第一部分-函數(shù)與極限學(xué)習(xí)指導(dǎo)

第一部分函數(shù)與極限一、內(nèi)容提要1．函數(shù)是微積分是研究的對(duì)象。它反映了客觀世界中變量間的依賴關(guān)系，它有兩個(gè)要素：對(duì)應(yīng)規(guī)則和定義域。這是函數(shù)概念中最本質(zhì)的東西，只要對(duì)應(yīng)規(guī)則和定義域都相同，則就是同一個(gè)函數(shù)，而與函數(shù)中的自變量和因變量用什么字母表示是無關(guān)的。如果兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)規(guī)則和定義域不完全相同，則就是兩個(gè)不同的函數(shù)。另外，在函數(shù)的定義中重要的是，自變量在定義域內(nèi)每取得一個(gè)數(shù)值時(shí)，因變量總有確定的值與它對(duì)應(yīng)。至于函數(shù)的表達(dá)方式，在定義中并沒有限制；函數(shù)可以用公式(—個(gè)或幾個(gè))表示，也可用圖形或表格表示。2．基本初等函數(shù)有六類，常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)。初等函數(shù)是微積分研究的主要對(duì)象，而初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)構(gòu)成的。因此，熟練掌握基本初等函數(shù)的圖形及特性就顯得十分必要。3．極輾概念是在研究函數(shù)的變化趨勢(shì)過程中抽象出來的一個(gè)重要概念，它是微積分的基本概念之一。極限方法又是微積分中的基本分析方法。所以對(duì)于極限概念和極限方法都應(yīng)較好地掌握。函數(shù)極限的形式雖然很多，但主要的是及兩種。只要把這兩種形式的精確定義能理解清楚，那么其它各種極限形式的定義也就迎力而解了。因此，我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中務(wù)必對(duì)這兩種定義花較多的時(shí)間，反復(fù)體會(huì)定義中的絕對(duì)值不等式之間的聯(lián)系。這兩個(gè)定義既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，必須突破難點(diǎn)抓住重點(diǎn)。4．如果函數(shù)當(dāng)（或）時(shí)的極限為零，這時(shí)函數(shù)稱為（或）時(shí)的無窮小，無窮小的概念在極限理論中是一個(gè)重要的概念；特別是在定理2.1尤為重要，它指出與（其中）這兩件事是等價(jià)的。它說明了無窮小與一般極限之間的關(guān)系，從無窮小量的性質(zhì)過渡到極限運(yùn)算法則，主要是根據(jù)上述關(guān)系而得到的。5．有了關(guān)于極限的運(yùn)算法則以后，我們就可以解決有理分式(分母的極限不為零)的求極限問題。當(dāng)分母的極限為零時(shí)，就要靈活地尋找其他方法求極限。6．根據(jù)兩條極限存在準(zhǔn)則，我們證明了兩個(gè)重要極限：及。從而可使較多的求極限問題得以解決。7．無窮小的比較基本上有三種情形：如果，則稱是比高階的無窮小，記作；如果，則稱是比低階的無窮??；如果，則稱與是同階的無窮小。(特殊情形是，此時(shí)稱與是等價(jià)無窮小，記作。)由無窮小比較的結(jié)果可以看出分子、分母中哪一個(gè)趨向于零比較快些；或者兩者趨向于零的“快慢相仿”。另外，在求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可以用等價(jià)無窮小來代替。8．函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的定義可以用三種形式：或或用的說法來表達(dá)，這三種表達(dá)形式在本質(zhì)上是沒有區(qū)別的．9．函數(shù)的間斷點(diǎn)分為第一類和第二類。如果是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但及都存在。則稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)。如果是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)，且存在，則稱為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)。除去第一類以外的間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)，例如無窮間斷點(diǎn)及振蕩間斷點(diǎn)都屬于第二類間斷點(diǎn)。10．我們首先說明了所有基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)部是連續(xù)的。然后根據(jù)連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性定理及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理就可以得到重要結(jié)論：一切初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。從而使得很多函數(shù)的極限可以方便地求到。11．對(duì)于在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有兩個(gè)重要定理：最大值最小值定理及介值定理。這些定理在解題和推理時(shí)，都是很有用的。因此，必須弄清定理中的條件和結(jié)論。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1．為了幫助我們能順利地理解極限的定義，熟悉一下有關(guān)絕對(duì)值不等式的解法是非常必要的。下面我們來舉例說明絕對(duì)值不等式的幾何意義。例1解，并說明它的幾何意義。了當(dāng)時(shí)的實(shí)質(zhì)。7．初學(xué)極限的慨念時(shí)，多數(shù)學(xué)生對(duì)說法不太習(xí)慣。如果對(duì)(接近的狀態(tài)．)和(在變化過程中所處的階段)的含義反復(fù)體會(huì)，充分理解后，再經(jīng)過適當(dāng)?shù)木毩?xí)，就會(huì)感到習(xí)慣。在講函數(shù)的極限概念時(shí)，用的是說法，它與說法的實(shí)質(zhì)是相似的。因此，習(xí)慣了說法后，也就不準(zhǔn)理解說法。從而為理解其他情形的極限定義而打下基礎(chǔ)。由于微積分中的其他許多重要概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)，微分及定積分等等，都要用到極限的概念，因此，掌握極限的概念是十分重要的，務(wù)必予以足夠重視。8．我們知道，如果不存在正數(shù)，使得當(dāng)取函數(shù)的定義域內(nèi)的任何一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都可滿足，則稱在定義城內(nèi)無界。因此，由無窮大的定義顯然可知，如果函數(shù)是無窮大(即如果或)，則它在定義域內(nèi)必是無界的。但反過來說不一定成立，因?yàn)樵诙x城內(nèi)無界的函數(shù)可以不是無窮大。例如，函數(shù)的定義域是。在內(nèi)函數(shù)是無界的，因?yàn)閷?duì)于任意的總可以找到值使得，但是并不是無窮大，即沒有的結(jié)論，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)值為零。9．求極限有下面一些方法：（1）利用極限四則運(yùn)算法則直接求極限；（2）如果是的連續(xù)點(diǎn)，則只要求出代替即可。（3）先進(jìn)行代數(shù)處理(如消去公因子，分子分母同除最高次冪以及同乘共軛根式等)，再用第（1）條求出極限；（4）通過變量代換化為兩個(gè)重要極限，從而求出極限。雖然我們有了一些計(jì)算極限的方法，但分子、分母同時(shí)為無窮小或同時(shí)為無窮大等情形，有時(shí)還不能依第（2）條或第（3）條求出極限。進(jìn)一步的有效方法將有待于后續(xù)章節(jié)的羅必塔法則的學(xué)習(xí)。10．連續(xù)是函數(shù)的一種重要性態(tài)，而微積分中所研究的函數(shù)又絕大多數(shù)是連續(xù)函數(shù)，所以必須理解函數(shù)連續(xù)性的概念。函數(shù)連續(xù)性的概念包括‘一點(diǎn)處連續(xù)”及“在區(qū)間上連續(xù)”兩個(gè)方面。重點(diǎn)是前者，其定義有三種等價(jià)的表達(dá)形式。第一種，常被用來判斷一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上的連續(xù)性。第二種：常被用來判斷函數(shù)在某一點(diǎn)是否連續(xù)，特別是用于判斷分段函數(shù)布界點(diǎn)處”是否連續(xù)。第三種，“”的說法只要求了解一下就行了，因?yàn)樗饕怯糜诶碚撔缘奶接懼小?1．關(guān)于函數(shù)的間斷點(diǎn)，要弄清每一種間