高考數(shù)學(xué)（北師大版理科）一輪復(fù)習(xí)攻略核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析10-7拋物線

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1.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,定點(diǎn)P(4,2),在拋物線上找一點(diǎn)M,使得|PM|+|MF|最小,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ()A.(2,2) B.(1,2) C.(1,2) D.(1,2)2.已知直線l1:4x3y+6=0和l2:x=1,拋物線y2=4x上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是 ()A.355 B.2 C.113.(2020·保定模擬)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)A(0,2),則C的方程為 ()2=4x或y2=8x 2=2x或y2=8x2=4x或y2=16x 2=2x或y2=16x4.設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個動點(diǎn),F為焦點(diǎn),若B(3,2),則|PB|+|PF|的最小值為________.

5.已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸,直線l過拋物線C的焦點(diǎn)F,且與拋物線的對稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=8,M為拋物線C準(zhǔn)線上一點(diǎn),則△ABM的面積為________.

【解析】1.選C.過P作PM垂直于拋物線的準(zhǔn)線,交拋物線于點(diǎn)M,交準(zhǔn)線于點(diǎn)N,則|PM|+|MF|=|PM|+|MN|=|PN|,此時(shí)|PM|+|MF|最小,點(diǎn)M縱坐標(biāo)為2,故橫坐標(biāo)為1,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2).2.選B.由題可知l2:x=1是拋物線y2=4x的準(zhǔn)線,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)(1,0)為F,則動點(diǎn)P到l2的距離等于|PF|,則動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值,即焦點(diǎn)F到直線l1:4x3y+6=0的距離,所以最小值是|43.選C.由已知得拋物線的焦點(diǎn)Fp2設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),則AF=p2,-2,AM由已知得,AF·AM=0,即y028y因而y0=4,M8p由|MF|=5,得8p又p>0,解得p=2或p=8.故C的方程為y2=4x或y2=16x.4.如圖,過點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,交拋物線于點(diǎn)P1,則|P1Q|=|P1F|,則有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值為4.答案:45.不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則焦點(diǎn)Fp2,0,Ap將Ap2,可得2p×p2=42,得則準(zhǔn)線方程為x=2,設(shè)M(2,t),則S△ABM=12答案:161.拋物線定義的應(yīng)用利用拋物線的定義解決問題時(shí),應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與其到準(zhǔn)線距離間的等價(jià)轉(zhuǎn)化.“看到準(zhǔn)線應(yīng)該想到焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)應(yīng)該想到準(zhǔn)線”,這是解決有關(guān)拋物線距離問題的有效途徑.2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法根據(jù)拋物線的定義,確定p的值(系數(shù)p是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離),再結(jié)合焦點(diǎn)位置,求出拋物線方程.標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式,要注意選擇.(2)待定系數(shù)法①根據(jù)拋物線焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上,設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后根據(jù)條件確定關(guān)于p的方程,解出p,從而寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.②當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí),有兩種方法解決:方法一分情況討論,注意要對四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行討論,對于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線,為避免開口方向不確定可分為y2=2px(p>0)和y2=2px(p>0)兩種情況求解方法二設(shè)成y2=mx(m≠0),若m>0,開口向右;若m<0,開口向左;若m有兩個解,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個.同理,焦點(diǎn)在y軸上的拋物線可以設(shè)成x2=my(m≠0).如果不確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸,應(yīng)考慮上述兩種情況設(shè)方程考點(diǎn)二直線與拋物線的綜合問題

【典例】1.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限),若直線l的傾斜角為2π3,則A.13 B.25 C.122.(2020·濮陽模擬)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F的直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)M到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為5,則直線l的斜率k為 導(dǎo)學(xué)號()A.±22 B.±1 C.±63 3.(2019·全國卷Ⅰ)已知拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為32的直線l與C的交點(diǎn)為A,B,與x軸的交點(diǎn)為P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程.(2)若=3,求|AB|.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1一看到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)或到準(zhǔn)線的距離問題,即聯(lián)想到利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化2當(dāng)條件中出現(xiàn)弦的中點(diǎn)(即中點(diǎn)弦問題)時(shí),應(yīng)立即考慮到設(shè)而不求(點(diǎn)差)法3當(dāng)條件中出現(xiàn)過拋物線焦點(diǎn)的直線時(shí),應(yīng)立即考慮到拋物線焦點(diǎn)弦的有關(guān)結(jié)論【解析】1.選A.過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為M,N,作AE⊥BN,垂足為E,設(shè)|AF|=m,|BF|=n,則由拋物線的定義得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n,|BE|=nm,因?yàn)椤螦BN=60°,于是n-mn+m則|AF||BF|2.選C.拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)M(x0,y0),則x0=x1+x22,y0=y1+y22,由弦AB的中點(diǎn)M到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為5,即x0+p2=5,則x0=4,由y12=4x1,y22=4x2,兩式相減得(y1+y2)(y1y2)=4(x1x2),則y1-y2x1-x2=3.設(shè)直線l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2(1)由題設(shè)得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2由題設(shè)可得x1+x2=52由y=32x+t則x1+x2=12(從而12(t-1)9=所以l的方程為y=32x7(2)由=3可得y1=3y2.由y=32x所以y1+y2=2.從而3y2+y2=2,故y2=1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13故|AB|=4131.直線與拋物線交點(diǎn)問題的解題思路(1)求交點(diǎn)問題,通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組.(2)與交點(diǎn)相關(guān)的問題通常借助根與系數(shù)的關(guān)系或用向量法解決.2.解決拋物線的弦及弦中點(diǎn)問題的常用方法(1)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn),若過拋物線的焦點(diǎn),可直接使用焦點(diǎn)弦公式,若不過焦點(diǎn),則必須用一般弦長公式.(2)涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí),一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.提醒:涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí),一般用“點(diǎn)差法”求解.1.已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),E為其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),過F的直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),M為線段AB的中點(diǎn),且|ME|=11,則|AB|= ()A.6 3 C.8 【解析】選A.由y2=4x得焦點(diǎn)F(1,0),E(1,0),設(shè)直線AB的方程為x=ty+1并代入拋物線y2=4x得:y24ty4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4t,y1y2=4,所以x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,所以M(2t2+1,2t),|ME|2=(2t2+2)2+(2t)2=11,即4t4+12t27=0,解得t2=12或t2=72(所以|AB|=x1+x2+p=4t2+2+2=4×122.已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn),A,B是該拋物線上的兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=5,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為________.

【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則由拋物線定義得|AF|+|BF|=5,即x1+14+x2+14=5,則x1+x2=92,所以線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為x答案:93.(2020·銅川模擬)已知拋物線C1:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F到準(zhǔn)線l的距離為2,過點(diǎn)5,0的直線l′與拋物線交于A,B兩點(diǎn),與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)R,若BF=3,則S△【解析】依題意得:C1:y2=4x,焦點(diǎn)F1,0,不妨設(shè)點(diǎn)B在xBF=xB+1=3,所以xB=2,yB=22.則過點(diǎn)5,0的直線l′:y=225-2x-5y225-2所以yAyB=45,yA=-45yB=10,xS△BRFS△ARF=BRAR=BFAF答案:6考點(diǎn)三拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用

命題精解讀1.考什么:(1)考查拋物線的定義、頂點(diǎn)及直線與拋物線中的最值范圍問題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.2.怎么考:借助距離考查拋物線的定義;結(jié)合函數(shù)單調(diào)性或基本不等式考查最值問題.3.新趨勢:拋物線離心率的求解仍是考查的重點(diǎn).學(xué)霸好方法1.定義的應(yīng)用:當(dāng)題目中出現(xiàn)到焦點(diǎn)的距離或到準(zhǔn)線(或到與對稱軸垂直直線)的距離時(shí),應(yīng)立即考慮到利用定義轉(zhuǎn)化.2.交匯問題:與函數(shù)、不等式結(jié)合考查范圍最值,要注意定義域問題.與拋物線有關(guān)的最值問題【典例】(2020·沈陽模擬)已知拋物線C:x2=2py(p>0),其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作拋物線C的切線l1,l2,且l1與l2交于點(diǎn)M. 導(dǎo)學(xué)號(1)求p的值.(2)若l1⊥l2,求△MAB面積的最小值.【解析】(1)由題意知,拋物線焦點(diǎn)為0,p2,準(zhǔn)線方程為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,即p=2.(2)拋物線的方程為x2=4y,即y=14x2,所以y′=12x,設(shè)A(x1,y1),B(x2,yl1:yx124=x12(xx1),l2:yx由于l1⊥l2,所以x12·x22=1,即x設(shè)直線l方程為y=kx+m,與拋物線方程聯(lián)立,得y=kx+m,x2=4y,所以x24kx4m=0,Δ=16k2+16m>0,x1+x2聯(lián)立方程y=x12xM點(diǎn)到直線l的距離d=|k·2|AB|=(1+k2所以S=12×4(1+k2)×2|k2+1當(dāng)k=0時(shí),△MAB的面積取得最小值4.拋物線與向量的綜合問題【典例】已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且|AB|=9.導(dǎo)學(xué)號(1)求該拋物線的方程.(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若OC=OA+λOB,求λ的值.【解析】(1)直線AB的方程是y=22xp2,與y2=2px聯(lián)立,得4x25px+p2=0,由已知,方程必有兩個不等實(shí)根,所以x1+x2=5p4,由拋物線定義知|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,解得p=4,(2)由(1)知,x25x+4=0,所以x1=1,x2=4,y1=22,y2=42,所以A(1,22),B(4,42).設(shè)C(x3,y3),則OC=(x3,y3)=(1,22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ22),又y32=8x3,即[22(2λ1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ1)2=4λ+1,解得λ=0或1.(2019·九江模擬)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,第九章“勾股”,講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用,還提出了一元二次方程的解法問題直角三角形的三條邊長分別稱“勾”“股”“弦”.設(shè)點(diǎn)F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),l是該拋物線的準(zhǔn)線,過拋物線上一點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線AB,垂足為B,射線AF交準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若Rt△ABC的“勾”AB=3、“股”CB=33,則拋物線方程為 ()2=2x 2=3x2=4x 2=6x【解析】選B.由題意可知,拋物線的圖像如圖:|AB|=3,|BC|=33,可得|AC|=32所以∠CAB=60°,△ABF是正三角形,并且F是AC的中點(diǎn),又|AB|=3,則p=32所以拋物線方程為y2=3x.2.已知M是拋物線x2=4y上一點(diǎn),F為其焦點(diǎn),點(diǎn)A在圓C:(x+1)2+(y5)2=1上,則|MA|+|MF|的最小值是________.

【解析】由已知,由點(diǎn)M向拋物線x2=4y的準(zhǔn)線l:y=1引垂線,垂足為M1,則有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,結(jié)合圖形知|MA|+|MM1|的最小值等于圓心C(1,5)到y(tǒng)=1的距離再減去圓C的半徑,即等于61=5,所以|MA|+|MF|的最小值是5.答案:5已知點(diǎn)P(x,y)是拋物線