空間向量及其運(yùn)算（七大題型）

空間向量及其運(yùn)算【題型歸納目錄】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算題型二：共線向量定理的應(yīng)用題型三：共面向量及應(yīng)用題型四：空間向量的數(shù)量積題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度題型七：利用空間向量的數(shù)量積證垂直【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：空間向量的有關(guān)概念1、空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：空間向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知識點(diǎn)詮釋：（1）空間中點(diǎn)的一個平移就是一個向量；（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2、幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識點(diǎn)二：空間向量的線性運(yùn)算(1)向量的加法、減法空間向量的運(yùn)算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運(yùn)算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算①定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)λ>0時，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與向量a方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運(yùn)算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點(diǎn)詮釋：（1）空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并；（2）向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則．（3）空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，即：因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；知識點(diǎn)三：共線問題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識點(diǎn)詮釋：此定理可分解為以下兩個命題：（1）存在唯一實數(shù)，使得；（2）存在唯一實數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）②證明三點(diǎn)共線。注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點(diǎn)共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點(diǎn)。知識點(diǎn)四：向量共面問題共面向量(1)定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）。知識點(diǎn)五：空間向量數(shù)量積的運(yùn)算空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識點(diǎn)詮釋：（1）由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同．（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）兩個向量的數(shù)量積是兩向量的點(diǎn)乘，與以前學(xué)過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．知識點(diǎn)六：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系當(dāng)a⊥b時，a·b＝0.知識點(diǎn)七：夾角問題1、定義：已知兩個非零向量、，在空間任取一點(diǎn)D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個向量、的夾角的余弦。知識點(diǎn)詮釋：（1）規(guī)定:（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作。2、利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到。在求異面直線所成的角時，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補(bǔ)角。知識點(diǎn)八：空間向量的長度1、定義：在空間兩個向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；。2、利用向量求線段的長度。將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解?！镜湫屠}】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算例1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正方體的中心為，則在下列各結(jié)論中正確的共有（）①與是一對相反向量；②與是一對相反向量；③與是一對相反向量；④與是一對相反向量．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【解析】對于①，，，，與是一對相反向量，①正確；對于②，，，又，與不是相反向量，②錯誤；對于③，，，，，,與是一對相反向量，③正確；對于④，，，又，與是一對相反向量，④正確.故選：C.例2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）給出下列命題：①向量的長度與向量的長度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；④若向量與向量是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上；⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】對于①，，故①為真命題；對于②，若與中有一個為零向量時，其方向不確定，故②為假命題；對于③，終點(diǎn)相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反，所以③為假命題；對于④，共線向量所在直線可以重合，也可以平行，不能得到點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上，故④為假命題；對于⑤，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段，故⑤為假命題．故假命題的個數(shù)為4.故選：C例3．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）給出下列命題：①零向量沒有方向；②若兩個空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；③若空間向量滿足，則；④若空間向量滿足，則；⑤空間中任意兩個單位向量必相等．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．4 B．3C．2 D．1【答案】D【解析】零向量的方向是任意的，但并不是沒有方向，故①錯誤；當(dāng)兩個空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時，這兩個向量必相等．但兩個向量相等，起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，故②錯誤；根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量與的方向不一定相同，故③錯誤；命題④顯然正確；對于命題⑤，空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯誤．故選：D.變式1．（2023·遼寧葫蘆島·高二校考開學(xué)考試）空間四邊形ABCD，連接AC，BD．M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則等于

（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵M(jìn)，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴，．∴．故選：C變式2．（2023·黑龍江哈爾濱·高二尚志市尚志中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四面體中，，點(diǎn)在棱上，且，為中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】點(diǎn)在線段上，且，為中點(diǎn)，，，．故選：B．變式3．（2023·安徽馬鞍山·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，已知，，，，則（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，因為，所以，故選：A.變式4．（2023·貴州貴陽·高二?？奸_學(xué)考試）已知四面體，是的中點(diǎn)，連接，則＝（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】四面體，是的中點(diǎn)，如圖所示，因為是的中點(diǎn)，所以所以.故選：A.變式5．（2023·福建寧德·高二校考階段練習(xí)）直三棱柱中，若，，，則（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則得：.故選：A【方法技巧與總結(jié)】在用已知向量表示未知向量的時候，要注意尋求兩者之間的關(guān)系，通?？蓪⑽粗蛄窟M(jìn)行一系列的轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化到與已知向量在同一四邊形（更多的是平行四邊形）或三角形中，從而可以建立已知與未知之間的關(guān)系式．另外，在平行六面體中，要注意相等向量之間的代換．題型二：共線向量定理的應(yīng)用例4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知向量，不共線，，，，則（

）A．與共線 B．與共線C．，，，四點(diǎn)不共面 D．，，，四點(diǎn)共面【答案】D【解析】對于A，，不存在實數(shù)，使得成立，與不共線，A錯誤；對于B，，，，又，不存在實數(shù)，使得成立，與不共線，B錯誤；對于C、D，若，，，四點(diǎn)共面，則有，，即，故，故，，，四點(diǎn)共面，C錯誤，D正確.故選：D.例5．（2023·高二課時練習(xí)）若，，，則??（

）A．可組成銳角三角形 B．可組成直角三角形C．可組成鈍角三角形 D．不構(gòu)成三角形【答案】D【解析】由題知，所以共線所以??不構(gòu)成三角形.故選：D例6．（2023·高二課時練習(xí)）已知空間四邊形ABCD，點(diǎn)E?F分別是AB與AD邊上的點(diǎn)，M?N分別是BC與CD邊上的點(diǎn)，若，，，，則向量與滿足的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，得，所以共線，同理，由，，得，所以共線，所以共線，即.故選：B.變式6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點(diǎn)共線，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由，，得，因為A，C，D三點(diǎn)共線，所以，則存在唯一實數(shù)，使得，則，解得.故選：C.變式7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如果空間向量不共線，且，那么的值分別是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知空間向量不共線，且，即，則，即，故選：C.變式8．（2023·全國·高二假期作業(yè)）在正方體中，點(diǎn)E在對角線上，且，點(diǎn)F在棱上，若A、E、F三點(diǎn)共線，則．【答案】/【解析】因為正方體中，，設(shè)，又，所以，即，因為A、E、F三點(diǎn)共線，所以，解得，即.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】利用共線向量定理可以判定兩直線平行、證明三點(diǎn)共線．證平行時，先從直線上取有向線段來表示兩個向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，此為證明平行問題的一種重要方法；證明三點(diǎn)共線問題時，通常不用圖形。直接利用向量的線性運(yùn)算，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點(diǎn)．題型三：共面向量及應(yīng)用例7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列條件能使點(diǎn)與點(diǎn)一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，若，則點(diǎn)共面．對于A，，由于，故A錯誤；對于B，，由于，故B錯誤；對于C,，由于，故C錯誤；對于D，，由于，得共面，故D正確.故選：D.例8．（2023·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)?？计谥校┰谒拿骟w中，已知為線段上的點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且，若，則的值為.【答案】【解析】由題意可知，，所以，所以.故答案為：.例9．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）如圖所示，四面體中，G，H分別是的重心，設(shè)，點(diǎn)D，M，N分別為BC，AB，OB的中點(diǎn)．(1)試用向量表示向量；(2)試用空間向量的方法證明MNGH四點(diǎn)共面．【解析】（1）因為，而，又D為的中點(diǎn)，所以，所以．（2）因為，，所以，，所以．所以四點(diǎn)共面．變式9．（2023·高二課時練習(xí)）如圖所示，在長方體中，為的中點(diǎn)，，且，求證：四點(diǎn)共面．【解析】設(shè)，則，為的中點(diǎn)，，又，，，為共面向量，又三向量有相同的起點(diǎn)，四點(diǎn)共面．變式10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，，三點(diǎn)不共線，對于平面外的任意一點(diǎn)，分別根據(jù)下列條件，判斷點(diǎn)是否與點(diǎn)，，共面：(1)；(2)．【解析】（1）因為，所以，所以，可得，所以，所以點(diǎn)與點(diǎn)，，共面.（2）由可得，所以，所以，所以，所以點(diǎn)與點(diǎn)，，共面.變式11．（2023·高二課時練習(xí)）下面關(guān)于空間向量的說法正確的是（

）A．若向量平行，則所在直線平行B．若向量所在直線是異面直線，則不共面C．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，不共面D．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，，不共面【答案】D【解析】向量平行，所在直線可以重合，也可以平行，A錯誤；可以通過平移將空間中任意兩個向量平移到一個平面內(nèi)，因此空間任意兩個向量都是共面的，BC錯誤；顯然AB，AC，AD是空間中有公共端點(diǎn)A，但不共面的三條線段，所以向量，，不共面，D正確.故選：D變式12．（2023·上海·高二專題練習(xí)）已知是空間中不共線的三個點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則下列說法正確的一項是（

）A．點(diǎn)是唯一的，且一定與共面B．點(diǎn)不唯一，但一定與共面C．點(diǎn)是唯一的，但不一定與共面D．點(diǎn)不唯一，也不一定與共面【答案】A【解析】由空間向量的知識可知共面的充要條件為存在實數(shù)，使，因為，所以，所以共面，所以四點(diǎn)共面，因為，所以，所以點(diǎn)唯一.故選：A.變式13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在下列條件中，能使與，，一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】空間向量共面定理，，若，，不共線，且，，，共面，則其充要條件是；對于A，因為，所以不能得出，，，四點(diǎn)共面；對于B，因為，所以不能得出，，，四點(diǎn)共面；對于C，，則，，為共面向量，所以與，，一定共面；對于D，因為，所以，因為，所以不能得出，，，四點(diǎn)共面．故選：C．變式14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)平面，且對空間內(nèi)任意一點(diǎn)滿足，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】平面，，，，四點(diǎn)共面，又，，解得．故選：D．或者根據(jù)平面，，，，四點(diǎn)共面，則存在實數(shù)，使得，即，又，所以解得故選：D變式15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知為空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線．如果，則的值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【解析】因為，所以由得，即，因為為空間任意一點(diǎn)，滿足任意三點(diǎn)不共線，且四點(diǎn)共面，所以，故.故選：A.變式16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因為，點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，所以，即，所以，所以當(dāng)時，的有最小值2．故選：D變式17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖,平面內(nèi)的小方格均為正方形,點(diǎn)為平面內(nèi)的一點(diǎn),為平面外一點(diǎn),設(shè),則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】由題知，四點(diǎn)共面,根據(jù)平面向量基本定理,不妨設(shè),，則,，,.故選:B【方法技巧與總結(jié)】在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算．題型四：空間向量的數(shù)量積例10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，各棱長都為的四面體中，，則向量（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題得夾角，夾角，夾角均為，，，，故選：A.例11．（2023·北京昌平·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，三棱錐的各棱長都是，點(diǎn)??分別是??的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，三棱錐為正四面體，點(diǎn)??分別是??的中點(diǎn)，，且，對于A，；對于B，；對于C，；對于D，.等于.故選：B.例12．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）正四面體的棱長為2，點(diǎn)D是的重心，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為點(diǎn)D是的重心,正四面體的棱長為2，.故選：D.變式18．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)正四面體的棱長為，，分別是，的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，由，，故,所以．故選:A．變式19．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在棱長為1的正方體中，為上任意一點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由圖形可得，所以，由正方體性質(zhì)可得，所以，所以，又，與方向相反，所以.故選：B.變式20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在三棱錐中，為的中點(diǎn)，則等于（

）A．-1 B．0 C．1 D．3【答案】C【解析】因為，所以，，，因為，.故選：C.變式21．（2023·全國·高二專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵中，分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，則（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】連接，由棱柱性質(zhì)，側(cè)棱平面，平面，則，故，又，.故選：C變式22．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，和之間夾角均為，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算有故選：C變式23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)P在棱長為2的正方體的表面上運(yùn)動，則的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】取中點(diǎn)，連接，如圖，則，當(dāng)在正方體表面上運(yùn)動時，運(yùn)動到或處時，最大，所以,所以的最大值為8.故選：C變式24．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知正四面體的棱長為1，如圖所示，求：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）在正四面體中，，且，可得.（2）由向量的運(yùn)算法則，可得．（3）由.【方法技巧與總結(jié)】向量的數(shù)量積運(yùn)算除不滿足乘法結(jié)合律外，其它都滿足，所以其運(yùn)算和實數(shù)的運(yùn)算基本相同。求空間向量數(shù)量積的運(yùn)算同平面向量一樣，關(guān)鍵在于確定兩個向量之間的夾角以及它們的模，利用公式：即可順利計算．題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角例13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條邊的長度都為1，且兩兩夾角為60°.求與所成角的余弦值.【解析】設(shè)，，，由已知可得.因為，，所以，，，，所以，，所以，，故與所成角的余弦值為.例14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量分別與向量，，，，的夾角．【解析】連接BD，則在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，所以，，，，.例15．（2023·河南鄭州·高二宜陽縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，且的兩兩夾角都是．(1)若，求線段的長度；(2)求直線與所成角的余弦值．【解析】（1）以為空間一組基底．，，所以．（2），，所以．，，所以．．設(shè)直線與直線所成角為，則．變式25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知：正四面體（所有棱長均相等）的棱長為，、、、分別是四面體中各棱的中點(diǎn)，求、的夾角．【解析】正四面體的棱長為，、、、分別是四面體中各棱的中點(diǎn)，記，，，由空間向量數(shù)量積的定義可得，，，，同理可得，所以，，，因此，、的夾角為.變式26．（2023·廣東深圳·高二深圳市羅湖外語學(xué)校?？计谀┢叫辛骟w，(1)若，，，，，，求長；(2)若以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值．【解析】（1），，，，∴，；（2）∵，，∴，∵，∴，∵＝8，∴，設(shè)與所成的角為，則.變式27．（2023·高二課時練習(xí)）已知，是兩個空間單位向量，它們的夾角為，設(shè)向量，．求：(1)；(2)向量與的夾角.【解析】(1)因為，是兩個空間單位向量，它們的夾角為，所以，所以；(2)因為，所以，，又因為所以，因為，所以，即向量與的夾角為.變式28．（2023·重慶江津·高二重慶市江津中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長度都為，且兩兩夾角為.求：（1）的長；（2）與夾角的余弦值.【解析】（1）記，，，則，，，，，即的長為；（2），，，，，，又，，即與夾角的余弦值為.【方法技巧與總結(jié)】本題用傳統(tǒng)立體幾何方法求異面直線BN和SM所成角，可以利用中位線平移或補(bǔ)形在正方體中計算，但是圖形添加輔助線后不易觀察，計算量也稍大。如用向量夾角公式求解，無須添加輔助線，便于觀察圖形，更能有效地解決問題。題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度【方法技巧與總結(jié)】空間向量求模的運(yùn)算要注意公式的準(zhǔn)確應(yīng)用。向量的模就是表示向量的有向線段的長度，因此求線段長度的總是可用向量求解。例16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，，，，，與相交于點(diǎn).(1)求；(2)求；(3)求的長.【解析】（1）.（2）因為為平行六面體，所以四邊形為平行四邊形，∥，，在三角形中，，，，所以，所以，又∥，所以.（3）由題意知，，則，所以.例17．（2023·遼寧沈陽·高二新民市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，平行六面體中，，，，，，求的長．【解析】設(shè)，，，這三個向量不共面，構(gòu)成空間的一個基底，則.又，，，，..故答案為：例18．（2023·江蘇淮安·高二洪澤湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，．求：(1)；(2)的長；(3)的長．【解析】（1）由向量的數(shù)量積的概念，可得.（2）因為，所以，即的長為.（3）以為，所以.變式29．（2023·江蘇宿遷·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱柱中，，，點(diǎn)，分別在和上，且滿足，.(1)證明：平面；(2)若為中點(diǎn)，求的長.【解析】（1）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，由題意得，故，，而平面，平面，平面，同理得平面，而，平面平面，平面（2）由題意得，故，，故變式30．（2023·河北唐山·高二灤南縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是平行四邊形，，.如圖，把平行四邊形沿對角線折起，使與成角，求的長.【解析】，四邊形為平行四邊形，，，；與成角，或；；當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，，解得：；的長為或.變式31．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，已知平行六面體中，，，，，求的長．【解析】在平行六面體中，.所以=55.所以變式32．（2023·江西宜春·高二?？计谀┤鐖D所示，在平行六面體中，，，，.(1)求；(2)求線段的長.【解析】（1）由題意可得，，，所以；（2），所以線段的長為.變式33．（2023·浙江湖州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體中，，.求：(1)；(2)的長.【解析】（1）；（2），所以變式34．（2023·江蘇連云港·高二連云港高中?？茧A段練習(xí)）三棱柱中，，分別是，上的點(diǎn)，且，.設(shè)，，.(1)試用，，表示向量；(2)若，，，求的長.【解析】（1）由題圖知，，因為，，所以，，故.（2）根據(jù)題意，由，，，得，即，由（1）知.題型七：利用空間向量的數(shù)量積證垂直例19．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長是，和相交于點(diǎn)．(1)求；(2)求與的夾角的余弦值(3)判斷與是否垂直．【解析】（1）正方體中，，故.（2）由題意知，，，，故，故.（3）由題意，，，故與垂直.例20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知：如圖，OB是平面α的斜線，O為斜足，，A為垂足，，且．求證：．【解析】因為，所以，因為，，所以，．又，所以，故．例21．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為1的菱形，，(1)求線段的長；(2)求證：．【解析】（1）設(shè)，則，∵，則.∵，∴.故線段的長為.（2）證明：∵，∴.故.變式35．（2023·山東泰安·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體中，，，，M，N分別為，中點(diǎn)．(1)求的長；(2)證明：．【解析】（1）設(shè)，，，則，，，，．因為，所以（2）證明：因為，所以．變式36．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且.(1)求證：共面；(2)當(dāng)為何值時，.【解析】（1）在平行六面體中，連接，因為，所以，，所以，即且，所以四邊形為平行四邊形，即共面；（2）當(dāng)時，，理由如下，設(shè)，且與、與、與的夾角均為，因為底面為菱形，所以，，，若，則，即，即，解得或舍去，即時，.變式37．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正四面體的棱長為2，點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)用表示，并求出；(2)求證：.【解析】（1）因為點(diǎn)是的重心，所以因為點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以.因為正四面體的棱長為，所以,所以，所以.（2），所以.【方法技巧與總結(jié)】立體幾何中有關(guān)判斷線線垂直問題，通?？梢赞D(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積為零.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·貴州貴陽·高二校考開學(xué)考試）已知點(diǎn)，，，分別位于四面體的四個側(cè)面內(nèi)，點(diǎn)是空間任意一點(diǎn)，則“”是“，，，四點(diǎn)共面”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】充分性：因為，且，由空間向量共面定理可知，，，，四點(diǎn)共面，所以充分性成立，必要性：若，，，四點(diǎn)共面，，則，其中，，只是其中的一種情況，，，也可以是其他和為1的取值，所以必要性不成立，綜上所述，“”是“，，，四點(diǎn)共面”的充分不必要條件，故選：A．2．（2023·高二課時練習(xí)）如圖所示，在正方體中，下列各組向量的夾角為的是（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】A【解析】以為原點(diǎn)，分別以所成在的直線為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，由，因為，所以，所以A正確；由，因為，所以，所以B不正確；由，所以，所以C不正確；由，因為，所以，所以D不正確；故選：A.3．（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，若，則“”是“四點(diǎn)共面”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．即不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時，，即，，三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共面，充分性成立；當(dāng)四點(diǎn)共面時，，滿足條件的數(shù)據(jù)不止，必要性不成立；“”是“四點(diǎn)共面”的充分不必要條件.故選：B.4．（2023·高二課時練習(xí)）已知，是異面直線，，，分別為取自直線，上的單位向量，且，，，則實數(shù)的值為（

）A． B．6 C．3 D．【答案】B【解析】因為，是異面直線，，，分別為取自直線，上的單位向量，所以，則，因為，所以，即，所以，所以，解得，故選：B5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知在四面體中，為的中點(diǎn)，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖所示，因為為的中點(diǎn)，，且，則.故選：D.6．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，四個棱長為的正方體排成一個正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個點(diǎn)，則的不同值的個數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】．因為平面，所以，所以，所以．則的不同值的個數(shù)為.故選：A．7．（2023·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）如圖，在平行六面體中，，，，，，，則用表示及線段的長為分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】在平行六面體中，，，，，，∵，∴,∴．故選:C．8．（2023·河南·高二長葛市第二高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，，，，，與的交點(diǎn)為M，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，所以.故選：C.二、多選題9．（2023·全國·高二課堂例題）如圖所示，在長方體中，，，，則在以八個頂點(diǎn)中的兩個分別為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中（

）A．單位向量有8個 B．與相等的向量有3個C．的相反向量有4個 D．模為的向量有4個【答案】ABC【解析】由題可知單位向量有，，，，，，，，共8個，故A正確；與相等的向量有，，，共3個，故B正確；向量的相反向量有，，，，共4個，故C正確；模為的向量分別為，，，，，，，，共8個，故D錯誤．故選：ABC10．（2023·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考開學(xué)考試）下列命題中正確的是（

）A．非零向量，，，若與共面，與共面，與共面，則向量，，共面B．向量，，共面，即它們所在的直線共面C．設(shè)，，是三個空間向量，則D．若與共面，與共面，則任意，與共面【答案】CD【解析】對于選項A：例如非零向量，，是三棱錐三條側(cè)棱所在的向量，顯然滿足與共面，與共面，與