ch李雅普諾夫穩(wěn)定性分析課件

2023/9/171第4章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析李雅普諾夫穩(wěn)定性定義李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析2023/8/41第4章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定義2023/9/172控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通常有兩種定義方式：1、外部穩(wěn)定性：是指系統(tǒng)在零初始條件下通過其外部狀態(tài)，即由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者關(guān)系所定義的外部穩(wěn)定性。有界輸入有界輸出穩(wěn)定(BIBO)。2、內(nèi)部穩(wěn)定性：指系統(tǒng)在零輸入條件下通過其內(nèi)部狀態(tài)變化所定義的內(nèi)部穩(wěn)定性。狀態(tài)穩(wěn)定。外部穩(wěn)定性只適用于線性系統(tǒng)，內(nèi)部穩(wěn)定性不但適用于線性系統(tǒng)，而且也適用于非線性系統(tǒng)。對(duì)于同一個(gè)線性系統(tǒng)，只有在滿足一定的條件下兩種定義才具有等價(jià)性。不管哪一種穩(wěn)定性，穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的一種特性，只和系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入－輸出無關(guān)。穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)能否正常工作的前提條件。系統(tǒng)在受到小的外界擾動(dòng)后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性。2023/8/42控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通常有兩種定義方式：穩(wěn)定2023/9/173

第一法（間接法,定量方法）2）現(xiàn)代控制理論：李雅普諾夫穩(wěn)定性：

第二法（直接法，定性方法。）勞斯—胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)1）古典控制理論：乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)線性連續(xù)定常系統(tǒng)研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法：線性、非線性；定常、時(shí)變系統(tǒng)等1892年,俄國數(shù)學(xué)家Lyapunov，博士論文《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問題》。根據(jù)系統(tǒng)矩陣的特征根在根平面的分布情況判斷穩(wěn)定性利用經(jīng)驗(yàn)和技巧來構(gòu)造李氏函數(shù),根據(jù)李氏函數(shù)的特性判斷穩(wěn)定性（分析能量函數(shù)的變化趨勢(shì)）分析特征方程的根在根平面的分布狀況2023/8/432023/9/174第1節(jié)

李雅普諾夫穩(wěn)定性定義平衡狀態(tài)李雅普諾夫穩(wěn)定性定義（4種）

穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定、不穩(wěn)定2023/8/44第1節(jié)李雅普諾夫穩(wěn)定性定義平衡狀態(tài)2023/9/175一、平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)：對(duì)所有時(shí)間t，如果滿足，稱xe為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)或平衡點(diǎn)。f一般為時(shí)變非線性函數(shù)。如果不顯含t，則為定常非線性函數(shù)。李雅普諾夫穩(wěn)定性針對(duì)平衡狀態(tài)而言。說明：1、對(duì)于線性定常系統(tǒng)：

A為非奇異陣時(shí)，xe=0是其唯一的平衡狀態(tài)。

A為奇異陣時(shí)，系統(tǒng)有無窮多個(gè)平衡狀態(tài)。2、對(duì)于非線性系統(tǒng)，有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)，視系統(tǒng)方程而定。3、對(duì)任意已知的非零平衡狀態(tài)，總可經(jīng)過一定的坐標(biāo)變換，把它移到坐標(biāo)原點(diǎn)（即零狀態(tài)）。為了方便，今后只討論在坐標(biāo)原點(diǎn)處的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性：系統(tǒng)在平衡狀態(tài)受到擾動(dòng)后，系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，與外部輸入無關(guān)。2023/8/45一、平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)：對(duì)所有時(shí)間t，如果滿2023/9/1764、李雅普諾夫穩(wěn)定性針對(duì)某個(gè)平衡狀態(tài)而言，不同的平衡狀態(tài)點(diǎn)可能表現(xiàn)出不同的穩(wěn)定性。所以，穩(wěn)定性必須針對(duì)所有平衡狀態(tài)分別加以討論。[例]某非線性系統(tǒng)方程為：

試確定其平衡狀態(tài)。[解]：由，可得方程組：解得3個(gè)平衡狀態(tài)為：2023/8/464、李雅普諾夫穩(wěn)定性針對(duì)某個(gè)平衡狀態(tài)而言，

（1）非負(fù)性：當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)

（2）齊次性：為任意實(shí)數(shù)。（3）三角不等式：對(duì)于中的任意兩個(gè)向量都有（3）三角不等式：對(duì)于中統(tǒng)一記為p范數(shù)滿足：統(tǒng)一記為p范數(shù)滿足：2023/9/179二、李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定（4種：系統(tǒng)自由響應(yīng)是否有界）1、穩(wěn)定與一致穩(wěn)定：

（系統(tǒng)的自由響應(yīng)幅值有界）設(shè)為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)孤立平衡狀態(tài)。如果對(duì)球域或任意正實(shí)數(shù)，都可以找到另一個(gè)正實(shí)數(shù)或球域，當(dāng)初始狀態(tài)滿足時(shí)，對(duì)由此出發(fā)的X的運(yùn)動(dòng)軌跡有，則平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。如果與初始時(shí)刻無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。2023/8/49二、李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定（4種：系統(tǒng)自由2023/9/1710說明1：表示初始偏差都在以為半徑，以平衡狀態(tài)Xe為中心的球域里。其中表示狀態(tài)偏差都在以為半徑，以平衡狀態(tài)Xe為中心的球域里。說明2：李雅普諾夫穩(wěn)定性針對(duì)平衡狀態(tài)而言，反映的是平衡狀態(tài)鄰域的局部穩(wěn)定性，即小范圍穩(wěn)定性。說明3：系統(tǒng)做等幅振蕩時(shí)，在平面上描出一條封閉曲線，只要不超過，就是李雅普諾夫穩(wěn)定的，而古典則認(rèn)為不穩(wěn)定。二范數(shù)2023/8/410說明1：2023/9/1711如果與初始時(shí)刻無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)xe為一致漸近穩(wěn)定。設(shè)xe為系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)，如果它是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，且當(dāng)t趨向于無窮大時(shí)，有：即收斂于平衡狀態(tài)xe，則稱平衡狀態(tài)xe為漸近穩(wěn)定的。2、漸近穩(wěn)定和一致漸近穩(wěn)定：（自由響應(yīng)有界并回到平衡狀態(tài)）說明：穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定不同。穩(wěn)定只要求狀態(tài)軌跡永遠(yuǎn)不會(huì)跑出球域，在球域內(nèi)如何變化不作規(guī)定。漸近穩(wěn)定不僅要求狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡不跑出球域，最終要收效或無限趨近平衡狀態(tài)xe。古典的穩(wěn)定性，就是李雅普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定。2023/8/411如果與初始時(shí)刻無關(guān)，則稱平2023/9/17123、大范圍漸近穩(wěn)定

不管初始偏差有多大（即從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌跡），都有漸近穩(wěn)定特性。即：對(duì)所有點(diǎn)都成立，稱平衡狀態(tài)xe為大范圍漸近穩(wěn)定的。必要性：整個(gè)狀態(tài)空間中，只有一個(gè)平衡狀態(tài)。漸近穩(wěn)定比穩(wěn)定更重要，但它是一個(gè)局部概念，平衡狀態(tài)局部穩(wěn)定并不意味著整個(gè)系統(tǒng)能正常工作。確定其漸近穩(wěn)定的最大區(qū)域很重要。或者說，如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的吸引域?yàn)檎麄€(gè)狀態(tài)空間，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的。2023/8/4123、大范圍漸近穩(wěn)定必要性：整個(gè)狀態(tài)空間中大范圍漸近穩(wěn)定xe=0xe=0漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定xe=0xe=0漸近穩(wěn)定線性系統(tǒng)：如果它是漸近穩(wěn)定的，必是大范圍漸近穩(wěn)定的.非線性系統(tǒng)：可能只在小范圍穩(wěn)定，狀態(tài)軌跡收斂到xe

或其附近。非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始偏差的大小有關(guān)!線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始偏差的大小無關(guān)!線性系統(tǒng)：如果它是漸近穩(wěn)定的，必是大范圍漸近穩(wěn)定的.非線性系2023/9/17154、不穩(wěn)定：（系統(tǒng)的自由響應(yīng)是無界的）如果對(duì)于某一實(shí)數(shù)，不論取得多么小，由內(nèi)出發(fā)的軌跡，只要有一個(gè)軌跡超出，則稱平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。說明：雖然不穩(wěn)定的軌跡超出了，但并不一定趨向于無窮遠(yuǎn)處，有可能趨向于外的某個(gè)極限環(huán)。2023/8/4154、不穩(wěn)定：（系統(tǒng)的自由響應(yīng)是無界的）說2023/9/1716經(jīng)典控制理論(線性系統(tǒng)）不穩(wěn)定Re(s)>0不穩(wěn)定（臨界情況）Re(s)=0穩(wěn)定Re(s)<0李雅普諾夫意義不穩(wěn)定穩(wěn)定（極限環(huán)，不超出某個(gè)球域即可）漸近穩(wěn)定經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性與李雅普諾夫意義下穩(wěn)定性的關(guān)系：在經(jīng)典控制理論中，只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才稱為穩(wěn)定的系統(tǒng)；在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的，但卻不是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，古典控制則認(rèn)為是不穩(wěn)定的。S：系統(tǒng)(傳函)極點(diǎn).或系統(tǒng)矩陣的特征值。[本節(jié)小結(jié)]：2023/8/416經(jīng)典控制理論不穩(wěn)定Re(s)>0不穩(wěn)定2023/9/1717第2節(jié)

李亞普諾夫穩(wěn)定性第一法（間接法判穩(wěn)）外部穩(wěn)定性定義及判據(jù)內(nèi)部穩(wěn)定性定義及判據(jù)內(nèi)部狀態(tài)穩(wěn)定性和BIBO外部穩(wěn)定性的關(guān)系2023/8/417第2節(jié)李亞普諾夫穩(wěn)定性第一法（間接法2023/9/1718一、外部穩(wěn)定性定義及判據(jù)（BIBO穩(wěn)定）定義：如果線性系統(tǒng)在有界的輸入量或干擾量作用下，引起的輸出量的幅值是有界的，即有界輸入引起的零狀態(tài)響應(yīng)是有界的，則稱系統(tǒng)是有界輸入－有界輸出（Bouned-Input-Bounded-Output）穩(wěn)定的。否則，如果系統(tǒng)在有界輸入作用下，產(chǎn)生無界輸出，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。說明：2、盡管在定義時(shí)提到了輸入和擾動(dòng)作用，但對(duì)線性定常系統(tǒng)來說，系統(tǒng)穩(wěn)定與否完全取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的一種特性，而與輸入作用無關(guān)。2023/8/418一、外部穩(wěn)定性定義及判據(jù)（BIBO穩(wěn)定）2023/9/1719線性定常連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是，當(dāng)且僅當(dāng)其極點(diǎn)都在s的左半平面時(shí)，系統(tǒng)才是輸入輸出穩(wěn)定的。否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（在此，虛軸上的臨界穩(wěn)定，對(duì)應(yīng)等幅周期振蕩，控制工程上認(rèn)為是不穩(wěn)定的）。BIBO穩(wěn)定性判據(jù)（傳遞函數(shù)）：[例]設(shè)系統(tǒng)方程為：

試確定其外部穩(wěn)定性。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面圖解表示：2023/8/419線性定常連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是2023/9/1720[解]

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：極點(diǎn)位于s左半平面，s=2的極點(diǎn)被對(duì)消掉了。系統(tǒng)是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的。二、內(nèi)部穩(wěn)定性定義及判據(jù)（狀態(tài)穩(wěn)定性）李氏第一法判穩(wěn)思路：間接法：對(duì)于線性定常系統(tǒng)，通過系統(tǒng)矩陣A的特征值來判斷2023/8/420[解]極點(diǎn)位于s左半平面，s=2的極點(diǎn)2023/9/1721線性系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性判據(jù)：線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件為：A陣的所有特征值全為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根。等同于特征方程的根（包含可能相約的極點(diǎn)）全部位于s平面的左半部。[例]設(shè)系統(tǒng)方程為：

判斷其內(nèi)部穩(wěn)定性。（與前面外部穩(wěn)定性例子系統(tǒng)相同）[解]

求系統(tǒng)的特征方程：系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。2023/8/421線性系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性判據(jù)：線性定常連續(xù)系2023/9/17221、由于零極點(diǎn)對(duì)消結(jié)果，導(dǎo)致內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定的不等價(jià)性。三、內(nèi)部狀態(tài)穩(wěn)定性和BIBO外部穩(wěn)定性的關(guān)系3、如果系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則一定是輸入輸出穩(wěn)定的。（不管極點(diǎn)是否消去，A的特征值一定包含所有極點(diǎn)）2、如果系統(tǒng)是輸入輸出穩(wěn)定的，則不一定是漸近穩(wěn)定的。（有零、極點(diǎn)對(duì)消，消去的極點(diǎn)可能不在s的左半平面）4、如果系統(tǒng)是輸入輸出穩(wěn)定的，且是能控、能觀測(cè)的，則一定是漸近穩(wěn)定的。5、內(nèi)部穩(wěn)定性要比外部穩(wěn)定性嚴(yán)格。只用傳遞函數(shù)極點(diǎn)性質(zhì)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性不一定能真正反映系統(tǒng)穩(wěn)定的性能。一個(gè)外部穩(wěn)定的系統(tǒng)，完全可能由于內(nèi)部狀態(tài)的不穩(wěn)定性導(dǎo)致系統(tǒng)中某些元件飽和甚至損壞，而使系統(tǒng)無法正常工作。2023/8/4221、由于零極點(diǎn)對(duì)消結(jié)果，導(dǎo)致內(nèi)部穩(wěn)定和外2023/9/1723第3節(jié)

李雅普諾夫穩(wěn)定性第二法（直接法判穩(wěn)）二次型及其正定性李雅普諾夫穩(wěn)定性第二法思路李雅普諾夫穩(wěn)定性第二法定理（3個(gè)）

2023/8/423第3節(jié)李雅普諾夫穩(wěn)定性第二法（直接法2023/9/1724[二次型及其正定性]如果，則稱P為實(shí)對(duì)稱矩陣。1、二次型函數(shù)V(x)：1）正定性：當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，才有；對(duì)任意非零X，恒有，則為正定。2）負(fù)定性：當(dāng)僅當(dāng)X=0時(shí)，才有；對(duì)任意非零x,恒有，則為負(fù)定。2023/8/424[二次型及其正定性]如果2023/9/17253）半正定和半負(fù)定如果對(duì)任意，恒有,則V(X)為半正定。如果對(duì)任意，恒有,則V(X)為半負(fù)定。5）不定性V(X)可為正值也可為負(fù)值，則V(x)為不定。4）(半)正定和(半)負(fù)定間的關(guān)系

V(x)為正定，則－V(x)為負(fù)定；

V(x)為半正定，則－V(x)為半負(fù)定；2、二次型函數(shù)V(x)正(負(fù))定性判定：賽爾維斯特準(zhǔn)則Sylvester’scriterion2023/8/4253）半正定和半負(fù)定5）不定性4）(半)正2023/9/17261）二次型為正定，或?qū)崒?duì)稱矩陣P為正定的充要條件是P的所有主子行列式均為正，即：則P為正定，即V(x)正定。

如果2）二次型為負(fù)定，或?qū)崒?duì)稱陣P為負(fù)定的充要條件是P的主子行列式滿足；（i為偶數(shù)）i=1，2，3，…,n。2023/8/4261）二次型設(shè)有標(biāo)量函數(shù)V(x)，V(x)

正定V(x)

半正定V(x)

負(fù)定V(x)

半負(fù)定V(x)

是不定的設(shè)有標(biāo)量函數(shù)V(x)，V(x)正定V(x)半正定V(x)2023/9/1728[例]

試證明下列二次型是正定的。因?yàn)榫仃嘝的所有主子行列式均為正值，所以是正定的。[解]：1）二次型可寫為2）利用賽爾維斯特準(zhǔn)則，可得2023/8/428[例]因?yàn)榫仃嘝的所有主子行列式均為正值2023/9/1729

李雅普諾夫第二法思路：直接法，用能量觀點(diǎn)分析穩(wěn)定性如果系統(tǒng)的某個(gè)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，即。那么隨著系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，其貯存的能量將隨時(shí)間增長而衰減，直至趨于平衡狀態(tài)而能量趨于極小值。[例]彈簧－質(zhì)量－阻尼系統(tǒng)。質(zhì)量為單位質(zhì)量。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)用微分方程描述如下：選取狀態(tài)變量：即：2023/8/429李雅普諾夫第二法思路：直接法，用能量觀2023/9/1730則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：則在任意時(shí)刻，系統(tǒng)的總能量E為：質(zhì)量塊動(dòng)能＋彈簧位能可知：能量隨時(shí)間的變化率為：所以，能量隨時(shí)間的變化率為負(fù)數(shù)，即能量是衰減的。2023/8/430則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：則在任意時(shí)刻，系統(tǒng)的說明：1）實(shí)際系統(tǒng)很難找到一個(gè)統(tǒng)一的能量函數(shù)。2）虛構(gòu)一個(gè)廣義能量函數(shù)，稱為李雅普諾夫函數(shù)，根據(jù)它和它的一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。3）第二法判穩(wěn)的過程，只要找到一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)，而是負(fù)定的，這個(gè)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。而就是李雅普諾夫函數(shù)。2023/9/1731一、李雅普諾夫第二法穩(wěn)定性定理（3個(gè)）說明：2023/8/431一、李雅普諾夫第二法穩(wěn)定性定理（32023/9/1732定理1：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為為其平衡狀態(tài)，如果有一階偏導(dǎo)連續(xù)的標(biāo)量函數(shù)存在，并且滿足以下條件：1）是正定的。2）是負(fù)定的。則原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。如果隨著，有，則原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。說明：定理1是充分條件，判穩(wěn)過程是尋找李雅普諾夫函數(shù)V(x)，如果沒找到，不能判斷系統(tǒng)不穩(wěn)定。2023/8/432定理1：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為2023/9/1733[例]某非線性系統(tǒng)方程為：

是其唯一的平衡狀態(tài)，試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。2）當(dāng)，即，得則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。由定理1可知，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。同時(shí)，V(x)是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。

[解]：

1）選取正定標(biāo)量函數(shù)選，則正定

負(fù)定2023/8/433[例]某非線性系統(tǒng)方程為：

幾何解釋：由確定的圖形

V(x)表示狀態(tài)x到原點(diǎn)的距離，則表示狀態(tài)x沿系統(tǒng)軌線曲線趨向于原點(diǎn)的速度。幾何解釋：2023/9/1735定理2：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為為其唯一的平衡狀態(tài)，如果有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)存在，并且滿足以下條件：1）是正定的。2）是半負(fù)定的。3）對(duì)任意初態(tài)，在，除了外，不恒等于零。則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果隨著，有，則原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。問題：是負(fù)定的難于滿足，能不能用半負(fù)定代替？2023/8/435定理2：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為2023/9/1736說明：恒等于零意味著運(yùn)動(dòng)軌跡是某個(gè)特定的曲面。不恒等于零意味著僅在某個(gè)特定時(shí)刻，在某個(gè)點(diǎn)上和某個(gè)特定的曲面相切，然后狀態(tài)會(huì)繼續(xù)向原點(diǎn)移動(dòng)。注：如果滿足條件1和2，不滿足條件3，則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。因?yàn)槭悄硞€(gè)特定曲面,則狀態(tài)不會(huì)回到平衡狀態(tài)。[例]設(shè)系統(tǒng)方程為：

試確定其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。[解]：1）平衡狀態(tài)令，得是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。2023/8/436說明：恒等于零意味著運(yùn)動(dòng)軌跡是某個(gè)特定2023/9/1737所以，V(x)是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。由定理2可知，系統(tǒng)在原點(diǎn)平衡狀態(tài)處是漸近穩(wěn)定的。同時(shí)有，當(dāng)狀態(tài)非零時(shí)不恒為零。（分析）2）選李雅普諾夫函數(shù)3）當(dāng)，即，得則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。不唯一，滿足定理一2023/8/437所以，V(x)是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)例分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為，選取是半負(fù)定的。例分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性因此，根據(jù)定理2，系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。針對(duì)以上例子，對(duì)由于故該函數(shù)是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。表明：可以有多個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。因此，根據(jù)定理2，系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。2023/9/1740定理3：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：為其平衡狀態(tài)。如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它具有連續(xù)的一階偏函數(shù)，且滿足下列條件：在原點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)是正定的，在同樣的鄰域內(nèi)是正定的，則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。2023/8/440定理3：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：2023/9/1741[例]設(shè)系統(tǒng)方程為：

試確定其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。[解]：1）平衡狀態(tài)令，得是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。由定理3可知，系統(tǒng)在原點(diǎn)平衡狀態(tài)處是不穩(wěn)定的。2）選李雅普諾夫函數(shù)正定正定2023/8/441[例]設(shè)系統(tǒng)方程為：2023/9/1742二、李雅普諾夫函數(shù)說明：1）李雅普諾夫函數(shù)是正定標(biāo)量函數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)為(半)負(fù)定；2）對(duì)于給定系統(tǒng)，如果存在李雅普諾夫函數(shù)，它不是唯一的。用第二法判穩(wěn)時(shí)，找到一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)就可以。3）李雅普諾夫函數(shù)最簡(jiǎn)形式是二次型，P正定實(shí)對(duì)稱方陣。4）李雅普諾夫函數(shù)只表示平衡狀態(tài)鄰域內(nèi)局部運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定情況，絲毫不能提供域外運(yùn)動(dòng)的任何信息。5）構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)需要很多技巧，使用起來很不方便。需要進(jìn)一步構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的方法。2023/8/442二、李雅普諾夫函數(shù)說明：2023/9/1743[本節(jié)小結(jié)]：1、李雅普諾夫第二法判穩(wěn)思路：尋找李雅普諾夫函數(shù)2、李雅普諾夫第二法穩(wěn)定性定理1）穩(wěn)定性定理1：是正定的，是負(fù)定的。2）穩(wěn)定性定理2：是正定的，是半負(fù)定的。3）不穩(wěn)定性定理3：是正定的，是正定的。4）這三個(gè)定理的條件僅是充分條件。2023/8/443[本節(jié)小結(jié)]：1、李雅普諾夫第二法判穩(wěn)思2023/9/1744第4節(jié)

線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析2023/8/444第4節(jié)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)2023/9/1745討論：選擇二次型函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)。目的：用李雅普諾夫第二法分析線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性負(fù)定正定由上一節(jié)討論的定理1知道系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，故有以下定理：標(biāo)量函數(shù)為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。判據(jù)1：線性連續(xù)定常系統(tǒng)：在平衡狀態(tài)處漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個(gè)正定對(duì)稱矩陣Q，存在一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱矩陣P，使?jié)M足：李雅普諾夫方程2023/8/445討論：選擇二次型函數(shù)2023/9/17461）因?yàn)檎▽?duì)稱矩陣Q的形式可任意給定，且最終判斷結(jié)果和Q的不同形式選擇無關(guān)，所以通常取。2）該定理闡述的條件，是充分且必要的。說明：判據(jù)2：如果除了在時(shí)有外，

不恒等于零，則由上一節(jié)定理2可知，Q可取做

半正定。為計(jì)算簡(jiǎn)單，此時(shí)Q可取作如下矩陣：2023/8/4461）因?yàn)檎▽?duì)稱矩