第1章 優(yōu)化設計的基本概念3(白版)

機械優(yōu)化設計中國石油大學機電工程學院自我介紹劉健中國石油大學機電工程學院機械設計系(主樓3078392305liujian503@163.com姓名：辦公地點：電話：E-mail：計劃學時數(shù)：32學時（講課24學時上機8學時）使用教材孫靖民.機械優(yōu)化設計（第三版）.北京：機械工業(yè)出版社，2003學習參考書[1]高健.機械優(yōu)化設計基礎.北京：科學出版社，2000[2]陽明盛、羅長童，最優(yōu)化原理、方法及求解軟件.北京：科學出版社，2007[3]陳立周，機械優(yōu)化設計方法，北京：冶金工業(yè)出版社，2005[4]劉惟信.機械最優(yōu)化設計.北京：清華大學出版社，1994課程介紹課時很少，起拋磚引玉的作用，給大家一個優(yōu)化思想，今后在研究、工作中如果用到，會很容易拾起來。作業(yè)紀律考試交作業(yè)、程序時間:根據(jù)課程進度要求:關手機不要在下面開小會平時、作業(yè)、上機：20%

~30%期末考試(開卷）：70%

~80%第一章優(yōu)化設計的基本概念

§1-1緒論§1-2優(yōu)化設計問題的示例§1-3優(yōu)化設計的數(shù)學模型

§1-4優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法

優(yōu)化是萬物演化的自然選擇和必然趨勢。優(yōu)化作為一種觀念和意向，人類從很早開始就一直在自覺與不自覺地追求與探索。而優(yōu)化作為一門學科與技術(shù)，則是一切科學與技術(shù)所追求的永恒主題，旨在從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。優(yōu)化的原理與方法，在科學的、工程的和社會的實際問題中的應用，便是優(yōu)化設計。

優(yōu)化設計是在現(xiàn)代計算機廣泛應用的基礎上發(fā)展起來的一項新技術(shù)。是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法，以人機配合方式或“自動探索”方式，在計算機上進行的半自動或自動設計，以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設計方案的一種現(xiàn)代設計方法。

優(yōu)化設計反映出人們對于設計規(guī)律這一客觀世界認識的深化?！?-1緒論1.優(yōu)化、優(yōu)化設計和機械優(yōu)化設計的含義例如阿基米德證明：給定周長，圓所包圍的面積為最大。這就是歐洲古代城堡幾乎都建成圓形的原因。

為什么樹越接近根底越變粗？生物結(jié)構(gòu)的優(yōu)化（演變過程）優(yōu)化歷史自然演化——自然界人的潛意識上升到理論高度，人為（有目的）的降低成本意識的優(yōu)化Thelowestenergy,最低的能量例如，古代人類在生產(chǎn)和生活活動中經(jīng)過無數(shù)次摸索認識到，在使用同樣數(shù)量和質(zhì)量材料的條件下，圓截面的容器比其他任何截面的容器能夠盛放的谷物都要多，而且容器的強度也最大。我國宋代建筑師李誡在其著作《營造法式》一書中指出：圓木做成矩形截面梁的高寬比為三比二。上升到理論高度人為（有目的）的降低成本

（1）來源：優(yōu)化一語來自英文Optimization，其本意是尋優(yōu)的過程；（2）優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值（以max表示)或極小(以min表示)的過程。優(yōu)化方法也稱數(shù)學規(guī)劃，是用科學方法和手段進行決策及確定最優(yōu)解的數(shù)學；（3）優(yōu)化設計：是借助最優(yōu)化數(shù)值計算方法和計算機技術(shù)，求取工程問題的最優(yōu)設計方案。即：進行最優(yōu)化設計時，首先必須將實際問題加以數(shù)學描述，形成一組由數(shù)學表達式組成的數(shù)學模型，然后選擇一種最優(yōu)化數(shù)值計算方法和計算機程序，在計算機上運算求解，得到一組最佳的設計參數(shù)。

（4）優(yōu)化的目的TheBestPracticalUsage,最好的使用性能TheBestEconomicBenefits,最佳的經(jīng)濟效益TheBestSocialBenefits,最佳的社會效益TheLowestMaterialsUseandtheLowestMakingPrice,最低的材料消耗和最低的制造成本機械優(yōu)化設計就是把機械設計與優(yōu)化設計理論及方法相結(jié)合，借助電子計算機，自動尋找實現(xiàn)預期目標的最優(yōu)設計方案和最佳設計參數(shù)。優(yōu)化設計流程

常規(guī)設計流程2.優(yōu)化設計的發(fā)展概況歷史上最早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀微積分的建立給出了求函數(shù)極值的一些準則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎。然而，在以后的兩個世紀中，最優(yōu)化技術(shù)的進展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了變分法?！诺渥顑?yōu)化方法

直到本世紀40年代初（二戰(zhàn)期間），由于軍事上的需要產(chǎn)生了運籌學，并使優(yōu)化技術(shù)首先應用于解決戰(zhàn)爭中的實際問題，例如轟炸機最佳俯沖軌跡的設計等。50年代末數(shù)學規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設計中求優(yōu)方法的理論基礎。數(shù)學規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一個新的數(shù)學分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容?！顑?yōu)化方法

近年來，最優(yōu)化設計方法已廣泛用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車、自動控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機、電器等工程設計領域，并取得了顯著效果。其中在機械設計方面的應用如連桿機構(gòu)、凸輪機構(gòu)軌跡再現(xiàn)的優(yōu)化設計，機器的速度波動最小，一些機械零、部件的優(yōu)化設計如減速器、軸承、軸、彈簧、制動器等結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化。一般說來，對于工程設計問題，所涉及的因素愈多，問題愈復雜，最優(yōu)化設計結(jié)果所取得的效益就愈大。

最優(yōu)化設計是在數(shù)學規(guī)劃方法的基礎上發(fā)展起來的，是6O年代初電子計算機引入結(jié)構(gòu)設計領域后逐步形成的一種有效的設計方法。利用這種方法，不僅使設計周期大大縮短，計算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設計方法所不能解決的比較復雜的最優(yōu)化設計問題。大型電子計算機的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應用數(shù)學中的一個重要分支，并在許多科學技術(shù)領域中得到應用。第一階段人類智能優(yōu)化：與人類史同步，直接憑借人類的直覺或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。隨著人類對自然界認識的不斷深入，尋找最優(yōu)逐漸從下意識的、缺乏系統(tǒng)性的行為發(fā)展到目的明確的有意識活動，并在數(shù)學工具日漸完善的基礎上，對各種尋找最優(yōu)的活動進行數(shù)學描述和分析，指導尋優(yōu)活動更有效地進行，從而形成了最優(yōu)化理論與方法這一應用數(shù)學理論分支

第二階段數(shù)學規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計算機的出現(xiàn)推動數(shù)學規(guī)劃方法在近五十年來得到迅速發(fā)展。第三階段工程優(yōu)化：近二十余年來，計算機技術(shù)的發(fā)展給解決復雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學領域?qū)＜议_發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問題。在處理多目標工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗和直覺的方法得到了更多的應用。優(yōu)化過程和方法學研究，尤其是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。第四階段現(xiàn)代優(yōu)化方法：如遺傳算法、

模擬退火算法、

蟻群算法、

神經(jīng)網(wǎng)絡算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動選擇和優(yōu)化過程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展?，F(xiàn)代智能優(yōu)化（啟發(fā)式）根據(jù)自然現(xiàn)象以直觀為基礎而構(gòu)成的，并具有大規(guī)模并行計算和智能特征的算法。廣義優(yōu)化——產(chǎn)品全系統(tǒng)、全性能、全壽命周期的優(yōu)化。廣義優(yōu)化與傳統(tǒng)優(yōu)化特征體系之間的比較機械優(yōu)化設計應用實例美國波音飛機公司對大型機翼用138個設計變量進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運輸艦用10個變量進行優(yōu)化設計，使成本降低約10%。實踐證明，最優(yōu)化設計是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設計方法。同時也可使設計者從大量繁瑣和重復的計算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設計，并大大提高設計效率。例如，工廠在安排生產(chǎn)計劃時，首先要考慮在現(xiàn)有原材料、設備、人力等資源條件下，如何安排生產(chǎn)，使產(chǎn)品的產(chǎn)值最高，或產(chǎn)生的利潤最大；又如，在多級火箭發(fā)射過程中，如何控制燃料的燃燒速率，從而用火箭所載的有限燃料使火箭達到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引導車輛的流向，盡量減少各個交叉路口的阻塞和等待時間、提高各條道路的車輛通行速度，在現(xiàn)有道路條件下取得最大的道路通行能力。3.優(yōu)化設計的應用另外在最優(yōu)計劃、最優(yōu)管理和最優(yōu)控制等方面應用也很廣泛?；A：（1）最優(yōu)化數(shù)學理論（2）現(xiàn)代計算技術(shù)內(nèi)容：（1）將工程實際問題數(shù)學化；（建立優(yōu)化設計數(shù)學模型）（2）用最優(yōu)化計算方法在計算機上求解數(shù)學模型。優(yōu)化設計是一種現(xiàn)代設計方法，是很好的工具。4.本課程的任務現(xiàn)代優(yōu)化設計方法OptimizationDesign優(yōu)化設計NumericalComputing數(shù)值計算SpecialKnowledge專業(yè)知識FundamentalKnowledge基礎知識Programming編程能力計算機該課程的主要目的和任務：

①了解和基本掌握優(yōu)化設計的基本知識；②擴大視野，增強優(yōu)化意識，并初步具有應用優(yōu)化設計的基本理論和基本方法解決工程實際問題的素質(zhì)?！?-2優(yōu)化設計問題的示例優(yōu)化設計就是借助最優(yōu)化數(shù)值計算方法與計算機技術(shù)，求取工程問題的最優(yōu)設計方案。優(yōu)化設計包括：（1）必須將實際問題加以數(shù)學描述，形成數(shù)學模型；（2）選用適當?shù)囊环N最優(yōu)化數(shù)值方法和計算程序運算求解。

已知：制造一體積為100m3，長度不小于5m，不帶上蓋的箱盒，試確定箱盒的長x1，寬x2，高x3，使箱盒用料最省。分析：（1）箱盒的表面積的表達式；（2）設計參數(shù)確定：長x1，寬x2，高x3；（3）設計約束條件： （a）體積要求； （b）長度要求；

x1x2x3箱盒的優(yōu)化設計數(shù)學模型設計參數(shù)：設計目標：約束條件：某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)每種產(chǎn)品所需的材料、工時、電力和可獲得的利潤，以及能夠提供的材料、工時和電力見下表。試確定兩種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量，以使每天可能獲得的利潤最大。產(chǎn)品材料/kg工時/h電力/(kw.h)利潤/元甲93460乙4105120供應量360300200最大產(chǎn)值生產(chǎn)資源分配問題

這是一個生產(chǎn)計劃問題，可歸結(jié)為既滿足各項生產(chǎn)條件，又使每天所能獲得的利潤達到最大的優(yōu)化設計問題。解：設每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x1件，乙產(chǎn)品x2件，每天獲得的利潤可用函數(shù)f(x1,x2)表示，即

f(x1,x2)=60x1+120x2

每天實際消耗的材料、工時和電力可分別用函數(shù)g1(x1,x2)、g2(x1,x2)和g3(x1,x2)表示，即西南科技大學網(wǎng)絡教育系列課程數(shù)學模型設計參數(shù)：設計目標：約束條件：

已知：傳動比i,轉(zhuǎn)速n,傳動功率P，大小齒輪的材料，設計該齒輪副，使其重量最輕。分析：（1）圓柱齒輪的體積(v)與重量(w)的表達；（2）設計參數(shù)確定：模數(shù)（m），齒寬（b），齒數(shù)（z1）；（3）設計約束條件： （a）大齒輪滿足彎曲強度要求； （b）小齒輪滿足彎曲強度要求； （c）齒輪副滿足接觸疲勞強度要求；（d）齒寬系數(shù)要求；

（e）最小齒數(shù)要求。直齒圓柱齒輪副的優(yōu)化設計數(shù)學模型設計參數(shù)：設計目標：約束條件：§1-3

優(yōu)化設計的數(shù)學模型

1.設計變量

設計變量是指在設計過程中可以進行調(diào)整和優(yōu)選的獨立參數(shù)。設計變量的選擇：應該選擇那些與目標函數(shù)和約束函數(shù)密切相關的，能夠表達設計對象特征的基本參數(shù)。又叫做優(yōu)化參數(shù)。

優(yōu)化設計的數(shù)學模型是描述實際優(yōu)化問題的設計內(nèi)容、變量關系、有關設計條件和意圖的數(shù)學表達式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進行優(yōu)化設計的基礎。

設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示。設計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設計的維數(shù)，如n個設計變量，則稱為n維設計問題。

由n個設計變量為坐標所組成的實空間稱作設計空間。一個“設計”，可用設計空間中的一點表示。設計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設計的維數(shù)，如n個設計變量，則稱為n維設計問題。１）連續(xù)變量：可以在實數(shù)范圍內(nèi)連續(xù)取值的變量。

注：大多數(shù)機械優(yōu)化問題的設計變量都屬于這種變量。可用常規(guī)的優(yōu)化方法進行求解。２）離散變量：只能在給定數(shù)列或集合中取值的變量。

注：少數(shù)的機械優(yōu)化問題的設計變量是離散變量，對于離散變量的優(yōu)化問題，可先將其視為連續(xù)變量，用常規(guī)的優(yōu)化方法最優(yōu)解。西南科技大學網(wǎng)絡教育系列課程

按照產(chǎn)品設計變量的取值特點，設計變量可分為連續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量（例如各種標準規(guī)格等）。

圖1-1設計變量所組成的設計空間（a）二維設計問題（b）三維設計問題只有兩個設計變量的二維設計問題可用圖1-1（a）所示的平面直角坐標表示；有三個設計變量的三維設計問題可用圖1-1（b）所表示的空間直角坐標表示。

設計空間的維數(shù)表征設計的自由度，設計變量愈多，則設計的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設計愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈復雜。

小型設計問題：一般含有2—10個設計變量；中型設計問題：10—50個設計變量；大型設計問題：50個以上的設計變量。

維數(shù)災難，以貨郎擔問題(又稱為旅行商問題、TSP問題)為例：有n個城市，一個推銷員要從其中某一個城市出發(fā)，唯一走遍所有的城市，再回到他出發(fā)的城市，求最短的路線。）城市數(shù)2425262728293031計算時間1s24s10min4.3h4.9d136.5d10.8y325y城市數(shù)與計算時間關系如何選定設計變量？

任何一項產(chǎn)品，是眾多設計變量標志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以設計變量時應注意以下幾點：（1）抓主要，舍次要。對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設計變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2）根據(jù)要解決設計問題的特殊性來選擇設計變量。例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設計變量有4個，即鋼絲直徑d，彈簧中徑D，工作圈數(shù)n和自由高度H。在設計中，將材料的許用剪切應力和剪切模量Ｇ等作為設計常量。在給定徑向空間內(nèi)設計彈簧，則可把彈簧中徑D作為設計常量。

2.約束條件

設計空間是所有設計方案的集合，但這些設計方案有些是工程上所不能接受的。如一個設計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設計。一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。

約束又可按其數(shù)學表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：(1)等式約束(2)不等式約束顯式約束隱式約束

約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設計變量之間明顯的函數(shù)關系，有的只能表示成隱式形式,如例中的復雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：性能約束——是根據(jù)設計性能或指標要求而定的一種約束條件。是對設計變量所加的間接變量。例如：零件的強度條件，剛度條件，穩(wěn)定性條件均屬于性能約束；邊界約束——對設計變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。是對設計變量本身所加的直接限制。例如，允許機床主軸選擇的尺寸范圍，對軸段長度的限定范圍就屬于邊界約束。3、可行域每一個不等式或等式約束都將設計空間分為兩個部分，滿足所有約束的部分形成一個交集，該交集稱為此約束問題的可行域，記作D?？尚杏蚩煽醋鳚M足所有約束條件的所構(gòu)成的空間（設計點的集合），因此，可用集合式表示如下：西南科技大學網(wǎng)絡教育系列課程下約束優(yōu)化問題可簡記為。圖1-2設計空間中的約束面（或約束線）(a)二變量設計空間中的約束線(b)三變量設計空間中的約束面

如圖1-3上畫出了滿足兩項約束條件g1（X）=x12＋x22—16≤O和g2（X）＝2—X2≤0的二維設計問題的可行域D，它位于X2=2的上面和圓x12＋x22=16的圓弧ABC下面并包括線段AC和圓弧ABC在內(nèi)。圖1-3約束條件規(guī)定的可行域D圖1-4線性約束下的可行域此題的約束可行域是由約束邊界線圍成的封閉五邊形OABCD。西南科技大學網(wǎng)絡教育系列課程3.目標函數(shù)在優(yōu)化過程中，通過設計變量的不斷向F(X)值改善的方向自動調(diào)整，最后求得F(X)值最好或最滿意的X值。在構(gòu)造目標函數(shù)時，應注意目標函數(shù)必須包含全部設計變量，所有的設計變量必須包含在約束函數(shù)中。在機械設計中，可作為參考目標函數(shù)的有：體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、能耗最小、動負荷最小等等。

為了對設計進行定量評價，必須構(gòu)造包含設計變量的評價函數(shù)，它是優(yōu)化的目標，稱為目標函數(shù)，以F(X)表示。在最優(yōu)化設計問題中，可以只有一個目標函數(shù)，稱為單目標函數(shù)。當在同一設計中要提出多個目標函數(shù)時，這種問題稱為多目標函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化設計中，多目標函數(shù)的情況較多。目標函數(shù)愈多，設計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復雜。在實際工程設計問題中，常常會遇到在多目標函數(shù)的某些目標之間存在矛盾的情況，這就要求設計者正確處理各目標函數(shù)之間的關系。

目標函數(shù)等值（線）面目標函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設計空間中反映目標函數(shù)的變化情況，常采用目標函數(shù)等值面的方法。對于簡單的問題，可用等值線或等值面來描述函數(shù)的變化趨勢，還可以直觀地給出極值點的位置。目標函數(shù)的等值面（線）數(shù)學表達式為：c為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維設計空間中，F(xiàn)(x1,x2)=c代表x-x設計平面上的一族曲線。對于具有相等目標函數(shù)值的設計點構(gòu)成的平面曲線或曲面稱為等值線或等值面。圖1-4等值線

圖1-4表示目標函數(shù)f（X）與兩個設計變量x1，x2所構(gòu)成的關系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標函數(shù)值的設計點所構(gòu)成的平面曲線。當給目標函數(shù)以不同值時，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標函數(shù)的等值線族。在極值處目標函數(shù)的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當目標函數(shù)值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標函數(shù)的變化規(guī)律。從等值線上，可以清除地看到函數(shù)值的變化情況。其中f=40的等值線就是使f(x1,x2)=40的各點[x1,x2]T所組成的連線。如圖函數(shù)的等值線圖。圖1-5等值線簇目標函數(shù)f(x)＝一60x1一120x2的等值線族。這是一組相互平行的直線，函數(shù)值沿箭頭所指方間逐漸下降。如圖所示。1-6線性函數(shù)的等值線簇西南科技大學網(wǎng)絡教育系列課程用Matlab可畫出該函數(shù)的等高線。

可行域與等值線x﹡g1

(x)＝0g2

(x)＝0g3

(x)＝0圖1-7可行域與等值線4.優(yōu)化設計問題一般數(shù)學形式：滿足約束條件：求設計變量向量使目標函數(shù)對于復雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數(shù)學模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復雜。這時要抓住關鍵因素，適當忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數(shù)學模型，這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結(jié)果。最優(yōu)化設計的目標函數(shù)通常為求目標函數(shù)的最小值。若目標函數(shù)的最優(yōu)點為可行域中的最大值時，則可看成是求［-F（X）］的最小值，因為min［-F（X）］與maxF（X）是等價的。當然，也可看成是求1／F（X）的極小值。5.建模實例

1）根據(jù)設計要求，應用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等，對優(yōu)化對象進行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設計中的公式進行改進，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進步的成果。2）對結(jié)構(gòu)諸參數(shù)進行分析，以確定設計的原始參數(shù)、設計常數(shù)和設計變量。3）根據(jù)設計要求，確定并構(gòu)造目標函數(shù)和相應的約束條件，有時要構(gòu)造多目標函數(shù)。4）必要時對數(shù)學模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。建立優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型一般步驟：人字架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計

受力分析圖圓桿截面圖