天津市南開中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁天津市南開中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共10小題，共50.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.cos675°的值為(

)A.22 B.?22 C.?2.在?ABC中，“sinA=sinBA.充要條件 B.充分非必要條件

C.必要非充分條件 D.既非充分又非必要條件3.函數(shù)f(x)=lnA.(0,1) B.(1,4.若tanα=3，則1A.?12 B.13 C.±5.函數(shù)f(x)=2A.偶函數(shù)，在(0,+∞)是增函數(shù) B.奇函數(shù)，在(0,+∞)是增函數(shù)

C.偶函數(shù)，在(6.已知角α的終邊上一點P(x,3)，且cosA.15 B.5 C.?15 D.7.設(shè)a=log36，b=A.a+b?3(a?1)8.若3sinx?3cosx=A.2π3 B.5π6 C.9.函數(shù)f(x)=cosA.

B.

C.

D.10.將函數(shù)f(x)=sinx的圖像先向右平移π3個單位，再把所得函數(shù)圖像橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω(ω>0)A.(0,1] B.0,2二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）11.已知集合A=?xlog2x≤112.函數(shù)f(x)=x13.已知a>0,b>0,14.已知函數(shù)y=sin(ωx+φ)15.天津之眼，全稱天津永樂橋摩天輪，是世界上唯一一個橋上瞰景的摩天輪．如圖，已知天津之眼的半徑是55m，最高點距離地面的高度為120m，開啟后按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每30min轉(zhuǎn)動一圈．喜歡拍照的南鳶同學(xué)想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距離地面最近的艙位進(jìn)艙．已知在距離地面超過92.5m的高度可以拍到最美的景色，則在天津之眼轉(zhuǎn)動一圈的過程中，南鳶同學(xué)可以拍到最美景色的時間是16.已知函數(shù)f(x)=x2+(3?a三、解答題（本大題共3小題，共36.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題12.0分)(1)計算：(2)已知sinα+18.(本小題12.0分)已知函數(shù)f((1(2)當(dāng)x∈?19.(本小題12.0分)已知函數(shù)f(x)(1)求函數(shù)(2)判斷函數(shù)(3)是否存在實數(shù)a，使得當(dāng)x∈[m,n]時，答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本題考查誘導(dǎo)公式，屬于較易題．

利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計算可得．【解答】解：

cos675°故選：A．2.【答案】A

【解析】【分析】本題考查充分必要條件的判斷．

結(jié)合三角形內(nèi)角與充分、必要條件的知識確定正確選項．【解答】解：在

?ABC

中，

所以

，所以在

?ABC

中，“

sinA=sin故選：A3.【答案】B

【解析】【分析】本題考查函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷．

首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點存在定理判斷即可．【解答】解：因為

f(x)=lnx?1x2

定義域為

(0,+∞)

，

且

f(x)=lnx?1x2

在

(0,+∞)

上單調(diào)遞增，

又

f(1)=ln1故選：B4.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)的二倍角公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系等，屬于基礎(chǔ)題．

由tanα【解答】

解：由tanα=sinαcosα=3，

結(jié)合二倍角公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系，5.【答案】B

【解析】【分析】本題考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．

利用奇偶性定義判斷

f(x)

的奇偶性，根據(jù)解析式結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷

【解答】解：由

f(?x)=2?x?又

y=2x

是增函數(shù)，

∴

f(x故選：B．6.【答案】B

【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

由三角函數(shù)的定義可列方程解出

x

，需注意

x

的范圍．【解答】解：由三角函數(shù)定義

cosα=解得

x=±5

，由cosα>0

，知x故選：B．7.【答案】D

【解析】【分析】本題考查對數(shù)的運算，屬于中檔題．

根據(jù)題意可得a=log36=【解答】

解：依題意得a=log36=1+log32，b=1+8.【答案】D

【解析】【分析】本題考查正弦型函數(shù)性質(zhì)，涉及輔助角公式．

化簡已知條件，結(jié)合0<φ<2π【解答】解：依題意

3sinx233所以

φ=-π6+2k由于

0<φ<2π

故選：D9.【答案】D

【解析】【分析】本題考查函數(shù)圖像的識別．

先判斷奇偶性排除C，再利用

f(0)=1

【解答】解：因為函數(shù)f(x)的定義域為R，且

f(?x)=因為

f(0)=當(dāng)

x>0

時，

f(x)=當(dāng)

0<x<3π4

時，

f′(x)<0

故選：D．10.【答案】C

【解析】【分析】本題考查函數(shù)y=根據(jù)y=Asin(ω【解答】解：函數(shù)f(x)=sin再將圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω(ω>0得到函數(shù)g(x)=sin由x∈π2若函數(shù)g(x)在(則(∴

3ωπ2?π3又kπ≤ω當(dāng)k=0時，解23≤ω≤8∴ω故選C．11.【答案】1,【解析】【分析】本題考查集合交集運算，屬于基礎(chǔ)題．

由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，求出集合A，再根據(jù)交集的定義即可求解．【解答】解：

∵A=?xlog2∴A∩故答案為：

1,212.【答案】3

【解析】【分析】本題主要考查了分段函數(shù)的零點，屬于基礎(chǔ)題．

分段分別求出f(x)【解答】

解：當(dāng)x≥0時，f(x)=x2?2x，

令x2?2x=0得，x=2或x=0，

當(dāng)x<0時，f13.【答案】

94【解析】【分析】本題考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．

利用基本不等式中“1”的妙用即可求解．【解答】解：因為

a>0所以

a+4b=141a+1b(所以

a+4b

的最小值為

故答案為：

94

14.【答案】

?π【解析】【分析】本題考查正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

由圖象可得最小正周期

T

的值，進(jìn)而可得

ω

，又函數(shù)圖象過點

π3,1

，利用

【解答】解：由圖可知

T4=7π12?π3=π4

，因為

ω>因為函數(shù)

y=sin(2x+φ)所以

sin2×π3+φ所以

φ=-π故答案為：

?π615.【答案】10

【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，屬于中檔題．

借助三角函數(shù)模型，設(shè)

H=Asin(ωt+φ)+k

，以軸心

【解答】解：如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點

P

，

以軸心

O

為原點，與地面平行的直線為

x

軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)

t=0min

時，南鳶同學(xué)位于點

P(0,-55)

，以根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要

30min

，可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為

π15由題意，可得

H=55sinπ15t令

H=-55cosπ15t+65≥92所以南鳶同學(xué)可以拍到最美景色的時間是

20?10故答案為：10．16.【答案】[1【解析】【分析】本題考查分段函數(shù)與不等式綜合，屬于中檔題．

原問題等價于

x≥1

時，

x?lna≥0

恒成立和

【解答】解：由題意，因為

?x∈R

，不等式

所以

x≥1

時，

x?lna≥0

恒成立，即

x<1

時，

x2+(3令

1?x=t(t>0由對勾函數(shù)的單調(diào)性知

y=-t+4t+5

在

所以

t=2

時，

?t+4t+5max=?2+42+5=1

，所以故答案為：

[17.【答案】解：(1)依題意，=sin=sin30(2)將

sinα+2cos即

1+2sin2α+所以

tan2α

【解析】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角恒等變換，屬于中檔題．

(1(218.【答案】解：(1)依題意，

f則

T=2π2=π

，由

2所以函數(shù)

f(x)

的最小正周期為

π

，對稱軸方程為

(2)由(1)知，因

?π3而正弦函數(shù)

y=sinx

在

[-5π6由

?5π6≤2x?π6≤?π2

因此f(x)

在

[-π3,-f(x)min=f(?π6所以函數(shù)

f(x)

的單調(diào)遞減區(qū)間是

[-π3,-

【解析】本題考查三角恒等變換以及正弦型函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題．

(1)利用倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)

f(2)確定函數(shù)

f19.【答案】解：(1)由題意知要使

F(x)

有意義，則有3?所以函數(shù)的定義域為：

x(2)由(1)知函數(shù)F(F∴

函數(shù)

F(x)

為

(3)

F假設(shè)存在這樣的