高等數(shù)學(xué)：3-1 矩陣的初等變換

第一節(jié)矩陣的初等變換1、初等矩陣的概念三、初等變換的應(yīng)用矩陣的初等變換與線性方程組2、初等矩陣的作用一、初等變換的概念3、初等矩陣的性質(zhì)二、初等變換的性質(zhì)（2）用不等于0的數(shù)乘某一行

；定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換

一、初等變換的概念（3）某一行

k倍后加到另一行上去．（1）交換兩行；定理

任意一個(gè)矩陣可以化為行最簡(jiǎn)形矩陣.經(jīng)過有限次初等行變換，~

例用初等行變換將下面矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣解矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：

定義了矩陣的初等行變換，同理可定義矩陣的初等列變換．

定義

矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．

如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價(jià)，記作A~B.定理

任意一個(gè)矩陣它稱為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形.可以化為下面形式的矩陣經(jīng)過有限次初等變換，例用初等變換將下面矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形初等行變換定理1

設(shè)A與B為矩陣，那么：（1）的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P，使（2）的充分必要條件是存在n階可逆矩陣Q，使（3）的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使為證明定理1，我們引進(jìn)初等矩陣的知識(shí)．二、初等變換的性質(zhì)

定義2

由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.1、初等矩陣的概念2、初等矩陣的作用

性質(zhì)1

設(shè)是一個(gè)矩陣，對(duì)施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對(duì)施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.m用3階初等矩陣左乘矩陣，得舉例證明

左乘相當(dāng)于交換了A的2,3兩行.用4階初等矩陣右乘矩陣，得右乘相當(dāng)于交換了A的2,3兩列.3、初等矩陣的性質(zhì)定理初等矩陣都是可逆的，且設(shè)A的標(biāo)準(zhǔn)形是F，

性質(zhì)2

方陣A為可逆方陣充分必要條件是存在有限個(gè)初等方陣證先證充分性.有限個(gè)可逆矩陣的乘積仍可逆，故A可逆.

設(shè)因初等矩陣可逆，再證必要性.因A可逆，

則F可逆，

那么F=E，

下面應(yīng)用初等矩陣的知識(shí)來證明定理1．定理1的證明：（1）依據(jù)的定義和初等矩陣的性質(zhì)，有A經(jīng)有限次初等行變換變成B存在有限個(gè)m階初等矩陣，使類似可證明（2）（3）存在m階可逆矩陣P，使推論

矩陣A可逆的充分必要條件是證A可逆存在可逆矩陣使說明:當(dāng)A可逆時(shí)，僅用初等行變換就可將A化成E三、