3.7.2 線性方程組求解_第1頁(yè)
3.7.2 線性方程組求解_第2頁(yè)
3.7.2 線性方程組求解_第3頁(yè)
3.7.2 線性方程組求解_第4頁(yè)
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第3章

矩

陣主要內(nèi)容矩陣的概念矩陣的運(yùn)算逆矩陣分塊矩陣矩陣的初等變換與初等矩陣矩陣的秩線性方程組的解§3.7線性方程組的解本節(jié)主要內(nèi)容方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系線性方程組的解的判定線性方程組的解法例1求解非齊次線性方程組解：R(A)=R(A,b)=3<4，故原線性方程組有無限多解．三、線性方程組的解法解（續(xù)）：即得與原方程組同解的方程組令x3

做自由變量，則令x3=c，則方程組的通解可表示為

例2求解非齊次線性方程組解：R(A)=2，R(A,b)=3，故原線性方程組無解．三、線性方程組的解法例3求解齊次線性方程組三、線性方程組的解法解：解（續(xù)）：即得與原方程組同解的方程組令

做自由變量，則令則方程組的通解可表示為

矩陣方程AX=B

有解的充分必要條件是

R(A)=R(A,B)．定理1證明：設(shè)A

是m×n

矩陣，B

是m×s

矩陣，X

是n×s矩陣.把X

和B

按列分塊，記作X=(x1,x2,…,xs

)，B=(b1,b2,…,bs

)則矩陣方程AX=B

有解線性方程組Axi=bi

有解

R(A)=R(A,bi)

設(shè)R(A)=r，A的行最簡(jiǎn)形矩陣為，則有r

個(gè)非零行，且的后m－r

行全是零．再設(shè)從而

矩陣方程AX=B

有解線性方程組Axi=bi

有解

R(A)=R(A,bi)的后m－r

行全是零的后m－r

行全是零

R(A)=R(A,B)．

定理2設(shè)AB=C

，則R(C)≤min{R(A),R(B)}．證明：因?yàn)锳B=C

，所以矩陣方程AX=C

有解

X=B，于是R(A)=R(A,C)．R(C)≤R(A,C)，故R(C)≤R(A)．又(AB)T=CT，即BTAT=CT，所以矩陣方程BTX

=CT有解X=AT，于是R(C)=R(CT)≤R(BT,CT)=R(BT)=R(B)．綜上所述，可知R(C)≤min{R(A),R(B)}．思考題討論線性方程組當(dāng)p,q取何值時(shí),方程組無解?有唯一解?有無窮多解?在方程組有無窮多解的情況下,求出通解.思考題解答(1)當(dāng)p

2時(shí),R(A)=R(B)=4,方程組有唯一解.(2)當(dāng)p=2時(shí),有1)當(dāng)q

1時(shí),R(A)=3<R(B

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