第1章 優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念3(白版)

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中國石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院自我介紹劉健中國石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院機(jī)械設(shè)計(jì)系(主樓3078392305liujian503@163.com姓名：辦公地點(diǎn)：電話：E-mail：計(jì)劃學(xué)時(shí)數(shù)：32學(xué)時(shí)（講課24學(xué)時(shí)上機(jī)8學(xué)時(shí)）使用教材孫靖民.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)（第三版）.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003學(xué)習(xí)參考書[1]高健.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)基礎(chǔ).北京：科學(xué)出版社，2000[2]陽明盛、羅長童，最優(yōu)化原理、方法及求解軟件.北京：科學(xué)出版社，2007[3]陳立周，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，北京：冶金工業(yè)出版社，2005[4]劉惟信.機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì).北京：清華大學(xué)出版社，1994課程介紹課時(shí)很少，起拋磚引玉的作用，給大家一個(gè)優(yōu)化思想，今后在研究、工作中如果用到，會(huì)很容易拾起來。作業(yè)紀(jì)律考試交作業(yè)、程序時(shí)間:根據(jù)課程進(jìn)度要求:關(guān)手機(jī)不要在下面開小會(huì)平時(shí)、作業(yè)、上機(jī)：20%

~30%期末考試(開卷）：70%

~80%第一章優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念

§1-1緒論§1-2優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的示例§1-3優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

§1-4優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法

優(yōu)化是萬物演化的自然選擇和必然趨勢。優(yōu)化作為一種觀念和意向，人類從很早開始就一直在自覺與不自覺地追求與探索。而優(yōu)化作為一門學(xué)科與技術(shù)，則是一切科學(xué)與技術(shù)所追求的永恒主題，旨在從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。優(yōu)化的原理與方法，在科學(xué)的、工程的和社會(huì)的實(shí)際問題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化設(shè)計(jì)。

優(yōu)化設(shè)計(jì)是在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一項(xiàng)新技術(shù)。是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法，以人機(jī)配合方式或“自動(dòng)探索”方式，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的半自動(dòng)或自動(dòng)設(shè)計(jì)，以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設(shè)計(jì)方案的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。

優(yōu)化設(shè)計(jì)反映出人們對于設(shè)計(jì)規(guī)律這一客觀世界認(rèn)識(shí)的深化?！?-1緒論1.優(yōu)化、優(yōu)化設(shè)計(jì)和機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的含義例如阿基米德證明：給定周長，圓所包圍的面積為最大。這就是歐洲古代城堡幾乎都建成圓形的原因。

為什么樹越接近根底越變粗？生物結(jié)構(gòu)的優(yōu)化（演變過程）優(yōu)化歷史自然演化——自然界人的潛意識(shí)上升到理論高度，人為（有目的）的降低成本意識(shí)的優(yōu)化Thelowestenergy,最低的能量例如，古代人類在生產(chǎn)和生活活動(dòng)中經(jīng)過無數(shù)次摸索認(rèn)識(shí)到，在使用同樣數(shù)量和質(zhì)量材料的條件下，圓截面的容器比其他任何截面的容器能夠盛放的谷物都要多，而且容器的強(qiáng)度也最大。我國宋代建筑師李誡在其著作《營造法式》一書中指出：圓木做成矩形截面梁的高寬比為三比二。上升到理論高度人為（有目的）的降低成本

（1）來源：優(yōu)化一語來自英文Optimization，其本意是尋優(yōu)的過程；（2）優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值（以max表示)或極小(以min表示)的過程。優(yōu)化方法也稱數(shù)學(xué)規(guī)劃，是用科學(xué)方法和手段進(jìn)行決策及確定最優(yōu)解的數(shù)學(xué)；（3）優(yōu)化設(shè)計(jì)：是借助最優(yōu)化數(shù)值計(jì)算方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)，求取工程問題的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。即：進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，首先必須將實(shí)際問題加以數(shù)學(xué)描述，形成一組由數(shù)學(xué)表達(dá)式組成的數(shù)學(xué)模型，然后選擇一種最優(yōu)化數(shù)值計(jì)算方法和計(jì)算機(jī)程序，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算求解，得到一組最佳的設(shè)計(jì)參數(shù)。

（4）優(yōu)化的目的TheBestPracticalUsage,最好的使用性能TheBestEconomicBenefits,最佳的經(jīng)濟(jì)效益TheBestSocialBenefits,最佳的社會(huì)效益TheLowestMaterialsUseandtheLowestMakingPrice,最低的材料消耗和最低的制造成本機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)就是把機(jī)械設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)理論及方法相結(jié)合，借助電子計(jì)算機(jī)，自動(dòng)尋找實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案和最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

常規(guī)設(shè)計(jì)流程2.優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展概況歷史上最早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀(jì)微積分的建立給出了求函數(shù)極值的一些準(zhǔn)則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。然而，在以后的兩個(gè)世紀(jì)中，最優(yōu)化技術(shù)的進(jìn)展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了變分法?！诺渥顑?yōu)化方法

直到本世紀(jì)40年代初（二戰(zhàn)期間），由于軍事上的需要產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)，并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭中的實(shí)際問題，例如轟炸機(jī)最佳俯沖軌跡的設(shè)計(jì)等。50年代末數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計(jì)中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容?！顑?yōu)化方法

近年來，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法已廣泛用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機(jī)床、汽車、自動(dòng)控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機(jī)、電器等工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域，并取得了顯著效果。其中在機(jī)械設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用如連桿機(jī)構(gòu)、凸輪機(jī)構(gòu)軌跡再現(xiàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，機(jī)器的速度波動(dòng)最小，一些機(jī)械零、部件的優(yōu)化設(shè)計(jì)如減速器、軸承、軸、彈簧、制動(dòng)器等結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化。一般說來，對于工程設(shè)計(jì)問題，所涉及的因素愈多，問題愈復(fù)雜，最優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果所取得的效益就愈大。

最優(yōu)化設(shè)計(jì)是在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是6O年代初電子計(jì)算機(jī)引入結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的設(shè)計(jì)方法。利用這種方法，不僅使設(shè)計(jì)周期大大縮短，計(jì)算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法所不能解決的比較復(fù)雜的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。大型電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，并在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。第一階段人類智能優(yōu)化：與人類史同步，直接憑借人類的直覺或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。隨著人類對自然界認(rèn)識(shí)的不斷深入，尋找最優(yōu)逐漸從下意識(shí)的、缺乏系統(tǒng)性的行為發(fā)展到目的明確的有意識(shí)活動(dòng)，并在數(shù)學(xué)工具日漸完善的基礎(chǔ)上，對各種尋找最優(yōu)的活動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述和分析，指導(dǎo)尋優(yōu)活動(dòng)更有效地進(jìn)行，從而形成了最優(yōu)化理論與方法這一應(yīng)用數(shù)學(xué)理論分支

第二階段數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)推動(dòng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來得到迅速發(fā)展。第三階段工程優(yōu)化：近二十余年來，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展給解決復(fù)雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問題。在處理多目標(biāo)工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗(yàn)和直覺的方法得到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過程和方法學(xué)研究，尤其是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。第四階段現(xiàn)代優(yōu)化方法：如遺傳算法、

模擬退火算法、

蟻群算法、

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動(dòng)選擇和優(yōu)化過程的自動(dòng)控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展?，F(xiàn)代智能優(yōu)化（啟發(fā)式）根據(jù)自然現(xiàn)象以直觀為基礎(chǔ)而構(gòu)成的，并具有大規(guī)模并行計(jì)算和智能特征的算法。廣義優(yōu)化——產(chǎn)品全系統(tǒng)、全性能、全壽命周期的優(yōu)化。廣義優(yōu)化與傳統(tǒng)優(yōu)化特征體系之間的比較機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例美國波音飛機(jī)公司對大型機(jī)翼用138個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運(yùn)輸艦用10個(gè)變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使成本降低約10%。實(shí)踐證明，最優(yōu)化設(shè)計(jì)是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設(shè)計(jì)方法。同時(shí)也可使設(shè)計(jì)者從大量繁瑣和重復(fù)的計(jì)算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)，并大大提高設(shè)計(jì)效率。例如，工廠在安排生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)，首先要考慮在現(xiàn)有原材料、設(shè)備、人力等資源條件下，如何安排生產(chǎn)，使產(chǎn)品的產(chǎn)值最高，或產(chǎn)生的利潤最大；又如，在多級火箭發(fā)射過程中，如何控制燃料的燃燒速率，從而用火箭所載的有限燃料使火箭達(dá)到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引導(dǎo)車輛的流向，盡量減少各個(gè)交叉路口的阻塞和等待時(shí)間、提高各條道路的車輛通行速度，在現(xiàn)有道路條件下取得最大的道路通行能力。3.優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用另外在最優(yōu)計(jì)劃、最優(yōu)管理和最優(yōu)控制等方面應(yīng)用也很廣泛?；A(chǔ)：（1）最優(yōu)化數(shù)學(xué)理論（2）現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)內(nèi)容：（1）將工程實(shí)際問題數(shù)學(xué)化；（建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型）（2）用最優(yōu)化計(jì)算方法在計(jì)算機(jī)上求解數(shù)學(xué)模型。優(yōu)化設(shè)計(jì)是一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法，是很好的工具。4.本課程的任務(wù)現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計(jì)方法OptimizationDesign優(yōu)化設(shè)計(jì)NumericalComputing數(shù)值計(jì)算SpecialKnowledge專業(yè)知識(shí)FundamentalKnowledge基礎(chǔ)知識(shí)Programming編程能力計(jì)算機(jī)該課程的主要目的和任務(wù)：

①了解和基本掌握優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本知識(shí)；②擴(kuò)大視野，增強(qiáng)優(yōu)化意識(shí)，并初步具有應(yīng)用優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本理論和基本方法解決工程實(shí)際問題的素質(zhì)?！?-2優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的示例優(yōu)化設(shè)計(jì)就是借助最優(yōu)化數(shù)值計(jì)算方法與計(jì)算機(jī)技術(shù)，求取工程問題的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。優(yōu)化設(shè)計(jì)包括：（1）必須將實(shí)際問題加以數(shù)學(xué)描述，形成數(shù)學(xué)模型；（2）選用適當(dāng)?shù)囊环N最優(yōu)化數(shù)值方法和計(jì)算程序運(yùn)算求解。

已知：制造一體積為100m3，長度不小于5m，不帶上蓋的箱盒，試確定箱盒的長x1，寬x2，高x3，使箱盒用料最省。分析：（1）箱盒的表面積的表達(dá)式；（2）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：長x1，寬x2，高x3；（3）設(shè)計(jì)約束條件： （a）體積要求； （b）長度要求；

x1x2x3箱盒的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：約束條件：某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)每種產(chǎn)品所需的材料、工時(shí)、電力和可獲得的利潤，以及能夠提供的材料、工時(shí)和電力見下表。試確定兩種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量，以使每天可能獲得的利潤最大。產(chǎn)品材料/kg工時(shí)/h電力/(kw.h)利潤/元甲93460乙4105120供應(yīng)量360300200最大產(chǎn)值生產(chǎn)資源分配問題

這是一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃問題，可歸結(jié)為既滿足各項(xiàng)生產(chǎn)條件，又使每天所能獲得的利潤達(dá)到最大的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。解：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x1件，乙產(chǎn)品x2件，每天獲得的利潤可用函數(shù)f(x1,x2)表示，即

f(x1,x2)=60x1+120x2

每天實(shí)際消耗的材料、工時(shí)和電力可分別用函數(shù)g1(x1,x2)、g2(x1,x2)和g3(x1,x2)表示，即西南科技大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育系列課程數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：約束條件：

已知：傳動(dòng)比i,轉(zhuǎn)速n,傳動(dòng)功率P，大小齒輪的材料，設(shè)計(jì)該齒輪副，使其重量最輕。分析：（1）圓柱齒輪的體積(v)與重量(w)的表達(dá)；（2）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：模數(shù)（m），齒寬（b），齒數(shù)（z1）；（3）設(shè)計(jì)約束條件： （a）大齒輪滿足彎曲強(qiáng)度要求； （b）小齒輪滿足彎曲強(qiáng)度要求； （c）齒輪副滿足接觸疲勞強(qiáng)度要求；（d）齒寬系數(shù)要求；

（e）最小齒數(shù)要求。直齒圓柱齒輪副的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：約束條件：§1-3

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

1.設(shè)計(jì)變量

設(shè)計(jì)變量是指在設(shè)計(jì)過程中可以進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)選的獨(dú)立參數(shù)。設(shè)計(jì)變量的選擇：應(yīng)該選擇那些與目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)密切相關(guān)的，能夠表達(dá)設(shè)計(jì)對象特征的基本參數(shù)。又叫做優(yōu)化參數(shù)。

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計(jì)條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。

設(shè)計(jì)變量的全體實(shí)際上是一組變量，可用一個(gè)列向量表示。設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如n個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱為n維設(shè)計(jì)問題。

由n個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間稱作設(shè)計(jì)空間。一個(gè)“設(shè)計(jì)”，可用設(shè)計(jì)空間中的一點(diǎn)表示。設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如n個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱為n維設(shè)計(jì)問題。１）連續(xù)變量：可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)連續(xù)取值的變量。

注：大多數(shù)機(jī)械優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)變量都屬于這種變量?？捎贸Ｒ?guī)的優(yōu)化方法進(jìn)行求解。２）離散變量：只能在給定數(shù)列或集合中取值的變量。

注：少數(shù)的機(jī)械優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)變量是離散變量，對于離散變量的優(yōu)化問題，可先將其視為連續(xù)變量，用常規(guī)的優(yōu)化方法最優(yōu)解。西南科技大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育系列課程

按照產(chǎn)品設(shè)計(jì)變量的取值特點(diǎn)，設(shè)計(jì)變量可分為連續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量（例如各種標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格等）。

圖1-1設(shè)計(jì)變量所組成的設(shè)計(jì)空間（a）二維設(shè)計(jì)問題（b）三維設(shè)計(jì)問題只有兩個(gè)設(shè)計(jì)變量的二維設(shè)計(jì)問題可用圖1-1（a）所示的平面直角坐標(biāo)表示；有三個(gè)設(shè)計(jì)變量的三維設(shè)計(jì)問題可用圖1-1（b）所表示的空間直角坐標(biāo)表示。

設(shè)計(jì)空間的維數(shù)表征設(shè)計(jì)的自由度，設(shè)計(jì)變量愈多，則設(shè)計(jì)的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設(shè)計(jì)愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈復(fù)雜。

小型設(shè)計(jì)問題：一般含有2—10個(gè)設(shè)計(jì)變量；中型設(shè)計(jì)問題：10—50個(gè)設(shè)計(jì)變量；大型設(shè)計(jì)問題：50個(gè)以上的設(shè)計(jì)變量。

維數(shù)災(zāi)難，以貨郎擔(dān)問題(又稱為旅行商問題、TSP問題)為例：有n個(gè)城市，一個(gè)推銷員要從其中某一個(gè)城市出發(fā)，唯一走遍所有的城市，再回到他出發(fā)的城市，求最短的路線。）城市數(shù)2425262728293031計(jì)算時(shí)間1s24s10min4.3h4.9d136.5d10.8y325y城市數(shù)與計(jì)算時(shí)間關(guān)系如何選定設(shè)計(jì)變量？

任何一項(xiàng)產(chǎn)品，是眾多設(shè)計(jì)變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會(huì)增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以設(shè)計(jì)變量時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）抓主要，舍次要。對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設(shè)計(jì)變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2）根據(jù)要解決設(shè)計(jì)問題的特殊性來選擇設(shè)計(jì)變量。例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設(shè)計(jì)變量有4個(gè)，即鋼絲直徑d，彈簧中徑D，工作圈數(shù)n和自由高度H。在設(shè)計(jì)中，將材料的許用剪切應(yīng)力和剪切模量Ｇ等作為設(shè)計(jì)常量。在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計(jì)彈簧，則可把彈簧中徑D作為設(shè)計(jì)常量。

2.約束條件

設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)方案的集合，但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上所不能接受的。如一個(gè)設(shè)計(jì)滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設(shè)計(jì)。一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。

約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：(1)等式約束(2)不等式約束顯式約束隱式約束

約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式,如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元等方法計(jì)算求得。根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：性能約束——是根據(jù)設(shè)計(jì)性能或指標(biāo)要求而定的一種約束條件。是對設(shè)計(jì)變量所加的間接變量。例如：零件的強(qiáng)度條件，剛度條件，穩(wěn)定性條件均屬于性能約束；邊界約束——對設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。是對設(shè)計(jì)變量本身所加的直接限制。例如，允許機(jī)床主軸選擇的尺寸范圍，對軸段長度的限定范圍就屬于邊界約束。3、可行域每一個(gè)不等式或等式約束都將設(shè)計(jì)空間分為兩個(gè)部分，滿足所有約束的部分形成一個(gè)交集，該交集稱為此約束問題的可行域，記作D?？尚杏蚩煽醋鳚M足所有約束條件的所構(gòu)成的空間（設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合），因此，可用集合式表示如下：西南科技大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育系列課程下約束優(yōu)化問題可簡記為。圖1-2設(shè)計(jì)空間中的約束面（或約束線）(a)二變量設(shè)計(jì)空間中的約束線(b)三變量設(shè)計(jì)空間中的約束面

如圖1-3上畫出了滿足兩項(xiàng)約束條件g1（X）=x12＋x22—16≤O和g2（X）＝2—X2≤0的二維設(shè)計(jì)問題的可行域D，它位于X2=2的上面和圓x12＋x22=16的圓弧ABC下面并包括線段AC和圓弧ABC在內(nèi)。圖1-3約束條件規(guī)定的可行域D圖1-4線性約束下的可行域此題的約束可行域是由約束邊界線圍成的封閉五邊形OABCD。西南科技大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育系列課程3.目標(biāo)函數(shù)在優(yōu)化過程中，通過設(shè)計(jì)變量的不斷向F(X)值改善的方向自動(dòng)調(diào)整，最后求得F(X)值最好或最滿意的X值。在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計(jì)變量，所有的設(shè)計(jì)變量必須包含在約束函數(shù)中。在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有：體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、能耗最小、動(dòng)負(fù)荷最小等等。

為了對設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評價(jià)，必須構(gòu)造包含設(shè)計(jì)變量的評價(jià)函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)，以F(X)表示。在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，稱為單目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)，這種問題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，設(shè)計(jì)的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復(fù)雜。在實(shí)際工程設(shè)計(jì)問題中，常常會(huì)遇到在多目標(biāo)函數(shù)的某些目標(biāo)之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計(jì)者正確處理各目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系。

目標(biāo)函數(shù)等值（線）面目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設(shè)計(jì)空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。對于簡單的問題，可用等值線或等值面來描述函數(shù)的變化趨勢，還可以直觀地給出極值點(diǎn)的位置。目標(biāo)函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達(dá)式為：c為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維設(shè)計(jì)空間中，F(xiàn)(x1,x2)=c代表x-x設(shè)計(jì)平面上的一族曲線。對于具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成的平面曲線或曲面稱為等值線或等值面。圖1-4等值線

圖1-4表示目標(biāo)函數(shù)f（X）與兩個(gè)設(shè)計(jì)變量x1，x2所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)所構(gòu)成的平面曲線。當(dāng)給目標(biāo)函數(shù)以不同值時(shí)，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的等值線族。在極值處目標(biāo)函數(shù)的等值線聚成一點(diǎn)，并位于等值線族的中心。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值的變化范圍一定時(shí)，等值線愈稀疏說明目標(biāo)函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律。從等值線上，可以清除地看到函數(shù)值的變化情況。其中f=40的等值線就是使f(x1,x2)=40的各點(diǎn)[x1,x2]T所組成的連線。如圖函數(shù)的等值線圖。圖1-5等值線簇目標(biāo)函數(shù)f(x)＝一60x1一120x2的等值線族。這是一組相互平行的直線，函數(shù)值沿箭頭所指方間逐漸下降。如圖所示。1-6線性函數(shù)的等值線簇西南科技大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育系列課程用Matlab可畫出該函數(shù)的等高線。

可行域與等值線x﹡g1

(x)＝0g2

(x)＝0g3

(x)＝0圖1-7可行域與等值線4.優(yōu)化設(shè)計(jì)問題一般數(shù)學(xué)形式：滿足約束條件：求設(shè)計(jì)變量向量使目標(biāo)函數(shù)對于復(fù)雜的問題，要建立能反映客觀工程實(shí)際的、完善的數(shù)學(xué)模型往往會(huì)遇到很多困難，有時(shí)甚至比求解更為復(fù)雜。這時(shí)要抓住關(guān)鍵因素，適當(dāng)忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可節(jié)省時(shí)間，有時(shí)也會(huì)改善優(yōu)化結(jié)果。最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)通常為求目標(biāo)函數(shù)的最小值。若目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)為可行域中的最大值時(shí)，則可看成是求［-F（X）］的最小值，因?yàn)閙in［-F（X）］與maxF（X）是等價(jià)的。當(dāng)然，也可看成是求1／F（X）的極小值。5.建模實(shí)例

1）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗(yàn)等，對優(yōu)化對象進(jìn)行分析。必要時(shí)，需要對傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中的公式進(jìn)行改進(jìn)，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)步的成果。2）對結(jié)構(gòu)諸參數(shù)進(jìn)行分析，以確定設(shè)計(jì)的原始參數(shù)、設(shè)計(jì)常數(shù)和設(shè)計(jì)變量。3）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時(shí)要構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)。4）必要時(shí)對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化，以消除諸組成項(xiàng)間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型一般步驟：人字架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

受力分析圖圓桿截面圖