第7章-動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法

現(xiàn)代力學(xué)方法第七章動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法1§7-1動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法的基本思想§7-2動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法的理論基礎(chǔ)——瑞利-李茲法第七章動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法2進(jìn)行分析?！?-1動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法的基本思想有限元法是把一個(gè)連續(xù)體劃分為數(shù)目有限的單元，子結(jié)構(gòu)法是把一個(gè)連續(xù)體劃分為數(shù)目有限的子結(jié)構(gòu)。子結(jié)構(gòu)按有限元分析，將各個(gè)子結(jié)構(gòu)組裝成一體，構(gòu)成總體結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法的基本思想是：按照工程的觀點(diǎn)或結(jié)構(gòu)的幾何輪廓，遵循某些原則的要求，把完整的大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)人為地抽象成若干子結(jié)構(gòu)。首先對(duì)自由度少的多的各3這種思想方法后來(lái)被我國(guó)學(xué)者胡海昌歸結(jié)為“先修改后個(gè)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，然后經(jīng)各種方案，把他們的主要模態(tài)信息予以保留，以綜合總體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。復(fù)原”，它的主要步驟可分為以下四步，見(jiàn)下框圖：總系統(tǒng)（n個(gè)自由度的系統(tǒng)）子結(jié)構(gòu)1子結(jié)構(gòu)2…子結(jié)構(gòu)n總系統(tǒng)（m個(gè)自由度的系統(tǒng)）子結(jié)構(gòu)1子結(jié)構(gòu)2…子結(jié)構(gòu)n(1)分割總系統(tǒng)(2)子系統(tǒng)模態(tài)分析(3)綜合子系統(tǒng)而成總系統(tǒng)方程并求解(4)再現(xiàn)子結(jié)構(gòu)4征對(duì)時(shí)降低方程階數(shù)。由瑞利商特性，有：§7-2動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法的理論基礎(chǔ)——瑞利-李茲法瑞利-李茲法是動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法的理論基礎(chǔ)，瑞利-李茲法的基本思想是：認(rèn)為n維系統(tǒng)被約束的只能在m個(gè)模態(tài)集的組合下進(jìn)行振動(dòng)(n>m),即把一個(gè)有n個(gè)自由度的系統(tǒng)凝縮成為m個(gè)子空間來(lái)求解。這種方法的最大優(yōu)越性在于在求解近似特5知的線性無(wú)關(guān)量{Yi},i=1,2,…,q,令{X}為這些矢量的線性組合，有：這里取極小的過(guò)程是對(duì)n個(gè)特征矢量構(gòu)成的n維空間中的所有{X}進(jìn)行的。而李茲分析的思想是，取極小的過(guò)程可以近似地在一個(gè)m維空間進(jìn)行。若我們打算求系統(tǒng)的前q階特征對(duì),則事先選取m≥q(q<<n為系統(tǒng)最低前q階特征對(duì)）個(gè)已式中，{Yi}稱為李茲基矢量，[Y]是由李茲基矢量構(gòu)成的n×q階矩陣，ai為李茲坐標(biāo)，{A}滿足的方程可由瑞利商的6極小化過(guò)程導(dǎo)出。由若記則(1.3)7用二次型對(duì)矢量求偏導(dǎo)的法則，得：在極小化過(guò)程中，R({X})取極小的必要條件,利即：由（1.3）式，則上式變?yōu)椋?1.4)8…

λn，的近似值，而再由式（1.2）求得的特征矢量{Xi}式中和都是q×q階矩陣，{A}是李茲坐標(biāo)矢量，式（1.4）實(shí)際上又是一個(gè)廣義的特征值問(wèn)題。由（1.4）式求解的特征值ρ1

，ρ2，…ρn，就是原系統(tǒng)前q階特征值λ1，λ2

{Xi}(i=1,2,…,q)是原系統(tǒng)前q階特征矢量{Φ1}，{Φ2}，…,{Φ3}的近似值。假如某一振動(dòng)系統(tǒng)的某一個(gè)主模態(tài)形式為（Φ），則可由（1.4）式確定該系統(tǒng)具有一定精度的頻率值。若假設(shè)的振型愈接近其真實(shí)模態(tài)，其頻率值也就愈精確。9力響應(yīng)。動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法正是用各子結(jié)構(gòu)的低階主模態(tài)集來(lái)構(gòu)造近似程度較高的李茲基向量（即假設(shè)模態(tài)），這組模態(tài)集的數(shù)目遠(yuǎn)小于原結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)，且構(gòu)成的子空間逼近于原結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)所在的子空間。于是通過(guò)瑞利-李茲分析（即坐標(biāo)變換），就能得到一個(gè)低階特征對(duì)和李茲基下的動(dòng)力響應(yīng)，求解此方程便可得出原結(jié)構(gòu)的低階特征對(duì)和李茲基下的動(dòng)下面先以一個(gè)實(shí)例說(shuō)明動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法的基本原理。設(shè)圖（1.1）所示為一簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，做無(wú)阻尼自由振動(dòng)。首先將原10為內(nèi)部自由度{uI}和界面自由度{uJ}。所以對(duì)于邊和β兩個(gè)子結(jié)構(gòu)劃分成兩個(gè)子結(jié)構(gòu)α與β，并將每個(gè)子結(jié)構(gòu)的自由度分結(jié)構(gòu)的自由度可以寫成為：界面(a)整體結(jié)構(gòu)11(b)兩個(gè)子結(jié)構(gòu)uJuIuI圖1.1根據(jù)界面連續(xù)性條件，有：(1.5)由力的對(duì)接條件，有：(1.6)12系統(tǒng)的總勢(shì)能為：(1.8)(1.7)整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能為：式中，[mα],[mβ],[kα],[k

β]分別是與自由度{u

α}和{uβ}相對(duì)應(yīng)的α與β子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣和剛度陣。對(duì)各子結(jié)構(gòu)做動(dòng)力特性分析，選出恰當(dāng)?shù)淖咏Y(jié)構(gòu)的保留模態(tài)來(lái)構(gòu)成α

和β子結(jié)構(gòu)13的李茲基{Φ}α和

{Φ}β，并以此作為子結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)變換：其中，{pα}和{pβ}分別是兩個(gè)子結(jié)構(gòu)的模態(tài)坐標(biāo)。通常(1.9)子結(jié)構(gòu)保留模態(tài)個(gè)數(shù)少于它的自由度數(shù)，即{pα}的分量數(shù)小于{uα}的分量數(shù)。式（1.9）常被稱為第一次坐標(biāo)變換。將（1.9）式代入（1.7）式和（1.8）式，則：14(1.10)(1.11)15

[M]和[K]實(shí)際上是獨(dú)立處理各子結(jié)構(gòu)后得到的，而每個(gè)子結(jié)構(gòu)的界面自由度,不是相互獨(dú)立的，由界面連續(xù)條件可得式中：16即(1.13)(1.12)組形式，設(shè){p}中的獨(dú)立廣義坐標(biāo)為{pI},非獨(dú)立的廣義坐標(biāo)為{pα}，則:式中,式（1.13）就是一般的線性約束方程于是,1.13式可以寫成為:(1.14)(1.15)17所以,由此可得:(1.16)(1.17)其中(1.18)稱為獨(dú)立變換矩陣，式(1.17)稱為第二次坐標(biāo)變換。由此可用獨(dú)立的廣義坐標(biāo){q}={pI}來(lái)表示系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能，即18(1.20)(1.20)其中:(1.21)它響應(yīng)的廣義特征值問(wèn)題可寫為:(1.22)(1.23)19這就是經(jīng)過(guò)各子結(jié)構(gòu)的模態(tài)綜合后的新方程。顯然，新方程的階數(shù)等于所選取的全部保留模態(tài)的總數(shù)減去對(duì)接自由度數(shù)。對(duì)于一般的動(dòng)力分析問(wèn)題的方程，也可得到縮減的動(dòng)力方程為:式中