北理電路分析基礎(chǔ) 第五章

電路分析基礎(chǔ)

電容和電感元件的伏安關(guān)系都涉及對(duì)電流、電壓的微分或積分，我們稱這兩種元件為動(dòng)態(tài)元件。至少包含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件的電路稱為動(dòng)態(tài)電路。任何一個(gè)電路不是電阻電路便是動(dòng)態(tài)電路。

KVL、KCL只取決于電路的聯(lián)接方式即電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，因而無(wú)論是電阻電路還是動(dòng)態(tài)電路都要服從這一規(guī)律。

電容中電荷建立的電場(chǎng)存儲(chǔ)著能量，電容器是一種貯能元件；電容器通過(guò)存貯電荷形成電場(chǎng)建立電壓，理想電容器應(yīng)是一種電荷與電壓相約束的器件。

電容元件的定義一個(gè)二端元件，如果在任一時(shí)刻t，它的電荷q(t)同它的端電壓u(t)之間的關(guān)系可以用u－q平面上的一條曲線來(lái)確定，則此二端元件稱為電容器。圖5-1

電容元件的符號(hào)u(t)i(t)q(t)

如果u－q平面上的特性曲線是一條通過(guò)原點(diǎn)的直線。且不隨時(shí)間而變，則此電容元件稱為線性非時(shí)變電容元件，亦即

式中C為正常數(shù)，它是度量特性曲線斜率的，稱為電容。在國(guó)際單位制中電容C的單位是法拉F(安?秒/伏)。(5-1)OuqC

1在圖示的參考方向下我們有(5-2)(5-3)若u和i為非關(guān)聯(lián)方向則(5-5)(5-4)圖5-1電容的符號(hào)對(duì)(5-4)式積分可得(5-6)(5-7)

例5-1

電容與電壓源相接如圖5-2(a)所示，電壓源電壓隨時(shí)間按三角波方式變化如圖(b)，求電容電流。

圖5-2線性電容對(duì)三角波電壓源的響應(yīng)圖5-2線性電容對(duì)三角波電壓源的響應(yīng)圖5-3

線性電容對(duì)三角波電流源的響應(yīng)例5-2

電容與一電流源相接，如圖5-3(a)，電流波形如圖(b)中所示，試求電容電壓。設(shè)u(0)＝0。

思考題

5-1

一個(gè)1F的電容，在某一時(shí)刻，其兩端的電壓為10v，能否算出該時(shí)刻的電流是多少？為什么？如果已知電壓為u=5t2，且在某一時(shí)刻的瞬時(shí)值為10v，結(jié)果又如何？

5-2(1)試根據(jù)例5-1中分析所得的，在t＝0、0.25、0.5、0.75、1、1.25ms時(shí)的一組u和i的數(shù)據(jù)，繪出該電容的u－i特性曲線草圖；

(2)試根據(jù)例5-2分析結(jié)果，重復(fù)(1)；

(3)同為一個(gè)1μF的電容，(1)、(2)結(jié)果是否相同？

設(shè)有一個(gè)1F的電容，求在下列各種電壓波形作用時(shí)的伏安特性曲線；

(1)u＝10sintV；(2)u=10etV；(3)u＝10V。試判斷下列各種說(shuō)法是否正確：

(1)一個(gè)線性時(shí)不變電容可以用唯一的一條伏安特性曲線來(lái)表征；

(2)一個(gè)線性時(shí)不變電容可以用唯一的一條

u－q特性曲線來(lái)表征；

(3)一個(gè)線性時(shí)不變電容可以用唯一的一條特性曲線來(lái)表征。電容的VCR

反映了電容的兩個(gè)重要性質(zhì)，即電容電壓的連續(xù)性和記憶性。

圖5-6

1μF電容的電流及電壓波形

246

80

-5

10

i(mA)

t(ms)

24

68020

u(V)t(ms)

若電容電流i(t)在閉區(qū)間[ta,tb]內(nèi)有界，則電容電壓uC(t)在開(kāi)區(qū)間(ta,tb)內(nèi)為連續(xù)的。特別對(duì)任何時(shí)間t且ta

<t<tb,有(5-8)(5-10)

設(shè)電容的初始電壓u(t0)=U0(圖5-7a)，由(5-7)式可得

圖5-7

具有初始電壓U0的電容(圖a)及其等效電路(圖b)

+uC(t)

-i(t)CuC(t0)=U0(a)

a

b(b)+

-＋

u1(t)－C

＋U0－uC(t)

a

bi(t)u1(t0)=0

電容C在某一時(shí)刻貯能只與該時(shí)刻t的電壓有關(guān),即

設(shè)在t1到t2期間對(duì)電容C充電，電容電壓為u(t)，電流為i(t)，則在此期間供給電容的能量為(5-13)(5-14)圖5-11

電感線圈及其磁通線

一個(gè)二端元件，如果在任一時(shí)刻t，它的電流i(t)同它的磁鏈Ψ(t)之間的關(guān)系可以用i－Ψ平面上的一條曲線來(lái)確定，則此二端元件稱為電感元件。i

如果i－Ψ平面上的特性曲線是一條通過(guò)原點(diǎn)的直線，且不隨時(shí)間而變，則此電感元件稱為線性非時(shí)變電感元件，亦即(5-15)式中L為正常數(shù)，它是度量特性曲線斜率的，稱為電感。國(guó)際單位制中L的單位是亨利H(韋伯/安)。oiL

1Ψ

當(dāng)電壓的參考方向與磁鏈的參考方向符合右手螺旋法則時(shí)，即電壓和電流在關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，則有(5-16)

(5-17)電壓與電流為非關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)圖5-12電感的符號(hào)對(duì)(5-17)式積分可得(5-18)(5-19)

電感電流和電感上所加的電壓全部歷史有關(guān)，采用初始電流i(t0)來(lái)反映t0以前所加電壓的所有情況。思考題

5-7

試標(biāo)出圖5-14所示電路中開(kāi)關(guān)S打開(kāi)瞬間，電感兩端電壓的極性。圖5-14

思考題5-7

根據(jù)對(duì)偶性可得電感電流具有連續(xù)性和記憶性。若電感電壓u(t)在閉區(qū)間[ta,tb]內(nèi)有界，則電感電流iL(t)在開(kāi)區(qū)間(ta,tb)內(nèi)為連續(xù)的。特別對(duì)任何時(shí)間t且ta<t<tb，有(5-21)(5-22)

具有初始電流I0的電感，在t≥t0時(shí)可以等效成一個(gè)初始電流為零的電感和一個(gè)電流值為I0的電流源并聯(lián)的電路，如圖圖5-15

具有初始電流I0的電感(圖a)及其等效電路(圖b)iL(t)

+-(a)u(t)LiL(t0)=I0ab

+

-(b)u(t)iL(t)I0Li1(t0)=0i1(t)ab

狀態(tài)