第28講 圓錐曲線存在性問題（原卷版）

第28講圓錐曲線存在性問題【典型例題】【例1】（江西省智慧上進2023屆高三上學期入學摸底考試數(shù)學（文）試題）已知拋物線C：上一縱坐標為4的點M到其焦點F的距離為5，過點的直線與C相交于A，B兩點．(1)求C的標準方程；(2)在x軸上是否存在異于點N的定點P，使得點F到直線PA與直線PB的距離相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．【例2】（2021·山東·高三開學考試）已知橢圓C：.(1)求橢圓C的離心率和長軸長；(2)已知直線與橢圓C有兩個不同的交點A，B，P為x軸上一點.是否存在實數(shù)k，使得是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及點P的坐標；若不存在，說明理由.【例3】（2022·江蘇·高二專題練習）已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，以原點為圓心?橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作直線交橢圓于兩點（直線與軸不重合）.在軸上是否存在點，使得直線與的斜率之積為定值？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.【例4】（2021·江蘇·常州市第一中學高二期中）已知點在圓上運動，點在軸上的投影為，動點滿足(1)求動點的軌跡方程(2)過點的動直線與曲線交于兩點，問：是否存在定點，使得的值是定值？若存在，求出點的坐標及該定值；若不存在，請說明理由【例5】（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的離心率為，右焦點F與點的連線與其一條漸近線平行.(1)求雙曲線C的方程；(2)經(jīng)過點F的直線l與雙曲線C的右支交于點A?B，試問是否存在一定點P，使恒成立，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.【例6】（2022·福建廈門·高二期末）已知橢圓的右頂點為點A，直線l交C于M，N兩點，O為坐標原點．當四邊形AMON為菱形時，其面積為．(1)求C的方程；(2)若；是否存在直線l，使得A，M，O，N四點共圓？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．【例7】（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓，過定點的直線交橢圓于兩點，其中.(1)若橢圓短軸長為且經(jīng)過點，求橢圓方程；(2)對（1）中的橢圓，若，求面積的最大值，并求此時直線的方程；(3)若直線與軸不垂直，問：在軸上是否存在點使得恒成立？如果存在，求出的關系；如果不存在，說明理由.【例8】（2022·江蘇鹽城·高二期末）平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為F，點P為橢圓上的動點，OP的最小值為1，F(xiàn)P的最大值為．(1)求橢圓C的方程；(2)直線上是否存在點Q，使得過點Q能作橢圓C的兩條互相垂直的切線？若存在，請求出這樣的點Q；若不存在，請說明理由．【例9】（2022·安徽省宣城市第二中學高二期末）圓：與軸的兩個交點分別為，，點為圓上一動點，過作軸的垂線，垂足為，點滿足(1)求點的軌跡方程；(2)設點的軌跡為曲線，直線交于，兩點，直線與交于點，試問：是否存在一個定點，當變化時，為等腰三角形【例10】（2022·福建·廈門一中高二階段練習）從圓：上任取一點向軸作垂線段為垂足．當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡為曲線．（當為軸上的點時，規(guī)定與重合）．(1)求的方程，并說明是何種曲線：(2)若圓與軸的交點分別為在左側），異于，直線交直線于，垂足為，線段的中點為，求證：是等腰三角形．【例11】（2022·四川成都·三模（理））已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點，橢圓C的右頂點到拋物線的準線的距離為4．(1)求橢圓C和拋物線E的方程；(2)設與兩坐標軸都不垂直的直線l與拋物線E相交于A，B兩點，與橢圓C相交于M，N兩點，O為坐標原點，若，則在x軸上是否存在點H，使得x軸平分？若存在，求出點H的坐標；若不存在，請說明理由．【例12】（2022·遼寧遼陽·二模）已知橢圓：的左焦點為，上頂點為.直線與橢圓交于另一點，且，點在橢圓上.(1)求橢圓的方程.(2)過點，且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，點關于軸的對稱點為，作，垂足為.是否存在定點，使得為定值？若存在，求出定點的坐標；若不存在，說明理由.【例13】（2022·河南安陽·模擬預測（文））已知橢圓C：的離心率為，左、右焦點分別為，，O為坐標原點，點P在橢圓C上，且有，(1)求橢圓C的方程；(2)設直線l不經(jīng)過P（0，1）點且與橢圓E相交于A、B兩點，若直線PA與直線PB的斜率之和為，若，垂足為M，判斷是否存在定點N，使得為定值，若存在求出點N，若不存在，說明理由．【例14】（2022·四川·內(nèi)江市教育科學研究所三模（理））設圓的圓心為，點與點關于原點對稱，P是圓上任意一點，線段的垂直平分線交線段于點M，記點M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知點，曲線C上是否存在點B，使得在y軸上能找到一點D滿足為等邊三角形？若存在，求出所有點B的坐標；若不存在，請說明理由．【例15】（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓C：過點，過其右焦點且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l：與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，線段EF的中點為Q，在y軸上是否存在定點P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【題型專練】1.（2022·北京市十一學校高三階段練習）橢圓：的離心率為，，是橢圓的左?右焦點，以為圓心?為半徑的圓和以為圓心?為半徑的圓的交點在橢圓上.(1)求橢圓的方程和長軸長；(2)已知直線與橢圓有兩個不同的交點，，為軸上一點.是否存在實數(shù)，使得是以點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出的值及點的坐標；若不存在，說明理由.2．（2022·上海徐匯·二模）在平面直角坐標系中，已知點、，動點關于直線的對稱點為，且，動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)已知動點在曲線上，點在直線上，且，求線段長的最小值；(3)過點且不垂直于軸的直線交曲線于、兩點，點關于軸的對稱點為，試問：在軸上是否存在一定點，使得、、三點共線？若存在，求出定點的坐標；若不存在，說明理由．3．（2022·遼寧大連·一模）已知橢圓的焦距為2，且經(jīng)過點．(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過橢圓右焦點F且斜率為的動直線l與橢圓交于A、B兩點，試問x軸上是否存在異于點F的定點T，使恒成立？若存在，求出T點坐標，若不存在，說明理由．4.（2022·天津市第七中學模擬預測）已知曲線上動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，若過的動直線與曲線相交于兩點．(1)說明曲線的形狀，并寫出其標準方程；(2)是否存在與點不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．5．（2022·全國·高三專題練習）一個焦點在直線上，且離心率.(1)求該橢圓的方程；(2)若與是該橢圓上不同的兩點，且線段的中點在直線上，試證：軸上存在定點，對于所有滿足條件的與，恒有；(3)在（2）的條件下，能否為等腰直角三角形？并證明你的結論.6．（2022·寧夏·平羅中學三模（理））已知橢圓：的左、右焦點，恰好是雙曲線的左右頂點，橢圓上的動點滿足，過點的直線交橢圓C于，兩點．(1)求橢圓的標準方程；(2)橢圓上是否存在點使得四邊形（為原點）為平行四邊形？若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由．7．（2021·四川巴中·高二期末（文））已知橢圓的左?右焦點分別為?，M是橢圓的上頂點，且是面積為1的等腰直角三角形.(1)求橢圓E的方程；(2)已知直線與橢圓E交于A，B兩點，判斷橢圓E上是否存在點P，使得四邊形OAPB恰好為平行四邊形，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.8．（2022·廣東清遠·高二期中）已知橢圓的左，右焦點分別為，，，，直線，的交點D既在橢圓C上，也在直線上.(1)求橢圓C的方程；(2)過直線上的動點A的直線l與橢圓C只有一個公共點B，判斷x軸上是否存在點P，使得.若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由.9．（2022·江蘇·徐州市第七中學高三階段練習）已知橢圓的長軸長為，且過點(1)求的方程：(2)設直線交軸于點，交C于不同兩點，，點與關于原點對稱，，為垂足.問：是否存在定點，使得為定值？10．（2022·全國·高三專題練習）圓的離心率為，且過點，點分別為橢圓的左頂點和右頂點.(1)求橢圓的標準方程；(2)是否存在定點，對任意過點的直線（在橢圓上且異于兩點），都有.若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由.11．（2022·江西·上高二中高二階段練習（理））已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且點的縱坐標為4，．(1)求拋物線的方程；(2)過點作直線交拋物線于兩點，試問拋物線上是否存在定點使得直線與的斜率互為倒數(shù)？若存在求出點的坐標，若不存在說明理由．12．（2021·江蘇·高三階段練習）已知橢圓的離心率為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓的左頂點為，右焦點是．點是橢圓上的點（異于左、右頂點），為線段的中點，過作直線的平行線．延長交橢圓于，連接交直線于點．①求證：直線過定點．②是否存在定點、，使得為定值，若存在，求出、的坐標；若不存在說明理由．13．（2022·遼寧·建平縣實驗中學高二階段練習）已知橢圓C：，、為橢圓的左、右焦點，焦距為2，P（－）為橢圓上一點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知過點（0，－）的直線l與C交于A，B兩點；線段AB的中點為M，在軸上是否存在定點N，使得恒成立？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．14．（2022·河南·鄭州四中高二階段練習（理））在平面直角坐標系中，雙曲線的左、右兩個焦點為、，動點P滿足．(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)設過且不垂直于坐標軸的動直線l交軌跡E于A、B兩點，問：線段上是否存在一點D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，請給出證明：若不存在，請說明理由．15．（2022·全國·高三專題練習（理））已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，且滿足．(1)求橢圓的方程；(2)設為坐標原點，過點且斜率不為零的直線交橢圓于不同的兩點、，則在軸上是否存在定點，使得平分？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．16．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓：的焦距為8，且橢圓經(jīng)過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線與橢圓交于、兩點，試問在直線上是否存在一點，使得為正三角形？若存在，求出相應的直線的方程；若不存在，說明理由．17．（2021·重慶國維外國語學校高二期中）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合.(1)求橢圓的方程；(2)已知橢圓的右焦點與點關于直線對稱，問：是否存在過右焦點的直線與橢圓交于兩點，使的重心恰好在直線上？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.18．（2022·全國·高三專題練習）已知點，點是圓上的動點，線段的垂直平分線與相交于點，點的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）為曲線上不同兩點，為坐標原點，線段的中點為，當△面積取最大值時，是否存在兩定點，使為定值？若存在，求出這個定值；若不存在，請說明理由.19．（2022·全國·高三專題練習）已知橢的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.（1）求橢圓的方程；（2）設過橢圓的右焦點與坐標軸不垂直的直線交于點，，交軸于點，為線段的中點，且為垂足.問：是否存在定點，使得的長為定值？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由.20．（2