湖南省長沙市明德旗艦2024屆九年級數學第一學期期末綜合測試試題含解析

湖南省長沙市明德旗艦2024屆九年級數學第一學期期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．下列關系式中，是反比例函數的是（）A． B． C． D．2．小明沿著坡度為的山坡向上走了，則他升高了（）A． B． C． D．3．如圖，直線l1∥l2∥l3，兩條直線AC和DF與l1，l2，l3分別相交于點A、B、C和點D、E、F，則下列比例式不正確的是（）A． B． C． D．4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠C＝60°，則∠AOB的度數是（）A．30° B．60° C．120° D．150°5．若是一元二次方程的兩個實數根，則的值為（）A． B． C． D．6．下列事件中是隨機事件的是()A．校運會上立定跳遠成績?yōu)?0米B．在只裝有5個紅球的袋中，摸出一個紅球C．慈溪市明年五一節(jié)是晴天D．在標準大氣壓下，氣溫3°C時，冰熔化為水7．拋物線y＝﹣（x+1）2﹣3的頂點坐標是（）A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，則tanA的值為A． B． C． D．9．方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．無實數根 D．只有一個實數根10．如圖,在菱形ABCD中,AB=5,對角線AC=6.若過點A作AE⊥BC,垂足為E,則AE的長為()A．4 B．2.4 C．4.8 D．511．如圖，已知⊙O的直徑為4，∠ACB＝45°，則AB的長為（）A．4 B．2 C．4 D．212．下列式子中，為最簡二次根式的是（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，點在反比例函數的圖象上，過點作AB⊥軸，AC⊥軸，垂足分別為點，若，，則的值為____．14．請將二次函數改寫的形式為_________________.15．拋物線y＝﹣（x+）2﹣3的頂點坐標是_____．16．方程x2+2x+m=0有兩個相等實數根，則m=___________．17．如圖，分別以正三角形的3個頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，三段弧圍成的圖形稱為萊洛三角形．若正三角形邊長為6cm，則該萊洛三角形的周長為_____cm．18．如圖所示，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，點E在BC上，BE＝1，△ABE繞點A逆時針旋轉后得到△ADF，則FE的長等于____________.三、解答題（共78分）19．（8分）為響應市政府“創(chuàng)建國家森林城市”的號召，某小區(qū)計劃購進A，B兩種樹苗共17棵，已知A種樹苗每棵80元，B種樹苗每棵60元。設購進A種樹苗x棵，購買兩種樹苗的總費用為w元。（1）寫出w（元）關于x（棵）的函數關系式；（2）若購買B種樹苗的數量少于A種樹苗的數量，請你給出一種費用最省的方案，并求出該方案所需費用。20．（8分）如圖，拋物線y=ax2+bx+4(a≠0)與軸交于點B(－3，0)和C(4，0)與軸交于點A．(1)a=，b=；(2)點M從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿AB向B運動，同時，點N從點B出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿BC向C運動，當點M到達B點時，兩點停止運動．t為何值時，以B、M、N為頂點的三角形是等腰三角形？(3)點P是第一象限拋物線上的一點，若BP恰好平分∠ABC，請直接寫出此時點P的坐標．21．（8分）如圖，拋物線經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，連接BD，點H為BD的中點．請解答下列問題：（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）在y軸上找一點P，使PD+PH的值最小，則PD+PH的最小值為22．（10分）有一輛寬為的貨車（如圖①），要通過一條拋物線形隧道（如圖②）．為確保車輛安全通行，規(guī)定貨車車頂左右兩側離隧道內壁的垂直高度至少為．已知隧道的跨度為，拱高為．（1）若隧道為單車道，貨車高為，該貨車能否安全通行？為什么？（2）若隧道為雙車道，且兩車道之間有的隔離帶，通過計算說明該貨車能夠通行的最大安全限高．23．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點M是BC的中點．（1）在AM上求作一點E，使△ADE∽△MAB（尺規(guī)作圖，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，求AE的長．24．（10分）已知二次函數的圖象如圖所示．（1）求這個二次函數的表達式；（2）當﹣1≤x≤4時，求y的取值范圍．25．（12分）如圖，AB、BC、CD分別與⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．連接OB、OC，延長CO交⊙O于點M，過點M作MN∥OB交CD于N．（1）求證：MN是⊙O的切線；（2）當OB＝6cm，OC＝8cm時，求⊙O的半徑及MN的長．26．為了創(chuàng)建文明城市，增強學生的環(huán)保意識．隨機抽取8名學生，對他們的垃圾分類投放情況進行調查，這8名學生分別標記為，其中“√”表示投放正確，“×”表示投放錯誤，統(tǒng)計情況如下表．學生垃圾類別廚余垃圾√√√√√√√√可回收垃圾√×√××√√√有害垃圾×√×√√××√其他垃圾×√√××√√√（1）求8名學生中至少有三類垃圾投放正確的概率；（2）為進一步了解垃圾分類投放情況，現從8名學生里“有害垃圾”投放錯誤的學生中隨機抽取兩人接受采訪，試用標記的字母列舉所有可能抽取的結果．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【解題分析】根據反比例函數、一次函數、二次函數的定義可得答案．【題目詳解】解：y=2x-1是一次函數，故A錯誤；是反比例函數，故B正確；

y=x2是二次函數，故C錯誤；是一次函數，故D錯誤；

故選：B．【題目點撥】此題考查反比例函數、一次函數、二次函數的定義，解題關鍵在于理解和掌握反比例函數、一次函數、二次函數的意義．2、A【分析】根據題意作出圖形，然后根據坡度為1：2，設BC=x，AC=2x，根據AB=1000m，利用勾股定理求解．【題目詳解】解：根據題意作出圖形，∵坡度為1：2，∴設BC=x，AC=2x，∴，∵AB=1000m，∴，解得：，故選A.【題目點撥】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據坡度構造直角三角形然后求解．3、D【解題分析】試題分析：根據平行線分線段成比例定理，即可進行判斷.解：∵l1∥l2∥l3，∴，，，.∴選項A、B、C正確，D錯誤.故選D.點睛：本題是一道關于平行線分線段成比例的題目，掌握平行線分線段成比例的相關知識是解答本題的關鍵4、C【分析】根據圓周角定理即可得到結論．【題目詳解】∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°，故選：C．【題目點撥】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．5、C【分析】由一元二次方程根與系數的關系可得x1+x2=-3，x1·x2=2，利用完全平方公式即可求出答案．【題目詳解】∵是一元二次方程的兩個實數根，∴x1+x2=-3，x1·x2=2，∴=(x1+x2)2-2x1·x2=9-4=5，故選：C．【題目點撥】本題考查一元二次方程根與系數的關系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數根為，那么x1+x2=，x1·x2=，熟練掌握韋達定理是解題關鍵．6、C【分析】根據隨機事件的定義，就是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件進行判斷即可．【題目詳解】解：A．“校運會上立定跳遠成績?yōu)?0米”是不可能事件，因此選項A不符合題意；B．“在只裝有5個紅球的袋中，摸出一個紅球”是必然事件，因此選項B不符合題意；C．“慈溪市明年五一節(jié)是晴天”可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機事件，因此選項C符合題意；D．“在標準大氣壓下，氣溫3°C時，冰熔化為水”是必然事件，因此選項D不符合題意；故選：C．【題目點撥】本題考查了隨機事件、必然事件、不可能事件的定義，理解隨機事件的定義是解題的關鍵．7、D【解題分析】根據二次函數頂點式解析式寫出頂點坐標即可．【題目詳解】解：拋物線y＝﹣（x+1）2﹣3的頂點坐標是（﹣1，﹣3）．故選：D．【題目點撥】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握利用頂點式解析式寫出頂點坐標的方法是解題的關鍵．8、D【分析】利用勾股定理即可求得BC的長，然后根據正切的定義即可求解．【題目詳解】根據勾股定理可得：BC＝∴tanA＝．故選：D．【題目點撥】本題考查了勾股定理和三角函數的定義，正確理解三角函數的定義是關鍵．9、C【分析】把a=1，b=-1，c=3代入△=b2-4ac進行計算，然后根據計算結果判斷方程根的情況．【題目詳解】∵a=1，b=-1，c=3，∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×3=-11＜0，所以方程沒有實數根．故選C．【題目點撥】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b2-4ac．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程沒有實數根．10、C【分析】連接BD，根據菱形的性質可得AC⊥BD，AO=AC，然后根據勾股定理計算出BO長，再算出菱形的面積，然后再根據面積公式BC?AE=AC?BD可得答案．【題目詳解】連接BD，交AC于O點，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，∴∴∵AC=6，∴AO=3，∴∴DB=8，∴菱形ABCD的面積是∴BC?AE=24，故選C.11、D【分析】連接OA、OB，根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半，即可求出∠AOB＝90°，再根據等腰直角三角形的性質即可求出AB的長.【題目詳解】連接OA、OB，如圖，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴△AOB為等腰直角三角形，∴AB＝OA＝2．故選：D．【題目點撥】此題考查的是圓周角定理和等腰直角三角形的性質，掌握同弧所對的圓周角是圓心角的一半是解決此題的關鍵.12、B【分析】利用最簡二次根式定義判斷即可．【題目詳解】A、原式，不符合題意；B、是最簡二次根式，符合題意；C、原式，不符合題意；D、原式，不符合題意；故選B．【題目點撥】此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式是解本題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】求出點A坐標，即可求出k的值.【題目詳解】解：根據題意，設點A的坐標為（x，y），∵，，AB⊥軸，AC⊥軸，∴點A的橫坐標為：；點A的縱坐標為：；∵點A在反比例函數的圖象上，∴；故答案為：.【題目點撥】本題考查了待定系數法求反比例函數解析式，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數圖象上點的坐標特征．14、【分析】利用配方法先提出二次項系數，再加上一次項系數的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂點式．【題目詳解】解：；故答案為：.【題目點撥】本題考查了二次函數解析式的三種形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）；（2）頂點式：y=a（x-h）2+k；（3）交點式（與x軸）：y=a（x-x1）（x-x2）．15、（﹣，﹣3）【分析】根據y＝a（x﹣h）2+k的頂點是（h，k），可得答案．【題目詳解】解：y＝﹣（x+）2﹣3的頂點坐標是（﹣，﹣3），故答案為：（﹣，﹣3）．【題目點撥】本題考查了拋物線頂點坐標的問題，掌握拋物線頂點式解析式是解題的關鍵．16、1【分析】當△=0時，方程有兩個相等實數根.【題目詳解】由題意得：△=b2-4ac=22-4m=0，則m=1.故答案為1.【題目點撥】本題考察了根的判別式與方程根的關系.17、6π【分析】直接利用弧長公式計算即可.【題目詳解】利用弧長公式計算：該萊洛三角形的周長（cm）故答案為6π【題目點撥】本題考查了弧長公式，熟練掌握弧長公式是解題關鍵.18、2【分析】由題意可得EC=2，CF=4，根據勾股定理可求EF的長．【題目詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=1．∵△ABE繞點A逆時針旋轉后得到△ADF，∴DF=BE=1，∴CF=CD+DF=1+1=4，CE=BC﹣BE=1﹣1=2．在Rt△EFC中，EF．【題目點撥】本題考查旋轉的性質，正方形的性質，勾股定理，熟練運用這些性質解決問題是本題的關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）w＝20x＋1020；（2）費用最省方案為：購進A種樹苗9棵，B種樹苗8棵，所需費用為1200元．【分析】（1）根據題意可得等量關系：費用W＝A種樹苗a棵的費用＋B種樹苗（17?a）棵的費用可得函數關系式；（2）根據一次函數的性質與不等式的性質得到當x=9時，w有最小值．【題目詳解】解：(1)w=80x＋60(17－x)＝20x＋1020(2)∵k=20>0，w隨著x的增大而增大又∵17－x＜x，解得x＞8.5，∴8.5<x<17,且x為整數∴當x=9時，w有最小值20×9＋1020＝1200(元)答：費用最省方案為：購進A種樹苗9棵，B種樹苗8棵，所需費用為1200元．【題目點撥】此題主要考查了一次函數和一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系與不等關系，列出函數關系式進行求解．20、（1），；(2)；(3)【解題分析】（1）直接利用待定系數法求二次函數解析式得出即可；（2）分三種情況：①當BM=BN時，即5-t=t，②當BM=NM=5-t時，過點M作ME⊥OB，因為AO⊥BO，所以ME∥AO，可得：即可解答；③當BE=MN=t時，過點E作EF⊥BM于點F，所以BF=BM=（5-t），易證△BFE∽△BOA，所以即可解答；（3）設BP交y軸于點G，過點G作GH⊥AB于點H，因為BP恰好平分∠ABC，所以OG=GH，BH=BO=3，所以AH=2，AG=4-OG，在Rt△AHG中，由勾股定理得：OG=，設出點P坐標，易證△BGO∽△BPD，所以，即可解答.【題目詳解】解：解：（1）∵拋物線過點B(－3，0)和C(4，0)，

∴，

解得：；（2）∵B(－3，0)，y=ax2+bx+4，∴A(0，4)，0A=4，OB=3，在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB=5，t秒時，AM=t，BN=t，BM=AB-AM=5-t，①如圖：當BM=BN時，即5-t=t，解得：t=;,②如圖，當BM=NM=5-t時，過點M作ME⊥OB，因為BN=t，由三線合一得：BE=BN=t，又因為AO⊥BO，所以ME∥AO，所以，即，解得：t=；③如圖：當BE=MN=t時，過點E作EF⊥BM于點F，所以BF=BM=（5-t），易證△BFE∽△BOA，所以，即，解得：t=.(3)設BP交y軸于點G，過點G作GH⊥AB于點H，因為BP恰好平分∠ABC，所以OG=GH，BH=BO=3，所以AH=2，AG=4-OG，在Rt△AHG中，由勾股定理得：OG=，設P（m，-m2+m+4），因為GO∥PD，∴△BGO∽△BPD，∴，即，解得：m1=，m2=-3(點P在第一象限，所以不符合題意，舍去)，m1=時，-m2+m+4=故點P的坐標為【題目點撥】本題考查用待定系數法求二次函數解析式，還考查了等腰三角形的判定與性質、相似三角形的性質和判定.21、（1）

，D（1，4）；（2）PD+PH最小值【分析】（1）根據題意把已知兩點的坐標代入，求出b、c的值，就可以確定拋物線的解析式，配方或用公式求出頂點坐標；（2）由題意根據B、D兩點的坐標確定中點H的坐標，作出H點關于y軸的對稱點點H′，連接H′D與y軸交點即為P，求出H′D即可.【題目詳解】解：（1）∵拋物線過點A（-1，0），B（3，0）,∴,解得,∴所求函數的解析式為：,化為頂點式為：=-（x-1）2+4，∴頂點D（1，4）;（2）∵B（3，0），D（1，4）,∴中點H的坐標為（2，2）其關于y軸的對稱點H′坐標為（-2，2）,連接H′D與y軸交于點P，則PD+PH最小且最小值為：.【題目點撥】本題考查用待定系數法確定二次函數的解析式和最短路徑的問題，熟練掌握待定系數法是關鍵．22、（1）貨車能安全通行，理由見解析；（2）最大安全限高為2.29米【分析】（1）根據跨度求出點B的坐標，然后設拋物線頂點式形式y(tǒng)=ax2+4，然后把點B的坐標代入求出a的值，即可得解；

（2）根據車的寬度為2，求出x=2.2時的函數值，再根據限高求出貨車的最大限制高度即可．【題目詳解】（1）貨車能安全通行．∵隧道跨度為8米，隧道的頂端坐標為（O，4），

∴A、B關于y軸對稱，

∴OA=OB=AB=×8=4，

∴點B的坐標為（4，0），

設拋物線頂點式形式y(tǒng)=ax2+4，

把點B坐標代入得，16a+4=0，

解得a=-，

所以，拋物線解析式為y=-x2+4（-4≤x≤4）；由可得，．∵，∴貨車能夠安全通行．答：貨車能夠安全通行．

（2）當時，=2.1．∵，∴貨車能夠通行的最大安全限高為2．29米．答：貨車能夠通行的最大安全限高為2．29米．【題目點撥】本題考查了二次函數的應用，主要利用了二次函數的圖象的對稱性，待定系數法求二次函數解析式，以及二次函數圖象上點的坐標特征，比較簡單．23、（1）過D作DE⊥AM于E，△ADE即為所求；見解析；（2）AE＝．【分析】（1）根據題意作出圖形即可；（2）先根據矩形的性質，得到AD∥BC，則∠DAE＝∠AMB，又由∠DEA＝∠B，根據有兩角對應相等的兩三角形相似，即可證明出△DAE∽△AMB，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求出DE的長，根據勾股定理即可得到結論．【題目詳解】解：（1）過D作DE⊥AM于E，△ADE即為所求；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AMB，又∵∠DEA＝∠B＝90°，∴△DAE∽△AMB，∴DE：AD＝AB：AM，∵M是邊BC的中點，BC＝6，∴BM＝3，又∵AB＝4，∠B＝90°，∴AM＝5，∴DE：6＝4：5，∴DE＝，∴AE＝＝＝．【題目點撥】考核知識點：相似三角形判定和性質.根據相似三角形判定和性質求出線段比，利用勾股定理進一步求解是關鍵.24、（1）y＝﹣（x﹣2）2+1；（2）﹣≤y≤1．【分析】（1）設頂點式y(tǒng)＝a（x﹣2）2+1，然后把（0,1）代入求出a即可得到拋物線解析式；（2）分別計算自變量為﹣1和1對應的函數值，然后根據二次函數的性質解決問題．【題目詳解】解：（1）設拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+1，把（0,1）代入得1a+1＝1，解得a＝﹣，所以拋物線解析式為y＝-（x﹣2）2+1．（2）當x＝﹣1時，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣；當x＝1時，y＝﹣（1﹣2）2+1＝1，∴當-1≤x≤2時，﹣≤y≤1；當2≤x≤1時，1≤y≤1所以當﹣1≤x≤1時，y的取值范圍為﹣≤y≤1．【題目點撥】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式和二次函數的性質．在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方