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文檔簡介

矩陣的三角分解主講孟純軍3.2矩陣的三角分解法我們知道對矩陣進(jìn)行一次初等變換，就相當(dāng)于用相應(yīng)的初等矩陣去左乘原來的矩陣。因此我們這個(gè)觀點(diǎn)來考察Gauss消元法用矩陣乘法來表示，即可得到求解線性方程組的另一種直接法：矩陣的三角分解。

3.2.1Gauss消元法的矩陣形式3.2.2Doolittle分解Doolittle分解若矩陣A有分解：A=LU，其中L為單位下三角陣，U為上三角陣，則稱該分解為Doolittle分解，可以證明，當(dāng)A的各階順序主子式均不為零時(shí)，Doolittle分解可以實(shí)現(xiàn)并且唯一。A的各階順序主子式均不為零，即Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解例題例題例題例題例題Doolittle分解Crout分解若矩陣A有分解：A=LU，其中L為下三角陣，U為單位上三角陣，則稱該分解為Crout分解，若矩陣A的Doolitlle分解為A=LU，則矩陣AT的Crout分解為UTLT。所以得到計(jì)算Crout分解的計(jì)算方法如下：Cruou分解Crout分解3.2.3對稱正定矩陣的Cholesky分解在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，線性方程組大多數(shù)的系數(shù)矩陣為對稱正定這一性質(zhì)，因此利用對稱正定矩陣的三角分解式求解對稱正定方程組的一種有效方法，且分解過程無需選主元，有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。對稱正定矩陣的Cholesky分解A對稱：AT=AA正定：A的各階順序主子式均大于零。即

對稱正定矩陣的Cholesky分解

對稱矩陣的Cholesky分解定理3.2.4設(shè)A為對稱正定矩陣，則存在唯一分解A=LDLT，其中L為單位下三角陣，D=diag(d1,d2,…,dn)且di>0(i=1,…,n)對稱矩陣的Cholesky分解證明：

對稱矩陣的Cholesky分解對稱矩陣的Cholesky分解對稱矩陣的Cholesky分解推

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