06-第6講周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

§8-5傅里葉級數(shù)展開研究周期（函數(shù)）現(xiàn)象產(chǎn)生；三角函數(shù)是最簡單周期函數(shù)；任何周期函數(shù)都能夠用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)組成級數(shù)表示；第1頁傅里葉(Fourier)，也譯作傅立葉，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。

1768年3月21日生于歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。9歲父母雙亡，被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng)。12歲由一主教送入地方軍事學(xué)校讀書。17歲（1785）回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)。1794到巴黎，成為高等師范學(xué)校首批學(xué)員，第二年到巴黎綜合工科學(xué)校執(zhí)教。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時(shí)任軍漢字書和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾省地方長官。1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終生秘書。數(shù)學(xué)方面

主要貢獻(xiàn)是在研究熱傳輸時(shí)創(chuàng)建了一套數(shù)學(xué)理論。1807年向巴黎科學(xué)院呈交《熱傳輸》論文，推導(dǎo)出著名熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時(shí)發(fā)覺解函數(shù)能夠由三角函數(shù)組成級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)無窮級數(shù)。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。物理方面他是傅立葉定律創(chuàng)始人，1822年在代表作《熱分析理論》中處理了熱在非均勻加熱固體中分布傳輸問題，成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用最早例證之一，對19世紀(jì)理論物理學(xué)發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。

第2頁本節(jié)內(nèi)容一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系正交性二、周期函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)四、普通周期函數(shù)傅里葉級數(shù)五、任意區(qū)間上非周期函數(shù)傅里葉級數(shù)[P316，自學(xué)]第3頁三角函數(shù)公式：第4頁

函數(shù)角Asincostgctg-α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα誘導(dǎo)公式：第5頁一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系正交性簡單周期運(yùn)動(dòng):(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng):令得函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

為角頻率,φ為初相)(諧波迭加)稱上述形式級數(shù)為三角級數(shù).第6頁2、三角函數(shù)系正交性

第7頁第8頁基；單位正交；第9頁第10頁第11頁第12頁第13頁第14頁第15頁第16頁第17頁第18頁第19頁第20頁第21頁第22頁第23頁第24頁4、函數(shù)周期性延拓（P312）第25頁第26頁第27頁第28頁第29頁第30頁第31頁第32頁第33頁第34頁正弦級數(shù)為：…………第35頁第36頁第37頁練習(xí)將函數(shù)級數(shù).則解:將f(x)延拓成以

展成傅里葉2為周期函數(shù)F(x),

第38頁利用此展式可求出幾個(gè)特殊級數(shù)和.當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0,得說明:第39頁設(shè)已知又第40頁作業(yè)：P317，習(xí)題8-5，1(1)，3。第41頁小結(jié)：1.周期為2函數(shù)傅里葉級數(shù)及收斂定理其中注意:若為間斷點(diǎn),則級數(shù)收斂于第42頁2.周期為2奇、偶函數(shù)傅里葉級數(shù)奇函數(shù)正弦級數(shù)偶函數(shù)余弦級數(shù)3.在[0,]上函數(shù)傅里葉展開法作奇周期延拓,展開為正弦級數(shù)作偶周期延拓,展開為余弦級數(shù)1.

在[0,]上函數(shù)傅里葉展開唯一嗎?答:不唯一,延拓方式不一樣級數(shù)就不一樣.思索：第43頁處收斂于2.則它傅里葉級數(shù)在在處收斂于

.提醒:設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)表示式為

,第44頁3.

設(shè)又設(shè)求當(dāng)表示式.解:由題設(shè)可知應(yīng)對作奇延拓:由周期性:為周期正弦級數(shù)展開式和函數(shù),定義域第45頁4.

寫出函數(shù)傅氏級數(shù)和函數(shù).答案:第46頁備用題1.葉級數(shù)展式為則其中系提醒:利用“偶倍奇零”(93考研)傅里第47頁2.

設(shè)是以2為周期函數(shù),其傅氏系數(shù)為則傅氏系數(shù)提醒:令第48頁狄利克雷(1805–1859)德國數(shù)學(xué)家.對數(shù)論,數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn),是解析數(shù)論他是最早提倡嚴(yán)格化方法數(shù)學(xué)家.函數(shù)f(x)傅里葉級數(shù)收斂第一個(gè)充分條件;