材料力學(xué)第07章 受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)

中北大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系第七章受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念第二節(jié)細(xì)長壓桿的臨界壓力第三節(jié)臨界應(yīng)力總圖第四節(jié)壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)第五節(jié)提高壓桿穩(wěn)定性的措施總結(jié)與討論第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念在第三章討論桿件軸向拉伸和壓縮的強(qiáng)度計(jì)算中，對于受壓桿件，當(dāng)最大壓應(yīng)力達(dá)到極限應(yīng)力（屈服極限或強(qiáng)度極限）時(shí)，會發(fā)生強(qiáng)度失效（出現(xiàn)塑性變形或破裂）。只要其最大壓應(yīng)力小于或等于許用應(yīng)力，即滿足強(qiáng)度條件時(shí)，桿件就能安全正常工作。然而，在實(shí)際工程中的一些細(xì)長桿件受壓時(shí)，桿件可能發(fā)生突然彎曲，進(jìn)而產(chǎn)生很大的彎曲變形而導(dǎo)致最后折斷，而桿件的壓應(yīng)力卻遠(yuǎn)低于屈服極限或強(qiáng)度極限。顯然，此時(shí)桿件的失效不是由于強(qiáng)度不夠而引起的，而是與桿件在一定壓力作用下突然彎曲，不能保持其原有的平衡形態(tài)有關(guān)。我們把構(gòu)件在外力作用下保持其原有平衡形態(tài)的能力稱為構(gòu)件的穩(wěn)定性（stability）。受壓直桿在壓力作用下保持其直線平衡形態(tài)的能力稱為壓桿的穩(wěn)定性?？梢?，細(xì)長壓桿的失效是由于桿件喪失穩(wěn)定性而引起的，屬于穩(wěn)定性失效（failurebyloststability）。工程實(shí)際中，有許多受壓桿件。如汽車起重機(jī)起重臂的支承桿（圖7.1），在起吊重物時(shí)，該支承桿就受到壓力作用。再如，建筑工地上所使用的腳手架（圖7.2），可以簡化為桁架結(jié)構(gòu)，其中大部分豎桿要承受壓力作用。同樣，機(jī)床絲杠、起重螺旋（千斤頂）、各種受壓桿件在壓力作用下都有可能存在喪失穩(wěn)定而失效的問題。圖7.1起重機(jī)圖7.2腳手架1穩(wěn)定平衡的概念深入研究構(gòu)件的平衡狀態(tài)，不難發(fā)現(xiàn)其平衡狀態(tài)可能是穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的。當(dāng)載荷小于一定的數(shù)值時(shí)，處于平衡的構(gòu)件，受到一微小的干擾力后，構(gòu)件會偏離原平衡位置，而干擾力解除以后，又能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，這種平衡稱為穩(wěn)定平衡。當(dāng)載荷大于一定的數(shù)值時(shí)，處于平衡狀態(tài)的構(gòu)件受到干擾后，偏離原平衡位置，干擾力去除后，不能回到原平衡狀態(tài)時(shí)，這種平衡稱為不穩(wěn)定平衡。而介于穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡之間的臨界狀態(tài)稱為隨遇平衡。如圖7-3所示。穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡圖7-3平衡形態(tài)當(dāng)壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，在任意微小的外界擾動(dòng)下，都會轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降钠胶鉅顟B(tài)，這種過程稱為屈曲(buckling)或失穩(wěn)(loststability)。很多情形下，屈曲將導(dǎo)致構(gòu)件失效，這種失效稱為屈曲失效(failurebybuckling)。由于屈曲失效往往具有突發(fā)性，常常會產(chǎn)生災(zāi)難性后果，因此工程設(shè)計(jì)中需要認(rèn)真加以考慮。如20世紀(jì)初，享有盛譽(yù)的美國橋梁學(xué)家?guī)彀兀═heodoreCooper）在加拿大離魁北克城14.4公里，圣勞倫斯河上建造長548米的魁北克大橋(QuebecBridge)，不幸的是，1907年8月29日，該橋發(fā)生穩(wěn)定性破壞（圖7-4），災(zāi)變發(fā)生在當(dāng)日收工前15分鐘，85位工人死亡，原因是在施工中懸臂桁架西側(cè)的下弦桿有二節(jié)失穩(wěn)所致，成為上世紀(jì)十大工程慘劇之一。圖7-4魁北克大橋2臨界壓力的概念（a）（b）（c）（d）（e）圖7-5不同載荷作用下壓桿的平衡形態(tài)現(xiàn)以圖7.5（a）所示一端固定一端自由細(xì)長壓桿來說明壓桿的穩(wěn)定性。若壓桿為中心受壓的理想直桿，即假設(shè)：桿是絕對直桿，無初曲率；壓力與桿的軸線重合，無偏心；材料絕對均勻。則在壓力的作用下，無論壓力有多大，也沒有理由往旁邊彎曲。當(dāng)壓力很小時(shí)，壓桿能夠保持平衡狀態(tài)，此時(shí)加一微小側(cè)向干擾力，桿發(fā)生輕微彎曲，在新的位置重新處于平衡狀態(tài)，如圖7-5（b）。若解除干擾力，則壓桿重新回到原直線平衡狀態(tài)，如圖7-5（c），因此，壓桿原直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。上述由穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的壓力的臨界值稱為臨界壓力（或臨界載荷）（criticalload），用Fcr表示。顯然，研究壓桿穩(wěn)定問題的關(guān)鍵是確定壓桿的臨界壓力值。桿件失去了保持其原有直線平衡狀態(tài)的能力，稱為喪失穩(wěn)定，簡稱失穩(wěn)，或屈曲。當(dāng)壓力逐漸增加到某一極限值，壓桿仍保持其直線平衡狀態(tài)，在受到一側(cè)向干擾力后，桿發(fā)生微小彎曲，但去掉干擾力后，桿不能回到原直線平衡狀態(tài)，而是在微小彎曲曲線狀態(tài)下保持平衡，如圖7-5（d），則壓桿原平衡狀態(tài)是隨遇平衡狀態(tài)。當(dāng)壓力逐漸增加超出某一極限值，壓桿仍保持其直線平衡狀態(tài)，在受到一側(cè)向干擾力后，桿件離開直線平衡狀態(tài)后，就會一直彎曲直至桿件破壞為止，如圖7-5（e），則壓桿原平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。除壓桿外，還有一些其他構(gòu)件也存在穩(wěn)定問題。例如圓柱形薄殼外部受到均勻壓力時(shí)，壁內(nèi)應(yīng)力為壓應(yīng)力，如果外壓達(dá)到臨界值時(shí)，薄殼將會失去原有圓柱形平衡狀態(tài)而喪失穩(wěn)定，如圖7-6所示。同樣，板條或窄梁在最大抗彎剛度平面內(nèi)彎曲時(shí)，載荷過大也會發(fā)生突然的側(cè)彎現(xiàn)象，如圖7-7所示。薄壁圓筒在過大的扭矩作用下發(fā)生的局部皺折，也是屬于失穩(wěn)問題。本章只討論壓桿的穩(wěn)定問題，有關(guān)其他的穩(wěn)定問題可參考有關(guān)專著。圖7-7窄梁圖7-6圓柱形薄殼第二節(jié)壓桿的臨界壓力和臨界應(yīng)力

1兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界壓力

如圖7-8所示，兩端約束為球鉸支座的細(xì)長壓桿，壓桿軸線為直線，受到與軸線重合的壓力作用。當(dāng)壓力達(dá)到臨界力時(shí)，壓桿將由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。顯然，使壓桿保持在微小彎曲狀態(tài)下平衡的最小壓力即為臨界壓力。假設(shè)桿件在壓力作用下發(fā)生微小彎曲變形，設(shè)桿件的彎曲剛度為EI。圖7-8兩端鉸支細(xì)長壓桿圖7-6兩端鉸支細(xì)長壓桿選取如圖所示坐標(biāo)系xAw。設(shè)距原點(diǎn)為x距離的任意截面的撓度為w，彎矩M的絕對值為Fw。若撓度w為負(fù)時(shí)，M為正。即M與w的符號相反，于是有將其代入撓曲線近似微分方程，得為了求解方便，令則有該微分方程的通解為式中C、D為積分常數(shù)，可通過邊界條件來確定。壓桿兩端約束為球鉸支座，其邊界條件為時(shí)，時(shí)，將邊界條件代入通解式，可解得則可得到或如果D=0，則有w≡0，即壓桿各截面的撓度均為零，桿仍然保持直線狀態(tài)，這與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設(shè)前提相矛盾。因此D≠0，則只有滿足上式的kl值為所以，于是，桿件所受的壓力為由上式可以看出，使壓桿保持曲線形狀平衡的壓力值，在理論上是多值的。但實(shí)際上，只有使桿件保持微小彎曲得最小壓力才是臨界壓力。顯然只有取n=1才有實(shí)際意義，于是可得臨界壓力為（7-1）（7-1）上式即為兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界壓力表達(dá)式。式中：E為彈性模量，EI為彎曲剛度，l為壓桿長度。EI應(yīng)取最小值，在材料給定的情況下，慣性矩I應(yīng)取最小值，這是因?yàn)闂U件總是在抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)失穩(wěn)。當(dāng)n=1時(shí)，相應(yīng)的撓曲線方程為可見，壓桿由直線狀態(tài)的平衡過渡到曲線狀態(tài)的平衡以后，軸線變成了半個(gè)正弦曲線。D為桿件中點(diǎn)處的撓度。該式是由瑞士科學(xué)家歐拉（L.Euler）于1744年提出的，故也稱為兩端鉸支細(xì)長壓桿的歐拉公式。歐拉早在18世紀(jì)，就對理想壓桿在彈性范圍內(nèi)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，但是，同其他科學(xué)問題一樣，壓桿穩(wěn)定性的研究和發(fā)展與生產(chǎn)力發(fā)展的水平密切相關(guān)。歐拉公式面世后，在相當(dāng)長的時(shí)間里之所以未被認(rèn)識和重視，就是因?yàn)楫?dāng)時(shí)在工程與生活建造中使用的木樁、石柱都不是細(xì)長的。到1788年熟鐵軋制的型材開始生產(chǎn)，然后出現(xiàn)了鋼結(jié)構(gòu)。有了金屬結(jié)構(gòu)，細(xì)長桿才逐漸成為重要議題。特別是19世紀(jì)，隨著鐵路建設(shè)和發(fā)展而來的鐵路金屬橋梁的大量建造，促使人們對壓桿穩(wěn)定問題進(jìn)行深入研究。2其他支承形式下的臨界壓力

（a）（b）（c）(d)圖7-7不同支承形式的細(xì)長壓桿從上面的推導(dǎo)過程可以看出，桿件壓彎后的撓曲線形式與桿件兩端的支承形式密切相關(guān)，積分常數(shù)是通過邊界條件來確定的，不同的邊界條件得到不同的結(jié)果。壓桿兩端的支座除鉸支外，還有其他情況，工程上較常見的桿端支承形式主要有四種，如圖7-7所示。各種支承情況下壓桿的臨界壓力公式，可以按照兩端鉸支形式的方式進(jìn)行推導(dǎo)，但也可以把各種支承形式的彈性曲線與兩端鉸支形式下的彈性曲線進(jìn)行類比來獲得臨界力公式。例如千斤頂?shù)慕z桿如圖7-8所示，下端可簡化為固定端，上端可簡化為自由端。這樣就可以簡化為下端固定上端自由的細(xì)長壓桿如圖7-7（b）。假設(shè)在臨界壓力作用下以微小彎曲的形狀保持平衡，由于固定端截面不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，可以看出，其彎曲曲線與一長2l為的兩端鉸支壓桿的撓曲線的上半段是相符合的，也就是說，如果把撓曲線對稱向下延伸一倍，就相當(dāng)于如圖7-7（a）所示的兩端絞支細(xì)長壓桿的撓曲線，所以，一端固定另一端自由，長度為的細(xì)長壓桿的臨界壓力，等于兩端鉸支長為2l的細(xì)長壓桿的臨界力，即

圖7-8千斤頂（7-2）對于圖7-7（c）所示兩端固定的壓桿，失穩(wěn)后的撓曲線形狀關(guān)于桿件的中間截面對稱，根據(jù)桿件彎曲變形的特點(diǎn)，可知距離上下端點(diǎn)四分之一桿長處的兩點(diǎn)為撓曲線的拐點(diǎn)，其彎矩為零，相當(dāng)于鉸鏈，故兩端固定長為l的壓桿的臨界壓力與一長為0.5l的鉸支壓桿的臨界壓力相等，則有

（7-3）而圖7-7（d）所示一端固定，一端絞支的壓桿，根據(jù)桿件失穩(wěn)后的撓曲線形狀的特點(diǎn)，可知距離下端點(diǎn)約0.3l桿長處為撓曲線的拐點(diǎn)，其彎矩為零，相當(dāng)于鉸鏈，故其臨界壓力為（7-4）根據(jù)以上討論，可將不同桿端約束細(xì)長壓桿的臨界壓力公式統(tǒng)一寫成（7-5）上式為歐拉公式的普遍形式。式中μ稱為長度系數(shù)（coefficientoflength），它表示桿端約束對臨界壓力的影響，不同的桿端約束形式有不同的長度系數(shù)，顯然桿端的約束越強(qiáng)，長度系數(shù)越小。幾種支承情況的μ值列于下表。μl表示把壓桿折算成相當(dāng)于兩端鉸支壓桿時(shí)的長度，稱為相當(dāng)長度（effectivelength）。表7-1壓桿長度系數(shù)支承情況一端固定一端自由兩端鉸支一端固定一端鉸支兩端固定210.70.5例7-1如圖7-11所示細(xì)長壓桿，一端固定，另一端自由。已知其彈性模量E=10GPa，長度l=2m。試求①h=160mm，b=90mm和②h=b=120mm兩種情況下壓桿的臨界壓力。圖7-11例7-1圖解：（1）計(jì)算①情況下的臨界壓力截面對y，z軸的慣性矩分別為由于Iy<Iz，所以壓桿必然繞y軸彎曲失穩(wěn)，應(yīng)將代入計(jì)算公式（7.2）計(jì)算臨界壓力，根據(jù)桿端約束取μ=2，即（2）計(jì)算②情況下的臨界壓力，截面對y，z軸的慣性矩相等，均為由計(jì)算結(jié)果來看，兩種壓桿的材料用量相同，但情況②的臨界力是情況①的1.78倍，很顯然，桿件合理截面形狀是提高桿件穩(wěn)定性的措施之一。1壓桿的臨界應(yīng)力

當(dāng)桿件壓力達(dá)到臨界壓力時(shí)，將臨界壓力Fcr除以壓桿的橫截面面積A，則可得到臨界壓力下的應(yīng)力，稱為臨界應(yīng)力（criticalstress），用σcr表示，即將I=Ai2代入臨界應(yīng)力公式中，則有令于是，臨界應(yīng)力可以寫成如下形式

這里λ是與壓桿的長度、約束情況、截面形狀和尺寸有關(guān)的系數(shù)，稱為壓桿的柔度或長細(xì)比（slendernessradio），是一個(gè)無量綱的量，集中反映了桿長、約束情況、截面形狀和尺寸等因素對臨界應(yīng)力的影響。第三節(jié)臨界應(yīng)力總圖2歐拉公式的適用范圍

由臨界應(yīng)力的計(jì)算公式可知，隨著柔度的減小，臨界應(yīng)力增大，當(dāng)柔度很小接近于零時(shí)，臨界應(yīng)力會趨于無窮大，這顯然是不符合實(shí)際情況的。因此，歐拉公式并不能適用于所有壓桿的臨界應(yīng)力的計(jì)算。下面討論歐拉公式的適用范圍。歐拉公式是利用壓桿微彎時(shí)的撓曲線近似方程推導(dǎo)出來的，而撓曲線近似微分方程又是建立在材料服從虎克定律的基礎(chǔ)上的。因此，只有當(dāng)臨界應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，歐拉公式才能成立，故有即因此，歐拉公式的適用范圍可以表達(dá)為（7-9）將柔度l大于或等于權(quán)限柔度lP的壓桿稱為大柔度桿，或細(xì)長桿。因此，只有大柔度桿才能使用歐拉公式計(jì)算其臨界壓力和臨界應(yīng)力。由式（7.8）可以看出，極限柔度與材料的比例極限和彈性模量有關(guān)。不同的材料，的數(shù)值也不同。令（7-8）lP是當(dāng)臨界應(yīng)力等于比例極限時(shí)所對應(yīng)的柔度值，常稱為極限柔度，是歐拉公式適用的最小柔度值。3臨界應(yīng)力總圖與經(jīng)驗(yàn)公式

工程實(shí)際中的壓桿，其柔度l往往會小于極限柔度lP，由于其臨界應(yīng)力已經(jīng)超過了材料的比例極限，因此，歐拉公式不再適用。臨界應(yīng)力超過比例極限的壓桿穩(wěn)定問題，屬于非線彈性失穩(wěn)問題，對于這類問題，也有理論分析結(jié)果，但在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常采用建立在實(shí)驗(yàn)或是在實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的經(jīng)驗(yàn)公式，常用的經(jīng)驗(yàn)公式有直線公式和拋物線公式。1）直線公式直線公式是把臨界應(yīng)力scr與柔度l表示成如下的線性關(guān)系（7-10）式中是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)。例如：Q235鋼如果壓桿的柔度很小，屬于短粗桿。試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)壓力達(dá)到材料的屈服極限ss（或強(qiáng)度極限sb）時(shí)，壓桿由于強(qiáng)度不夠而失效，不會出現(xiàn)失穩(wěn)。因此，對于這種情況，應(yīng)按強(qiáng)度問題處理，其臨界應(yīng)力為屈服極限ss（或強(qiáng)度極限sb），即（或）顯然使用直線公式的最大應(yīng)力為ss，于是有即令（7-12）將ls≤l≤lP的壓桿稱為中柔度壓桿，即直線公式適用于中柔度壓桿。而對于l≤ls的壓桿稱為小柔度壓桿。如果以柔度l作為橫坐標(biāo)，以臨界應(yīng)力scr作為縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，則式（7.7）、（7.10）及（7.11）可表示成如圖7.10所示的曲線。圖7-10臨界應(yīng)力總圖（直線公式）上圖表示出了臨界應(yīng)力scr隨壓桿的柔度l的變化情況，稱為壓桿的臨界應(yīng)力總圖（figuresofcriticalstresses）。臨界應(yīng)力總圖是壓桿設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。2）拋物線公式對于柔度l<lP的桿件，除了上述直線公式外，還有拋物線公式。拋物線公式是把臨界應(yīng)力scr與柔度l表示成如下的二次拋物線形式（7-13）圖7-11臨界應(yīng)力總圖（拋物線公式）式中a1、b1是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)?？刹殚営嘘P(guān)設(shè)計(jì)手冊。不論是用直線公式還是用拋物線公式，求得臨界應(yīng)力scr后，再乘以壓桿的橫截面面積A，即得壓桿的臨界壓力Fcr，即（7-14）需要特別注意的是，在穩(wěn)定計(jì)算中，無論是歐拉公式還是經(jīng)驗(yàn)公式，均是以桿件的整體變形為基礎(chǔ)的，局部的削弱（如螺釘孔等）對桿件整體變形影響很小。因此，在計(jì)算臨界壓力和臨界應(yīng)力時(shí)，可不考慮局部削弱，均采用未經(jīng)削弱的橫截面面積和慣性矩進(jìn)行計(jì)算。至于強(qiáng)度問題，則應(yīng)考慮局部削弱的影響，使用削弱以后的橫截面面積來計(jì)算應(yīng)力。第四節(jié)壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)以上分析表明，臨界壓力是壓桿不發(fā)生失穩(wěn)的最大壓力。因此，臨界壓力即為穩(wěn)定問題的極限壓力（臨界應(yīng)力即為穩(wěn)定問題的極限應(yīng)力）。為保證壓桿不致發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，必須使壓桿實(shí)際承受的壓力低于臨界壓力。但要使壓桿安全可靠地工作，必須使壓桿具有一定的安全儲備