人教版八年級數(shù)學上冊 （線段的垂直平分線的性質(zhì)）軸對稱教學課件

線段的垂直平分線的性質(zhì)第十三章軸對稱

講授新課線段垂直平分線的性質(zhì)一如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點，請你量一量線段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點P1，P2，P3，…到點A

與點B

的距離之間的數(shù)量關(guān)系．ABlP1P2P3探究發(fā)現(xiàn)P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝猜想：點P1，P2，P3，…到點A與點B的距離分別相等．命題：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.由此你能得到什么結(jié)論？你能驗證這一結(jié)論嗎？已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P

在l上．求證：PA=PB．PABlC驗證結(jié)論練一練：1.如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點P為直線CD上的一點，且PA=5，則線段PB的長為（）A.6B.5C.4D.32.如圖②所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E,

△BCE的周長等于18cm,則AC的長是

.B10cmPABCD圖①ABCDE圖②例3

已知:如圖,在ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.求證：PA=PB=PC.BACMNM'N'PPA=PB=PCPB=PC點P在線段BC的垂直平分線上PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上解析：證明：∵點P在線段AB的垂直平分線MN上，∴PA=PB.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.結(jié)論：三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等.現(xiàn)在你能想到方法確定購物中心的位置，使得它到三個小區(qū)的距離相等嗎？例4

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.解析：(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點可得出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出出AB＝BF，再結(jié)合（1）即可解答．證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.線段垂直平分線的判定二想一想：如果PA=PB,那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？PAB合作探究已知：如圖，PA=PB．求證：點P在線段AB

的垂直平分線上．證明：過點P

作AB

的垂線PC，垂足為點C．則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA

和Rt△PCB中，

PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴點P在線段AB

的垂直平分線上．PABC知識要點線段垂直平分線的判定與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．應(yīng)用格式：∵

PA=PB，∴點P

在AB

的垂直平分線上．PAB作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.

這些點能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB

兩端點距離相等的點？

與A，B

的距離相等的點都在直線l上，所以直線l可以看成與A、B兩點

的距離相等的所有點的集合.PABCl應(yīng)用格式：∵AB=AC，MB=MC，∴直線AM是線段BC

的垂直平分線．A

B

C

D

M這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法.例5已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連接CD.求證：OE是CD的垂直平分線.ABOEDC證明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE.∴

OE是CD的垂直平分線.又∵OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC.∴DO=CO.例2

尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線.ABCDEK已知：直線AB和AB外一點C

.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C

.作法：（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁.（2）以點C

為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和點E.（4）作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.（3）分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F.F（1）為什么任意取一點K，使點K與點C在直線兩旁？（2）為什么要以大于的長為半徑作?。浚?）為什么直線CF就是所求作的垂線？想一想：當堂練習1.如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說法正確的是（）A．AB垂直平分CD；B．CD垂直平分AB

；C．AB與CD互相垂直平分；D．CD平分∠ACB

．ＡＢＣＤA2.在銳角三角形ABC內(nèi)一點P,，滿足PA=PB=PC,則點P是△ABC

()A.三條角平分線的交點B.三條中線的交點C.三條高的交點D.三邊垂直平分線的交點D4.下列說法：①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA＝PB，則點P必是線段AB的垂直平分線上的點；④若EA＝EB，則經(jīng)過點E的直線垂直平分線段AB．其中正確的有

（填序號）.①②③3.已知線段AB，在平面上找到三個點D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點的組合共有

種.無數(shù)5.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連接BE，AB+BC=16cm,則△BCE的周長是

cm.ABCDE166.如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，試說明AD與EF的關(guān)系．解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF.∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.ABCDEF7.如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點O.(1)找出圖中相等的線段；(2)OE，OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．解析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；(2)由條件可證明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE＝OF.拓展提升：解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，

∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；

(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，

∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.課堂小結(jié)線段的垂直平分的性質(zhì)和判定性質(zhì)到線段的兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上內(nèi)容判定內(nèi)容作用線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等作用見垂直平分線，得線段相等判斷一個點是否在線段的垂直平分線上13.1軸對稱線段的垂直平分線的性質(zhì)

1．理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定．2．能運用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實際問題．

學習目標線段垂直平分線的性質(zhì)如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，…是l上的點，請測量點P1，P2，…到點A與點B的距離，猜想它們之間的數(shù)量關(guān)系．

ABlP1P2P3探索并證明量一量猜想證明：

ABPCl已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在l上．求證：PA=PB．線段垂直平分線上的點與線段兩端點的距離相等∵l⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=900．又

AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）∴

PA=PB．題設(shè)結(jié)論性質(zhì)線段垂直平分線上的點與線段兩端點的距離相等∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．幾何語言表述ABPCl1.如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點P為直線CD上的一點，且PA=5，則線段PB的長為（）A.6B.5C.4D.3圖①ABPCDB線段垂直平分線的性質(zhì)應(yīng)用2、已知:如圖所示，△ABC中,AC的垂直平分線MN交BC于M，垂足為N，若BC=12厘米，則AM+BM的長度為

厘米。ANMCB12轉(zhuǎn)化數(shù)學思想線段垂直平分線的性質(zhì)應(yīng)用

如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC與E，則△ADE的周長等于______．ABCDE8變式訓練線段垂直平分線的性質(zhì)應(yīng)用解：∵AD⊥BC，BD=DC∴AD是BC的垂直平分線∴AB=AC∵點C在AE的垂直平分線上∴AC=CE．∴AB=AC=CE3、如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．線段垂直平分線的性質(zhì)應(yīng)用角平分線上的點到角兩邊的距離相等在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點點在這個角的平分線上線段垂直平分線的判定探索并證明角平線的性質(zhì)角平線的判定題設(shè)結(jié)論題設(shè)結(jié)論類比數(shù)學思想線段垂直平分線上的點與線段兩端點的距離相等垂直平分線的性質(zhì)題設(shè)結(jié)論與線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上垂直平分線的判定題設(shè)結(jié)論C已知：如圖，PA=PB．求證：點P在線段AB的垂直平分線上．證明：如圖，作PC⊥AB則∠PCA=∠