第03課不等式及其性質(zhì)(學(xué)案)_第1頁
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文檔簡介

第03課不等式及其性質(zhì)2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點逐點突破經(jīng)典學(xué)案考試要求:1.理解用作差法比較兩個實數(shù)大小的理論依據(jù).2.理解不等式的概念.3.理解不等式的性質(zhì),掌握不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用.一、【考點逐點突破】【考點1】作差法比較兩個實數(shù)的大小eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a-b>0?a>b,,a-b=0?a=b,,a-b<0?a<b.))【典例】已知M=eq\f(e2021+1,e2022+1),N=eq\f(e2022+1,e2023+1),則M,N的大小關(guān)系為________.【解析】M-N=eq\f(e2021+1,e2022+1)-eq\f(e2022+1,e2023+1)=eq\f(e2021+1e2023+1-e2022+12,e2022+1e2023+1)=eq\f(e2021+e2023-2e2022,e2022+1e2023+1)=eq\f(e2021e-12,e2022+1e2023+1)>0.∴M>N.【反思】作差法:①作差;②變形;③定號;④得出結(jié)論.【考點2】作商法比較兩個實數(shù)的大小eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1(a∈R,b>0)?a>b(a∈R,b>0),,\f(a,b)=1?a=b(a,b≠0),,\f(a,b)<1(a∈R,b>0)?a<b(a∈R,b>0).))【典例】若a=eq\f(ln3,3),b=eq\f(ln4,4),c=eq\f(ln5,5),則()A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c【解析】易知a,b,c都是正數(shù),eq\f(b,a)=eq\f(3ln4,4ln3)=log8164<1,所以a>b;eq\f(b,c)=eq\f(5ln4,4ln5)=log6251024>1,所以b>c.即c<b<a.【反思】①作商;②變形;③判斷商與1的大小關(guān)系;④得出結(jié)論.【考點3】傳遞性:a>b,b>c?a>c.【典例】(多選)設(shè)a>b>1>c>0,下列四個結(jié)論正確的是()A.eq\f(1,ac)>eq\f(1,bc)B.bac>abcC.(1-c)a<(1-c)bD.logb(a+c)>loga(b+c)【解析】由題意知,a>b>1>c>0,所以對于A,ac>bc>0,故eq\f(1,ac)<eq\f(1,bc),所以A錯誤;對于B,取a=3,b=2,c=eq\f(1,2),則bac=2eq\r(3),abc=3eq\r(2),所以bac<abc,故B錯誤;對于C,因為0<1-c<1,且a>b,所以(1-c)a<(1-c)b,故C正確;對于D,a+c>b+c>1,所以logb(a+c)>logb(b+c)>loga(b+c),故D正確.故選CD.【反思】合理利用不等式性質(zhì)【考點4】同向可加性:a>b?a+c>b+c;a>b,c>d?a+c>b+d.【典例】(多選)下列命題中,不正確的是()A.若a>b,c>d,則ac>bdB.若ac>bc,則a>bC.若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0,則|a|+b<0D.若a>b,c>d,則a-c>b-d【解析】取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A錯誤;當(dāng)c<0時,ac>bc?a<b,所以B錯誤;由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0,可知b<a<0,所以-b>-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故C正確;取a=c=2,b=d=1,可知D錯誤.故選ABD.【反思】有同向可加性,沒有同向可減性.【考點5】可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd.【典例】下列命題為真命題的是()A.若a>b,則ac2>bc2B.若a<b<0,則a2<ab<b2C.若c>a>b>0,則eq\f(a,c-a)<eq\f(b,c-b)D.若a>b>c>0,則eq\f(a,b)>eq\f(a+c,b+c)【解析】對于A選項,當(dāng)c=0時,顯然不成立,故A選項為假命題;對于B選項,當(dāng)a=-3,b=-2時,滿足a<b<0,但不滿足a2<ab<b2,故B選項為假命題;對于C選項,當(dāng)c=3,a=2,b=1時,eq\f(a,c-a)=eq\f(2,3-2)>eq\f(b,c-b)=eq\f(1,2),故C選項為假命題;對于D選項,由于a>b>c>0,所以eq\f(a,b)-eq\f(a+c,b+c)=eq\f(ab+c-ba+c,bb+c)=eq\f(ac-bc,bb+c)=eq\f(a-bc,bb+c)>0,即eq\f(a,b)>eq\f(a+c,b+c),故D選項為真命題.【反思】不等式兩邊同時乘未知數(shù)時要看正負,在選擇題中也可適當(dāng)?shù)睦觅x值.【考點6】可乘方性:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1).【典例】下列四個命題中,正確命題的個數(shù)為()①若a>|b|,則a2>b2;②若a>b,c>d,則a-c>b-d;③若a>b,c>d,則ac>bd;④若a>b>0,則eq\f(c,a)>eq\f(c,b).A.3 B.2C.1 D.0【解析】易知①正確;②錯誤,如3>2,-1>-3,而3-(-1)=4<2-(-3)=5;③錯誤,如3>1,-2>-3,而3×(-2)<1×(-3);④若a>b>0,則eq\f(1,a)<eq\f(1,b),當(dāng)c>0時,eq\f(c,a)<eq\f(c,b),故④錯誤.所以正確的命題只有1個.故選C.【反思】可乘方性簡單變換后的應(yīng)用【考點7】可開方性:a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N,n≥2).【典例】若a,b都是實數(shù),則“eq\r(a)-eq\r(b)>0”是“a2-b2>0”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】eq\r(a)-eq\r(b)>0?eq\r(a)>eq\r(b)≥0?a>b≥0?a2>b2,但a2-b2>0?eq\r(a)-eq\r(b)>0,所以“eq\r(a)-eq\r(b)>0”是“a2-b2>0”的充分不必要條件.故選A.【反思】要注意應(yīng)用的條件【考點8】若a>b>0,m>0,則eq\f(b,a)<eq\f(b+m,a+m);eq\f(b,a)>eq\f(b-m,a-m)(b-m>0).【典例】(多選)設(shè)b>a>0,c∈R,則下列不等式中正確的是()A.a(chǎn)eq\s\up6(\f(1,2))<beq\s\up6(\f(1,2)) B.eq\f(1,a)-c>eq\f(1,b)-cC.eq\f(a+2,b+2)>eq\f(a,b) D.a(chǎn)c2<bc2【解析】因為y=xeq\s\up6(\f(1,2))在(0,+∞)上是增函數(shù),所以aeq\s\up6(\f(1,2))<beq\s\up6(\f(1,2)).因為y=eq\f(1,x)-c在(0,+∞)上是減函數(shù),所以eq\f(1,a)-c>eq\f(1,b)-c.因為eq\f(a+2,b+2)-eq\f(a,b)=eq\f(2(b-a),(b+2)b)>0,所以eq\f(a+2,b+2)>eq\f(a,b).當(dāng)c=0時,ac2=bc2,所以D不成立.故選ABC.【反思】注意性質(zhì)的應(yīng)用條件【考點9】若ab>0,則a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).【典例】(多選)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0,則下列不等式正確的是()A.eq\f(1,a+b)<eq\f(1,ab) B.|a|+b>0C.a(chǎn)-eq\f(1,a)>b-eq\f(1,b) D.lna2>lnb2【解析】由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0,可知b<a<0.A中,因為a+b<0,ab>0,所以eq\f(1,a+b)<0,eq\f(1,ab)>0.故有eq\f(1,a+b)<eq\f(1,ab),即A正確;B中,因為b<a<0,所以-b>-a>0.故-b>|a|,即|a|+b<0,故B錯誤;C中,因為b<a<0,又eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0,則-eq\f(1,a)>-eq\f(1,b)>0,所以a-eq\f(1,a)>b-eq\f(1,b),故C正確;D中,因為b<a<0,根據(jù)y=x2在(-∞,0)上單調(diào)遞減,可得b2>a2>0,而y=lnx在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以lnb2>lna2,故D錯誤.故選AC.【反思】利用不等式的性質(zhì)逐個驗證.【考點10】線性代數(shù)式取值范圍【典例】已知-1<x<4,2<y<3,則x-y的取值范圍是________,3x+2y的取值范圍是________.【解析】因為-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2.由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18.【反思】同向不等式具有可加性與可乘性,但是不能相減或相除,應(yīng)用時,要充分利用所給條件進行適當(dāng)變形來求范圍,注意變形的等價性.【考點11】分數(shù)型代數(shù)式取值范圍【典例】已知3<a<8,4<b<9,則eq\f(a,b)的取值范圍是________.【解析】∵4<b<9,∴eq\f(1,9)<eq\f(1,b)<eq\f(1,4),又3<a<8,∴eq\f(1,9)×3<eq\f(a,b)<eq\f(1,4)×8,即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<2.【反思】求代數(shù)式的取值范圍,一般是利用整體思想,通過“一次性”不等關(guān)系的運算求得整體范圍.【考點12】證明不等式【典例】(1)若bc-ad≥0,bd>0,求證:eq\f(a+b,b)≤eq\f(c+d,d);(2)已知c>a>b>0,求證:eq\f(a,c-a)>eq\f(b,c-b).【解析】(1)∵bc≥ad,eq\f(1,bd)>0,∴eq\f(c,d)≥eq\f(a,b),∴eq\f(c,d)+1≥eq\f(a,b)+1,∴eq\f(a+b,b)≤eq\f(c+d,d).(2)∵c>a>b>0,∴c-a>0,c-b>0.∵a>b>0,∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b),又∵c>0,∴eq\f(c,a)<eq\f(c,b),∴eq\f(c-a,a)<eq\f(c-b,b),又c-a>0,c-b>0,∴eq\f(a,c-a)>eq\f(b,c-b).【反思】證明不等式的常用方法有:作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.【考點13】不等式的實際應(yīng)用【典例】古希臘時期,人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是eq\f(\r(5)-1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)-1,2)≈,稱為黃金分割比例)),著名的“斷臂維納斯”便是如此。此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是eq\f(\r(5)-1,2).若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是()A.165cm B.175cmC.185cm D.190cm【解析】如圖所示,依題意可知:eq\f(AC,CD)=eq\f(\r(5)-1,2),eq\f(AB,BC)=eq\f(\r(5)-1,2),①由腿長為105cm得,CD>105,AC=eq\f(\r(5)-1,2)CD,AD=AC+CD+105=,所以AD.②由頭頂至脖子下端的長度為26cm,得AB<26,BC=eq\f(AB,\f(\r(5)-1,2)),AC=AB+BC,CD=eq\f(AC,\f(\r(5)-1,2)),AC+CD+=,所以AD.綜上,169.89<AD.故選B.【反思】解決決策優(yōu)化型應(yīng)用題,首先要確定制約著決策優(yōu)化的關(guān)鍵量是哪一個,然后再尋找合理的方法解決問題.二、【考點教材拓廣】【典例1】【教材第43頁11題】已知a>b>0,【解析】證法一:假設(shè)a≤b.

由性質(zhì)7知a2≤b2,

即a≤b,這與已知a>b矛盾,

故假設(shè)不正確,從而a>b.

證法二:【典例2】【教材第43頁12題】火車站有某公司待運的甲種貨物1530t,乙種貨物1150t.現(xiàn)計劃用A,B兩種型號的貨相共50節(jié)運送這批貨物.已知35t甲種貨物和15t乙種貨物可裝滿一節(jié)A型貨廂,25t甲種貨物和35t乙種貨物可裝滿一節(jié)B型貨廂,據(jù)此安排A,B兩種貨廂的節(jié)數(shù),共有幾種方案?若每節(jié)A型貨廂的運費是0.5萬元,每節(jié)B【解析】設(shè)安排A型貨廂x節(jié),B型貨廂y節(jié).

由題意可得35x+25y≥1530,15x+35y≥1150,x+y=50,x,y∈N*,

解得28≤x≤30,

所以x=28,y=22或x=29,y=21或x=30,y=20.

所以共有三種方案,方案一:安排A型貨廂28節(jié),B型貨廂22節(jié);方案二:安排A型貨廂29節(jié),B型貨廂21節(jié);方案三:安排A型貨廂30節(jié),B型貨廂20節(jié)三、【考點真題回歸】【典例1】【2022新高考Ⅱ】(多選)若x,y滿足x2+y2﹣xy=1,則()A.x+y≤1 B.x+y≥﹣2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1【解析】由x2+y2﹣xy=1可得,x-令x-y2∴x+y=3sinθ+cosθ=2sin(θ+π6)∈[﹣2∵x2+y2=33sinθ+cosθ2+233故C對,D錯,故選:BC.【典例2】【2014四川】若a>b>A.a(chǎn)c>bdB.a(chǎn)c<【解析】∵c又a>b>【典例3】【2023·福州一?!俊?<a<b”是“a-eq\f(1,a)<b-eq\f(1,b)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】∵y=x-eq\f(1,x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均為增函數(shù),∴0<a<b時,a-eq\f(1,a)<b-eq\f(1,b),充分性成立;當(dāng)a-eq\f(1,a)<b-eq\f(1,b)時,不能推出0<a<b,例如a=1,b=-eq\f(1,2)滿足a-eq\f(1,a)<b-eq\f(1,b),但不滿足0<a<b,必要性不成立,∴“0<a<b”是“a-eq\f(1,a)<b-eq\f(1,b)”的充分不必要條件.故選A.【典例4】【2023·菏澤模擬】已知a,b,c∈(0,3),且a5=5a,b4=4b,c3=3c,下列不等式正確的是()A.a(chǎn)>b>c B.c>a>bC.c>b>a D.a(chǎn)>c>b【解析】a5=5a,即eq\f(lna,a)=eq\f(ln5,5),b4=4b,即eq\f(lnb,b)=eq\f(ln4,4),c3=3c,即eq\f(lnc,c)=eq\f(ln3,3),設(shè)f(x)=eq\f(lnx,x),則f(a)=f(5),f(b)=f(4),f(c)=f(3),f′(x)=eq\f(1-lnx,x2)(x>0),當(dāng)x>e時,f′(x)<0,f(x)=eq\f(lnx,x)單調(diào)遞減,當(dāng)0<x<e時,f′(x)>0,f(x)=eq\f(lnx,x)單調(diào)遞增,因為a,b,c∈(0,3),f(a)=f(5),f(b)=f(4),f(c)=f(3),所以a,b,c∈(0,e),因為f(5)<f(4)<f(3),所以f(a)<f(b)<f(c),a<b<c.【典例5】【2023·上海楊浦區(qū)期中】下列是“a>b”的充分不必要條件的是()A.a>b+1 B.ba>C.a2>b2 D.a3>b3【解析】A中,當(dāng)a=2,b=1時,a>b但a=b+1,必要性不成立,因為a>b+1,所以a>b,故充分性成立;B中,當(dāng)a=-2,b=-1時,滿足>1,但a<b,故充分性不成立;C中,當(dāng)a=-2,b=-1時,滿足a2>b2,但a<b,故充分性不成立;D中,當(dāng)a>b時,由不等式的基本性質(zhì)得a3>b3,故必要性成立,反之也成立.故選A.【典例6】【2023·珠海模擬】已知a,b∈R,滿足ab<0,a+b>0,a>b,則()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B.eq\f(b,a)+eq\f(a,b)>0C.

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