若第116頁9/15/2023116南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例7.確定常數(shù)a,b,使解:原式故于是而第117頁9/15/2023117南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院例8.當(dāng)時,是幾階無窮小?解:設(shè)其為階無窮小,則因故第118頁9/15/2023118南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院閱讀與練習(xí)1.求間斷點,并判別其類型.解:

x=–1為第一類可去間斷點

x=1為第二類無窮間斷點

x=0為第一類跳躍間斷點第119頁9/15/2023119南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院2.求解:原式=1(考研)第120頁9/15/2023120南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院作業(yè)P743(1),(4);4;7;8(2),(3),(6);9;10;11;123.求解:

令則利用夾逼準(zhǔn)則可知第121頁9/15/2023121南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通開集

2.多元函數(shù)概念n元函數(shù)慣用二元函數(shù)(圖形普通為空間曲面)三元函數(shù)第122頁9/15/2023122南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院有3.多元函數(shù)極限4.多元函數(shù)連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上多元連續(xù)函數(shù)性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P11題2;4;5(3),(5)(畫圖);8P72題3;4思索與練習(xí)第123頁9/15/2023123南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院解答提