數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2互動(dòng)課堂1.2.2函數(shù)的和差積商的導(dǎo)數(shù)

互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)本節(jié)的重點(diǎn)是函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則及應(yīng)用.1.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及證明法則1:兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差),即(u±v)′=u′±v′.證明:令y=f(x)=u(x)±v(x).Δy=［u(x+Δx)±v(x+Δx)］［u(x)±v(x)］=［u(x+Δx)u(x)］±［v(x+Δx)v(x)］=Δu±Δv,∴=.∴=()=±=u′(x)±v′(x),即y′=(u±v)′=u′±v′.法則2:兩個(gè)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即(uv)′=u′v+uv′.證明:令y=f(x)=u(x)·v(x).Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx)u(x)·v(x)=u(x+Δx)·v(x+Δx)u(x)·v(x+Δx)+u(x)·v(x+Δx)u(x)v(x),=v(x+Δx)+u(x)·.因?yàn)関(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),所以它在點(diǎn)x處連續(xù),于是當(dāng)Δx→0時(shí)v(x+Δx)→v(x),從而=v(x+Δx)+u(x)·=u′(x)v(x)+u(x)v′(x),即y′=(uv)′=u′v+uv′.疑難疏引(1)牢記公式的形式(uv)′≠u(mài)′v′,避免與(u±v)′=u′±v′混淆.(2)若C為常數(shù),則(Cu)′=C′u+Cu′=0+Cu′=Cu′,即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(3)由法則2和法則1,又得［au(x)±bv(x)］′=au′(x)±bv′(x),a、b為常數(shù).(4)法則1和法則2均可推廣到兩個(gè)以上函數(shù)的和(或差)、積求導(dǎo).法則3:商的導(dǎo)數(shù)公式及證明:()′=(v≠0).回顧導(dǎo)數(shù)的定義:f′(x)==.證明:設(shè)y=f(x)=(v(x)≠0),則Δy=f(x+Δx)f(x)==,所以.因?yàn)関(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),所以v(x)在點(diǎn)x處連續(xù),于是當(dāng)Δx→0時(shí),v(x+Δx)→v(x).從而=,即y′=()′=().2.對(duì)公式的說(shuō)明(1)類(lèi)比:(uv)′=u′v+uv′,()′=,注意差異,加以區(qū)分.(2)()′≠,且()′≠.(3)法則1、2、3——兩函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)法則,稱(chēng)為可導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則.(4)若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo),則它們的和、差、積、商(商分母不為零)必可導(dǎo).其結(jié)果由法則1、2、3可得.若兩個(gè)函數(shù)不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).3.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則應(yīng)注意的問(wèn)題(1)對(duì)函數(shù)變形化簡(jiǎn)后再求導(dǎo)，而不加分析，盲目套用公式，會(huì)給運(yùn)算帶來(lái)不便甚至錯(cuò)誤，先化簡(jiǎn)求導(dǎo)是實(shí)施求導(dǎo)運(yùn)算的基本方法，是化難為易，化繁為簡(jiǎn)的基本原則和策略.(2)商的求導(dǎo)法則與積的求導(dǎo)法則相近而造成它們之間容易混淆，通過(guò)變式訓(xùn)練，加深對(duì)商的求導(dǎo)法則的理解，并能正確運(yùn)用函數(shù)式的恒等變形，盡可能避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量.案例1(1)求曲線y=在點(diǎn)(1，1)處的切線方程；(2)運(yùn)動(dòng)曲線方程為S=+2t2，求t=3時(shí)的速度.【探究】(1)y′=y′｜x=1==0，即曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線斜率k=0因此曲線y=在(1，1)處的切線方程為y=1(2)S′=()′+(2t2)′=+4t=+4tS′｜t=3=【規(guī)律總結(jié)】正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求出導(dǎo)數(shù)，這是解題的關(guān)鍵.案例2已知曲線C1：y=x2與C2：y=(x2)2，直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程.【探究】設(shè)l與C1相切于點(diǎn)P(x1，)，與C2相切于Q(x2，(x22)2).對(duì)C1：y′=2x，則與C1相切于點(diǎn)P的切線方程為y=2x1(xx1)，即y=2x1x.①對(duì)C2：y=2(x2)，則與C2相切于點(diǎn)Q的切線方程為y+(x22)2=2(x2－2)(xx2)，即y=2(x22)x+4.②∵兩切線重合，∴，解得或，∴直線方程為y=0或y=4x4.【規(guī)律總結(jié)】函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值就是過(guò)這一點(diǎn)的切線的斜率，本題所求的直線l實(shí)際上是所給兩圓的公切線，因此，利用兩個(gè)圓的切線的斜率相等，最終求得直線l的方程.活學(xué)巧用f(x)=x(x1)(x2)…(x100),則f′(0)等于()B.0C解析：∵f(x)=x(x1)(x2)…(x100)∴f′(x)=(x1)(x2)…(x100)+x［(x1)·(x2)…(x100)］1∴f′(0)=(1)(2)…(100)=100!答案：C(1)y=(2x2+3)(3x1);(2)y=()2;(3)y=xsincos.解析：(1)方法一：y′=(2x2+3)′(3x1)+(2x2+3)(3x1)′=4x(3x1)+3(2x2+3)=18x24x+9.方法二：∵y=(2x2+3)(3x1)=6x32x2+9x3,∴y′=(6x32x2+9x3)′=18x24x+9.(2)∵y=()2=.∴y′=x′()′+4′=14·=12(3)∵y=xsincos=xsinx,∴y′=x′(sinx)′=1cosx.3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=x53x35x2+6;(2)y=;(3)y=;(4)y=(2x2+3)(3x2);(5)y=sin2x.解析：(1)y′=(x53x35x2+6)′=(x5)′(3x3)′(5x2)′+6′=5x49x210x(2)y′=()′+()′=(2x2)′+(3x3)′=4x39x4=(3)y′==(4)方法一：y′=(2x2+3)′(3x2)+(2x2+3)·(3x2)′=4x(3x2)+(2x2+3)·3=18x28x+9方法二：∵y=(2x2+3)·(3x2)=6x34x2+9x6∴y′=18x28x+9(5)∵y=sin2x=2sinxcosx∴y′=2(sinx)′cosx+2sinx·(cosx)′=2cos2x2sin2x=2cos2xy=在點(diǎn)(1,)處的切線方程.解析：∵y=,∴y′=1·(3x2+1)′=·6x.∴k=y′|x=1=.∴切線方程為(x1),即x+1=0.(1)y=;(2)y=sin4+cos4;(3)y=;(4)y=sin.解析：(1)y==x2+x3+x4,∴y′=2x+3x2+4x3.(2)y=(sin2+cos2)22sin2cos2===cosx.∴y′=(cos)′=sinx(3)y=2.∴y′=(2)′=.(4)y=sin·cossinx.∴y′=(sinx)′=cosx.C：y=3x42x39x2+4.①求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的切線的方程；②第①小題中切線與曲線C是否還有其它公共點(diǎn).解析：①把x=1代入C的方程，求得y=4.∴切點(diǎn)為(1，4)，y′=12x36x218x，∴切線斜率為k=12-6-18=12.∴切線方程為y+4=12(x1)，即y=12x+8.②由得3x42x39x2+12x4=0,(x1)2(x+2)(3x2)=0,∴x=