第二課時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及其應用

第二課時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及其應用[典例1]

(1)等差數(shù)列前n項的和為30，前2n項的和為100，則它的前3n項的和為

(

)A．130 B．170C．210 D．260(2)等差數(shù)列{an}共有2n＋1項，所有的奇數(shù)項之和為132，所有的偶數(shù)項之和為120，則n等于________．[方法技巧]利用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)解題時，一是要注意判斷等差數(shù)列中的項數(shù)，二是注意整體思想在解題中的應用．[對點練清]1．設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若S3＝27，S6＝81，則S12＝

(

)A．270

B．108C．162 D．150解析：∵S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差數(shù)列，且該數(shù)列的公差d＝S6－S3－S3＝27，∴S9－S6＝S3＋2d＝81，S12－S9＝S3＋3d＝108，∴S9＝162，S12＝270.答案：A

2．一個等差數(shù)列前20項和為75，其中的奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比為1∶2，則公差d＝________.題型二等差數(shù)列前n項和的最值問題

[學透用活][典例2]在等差數(shù)列{an}中，公差為d，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．(3)尋求正、負項交替點法，即利用等差數(shù)列的性質(zhì)，找到數(shù)列中正數(shù)項與負數(shù)項交替變換的位置，其實質(zhì)仍然是找到數(shù)列中最后的一個非正數(shù)項(或非負數(shù)項)，然后確定Sn的最值．

[對點練清]1．已知{an}是等差數(shù)列，a1＝－26，a8＋a13＝5，當{an}的前n項和Sn取最小值時，n等于

(

)A．8 B．9C．10 D．112．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S13＞0，S14＜0，則Sn取最大值時n的值為

(

)A．6 B．7C．8 D．13解析：根據(jù)S13＞0，S14＜0，可以確定a1＋a13＝2a7＞0，a1＋a14＝a7＋a8＜0，∴可以得到a7＞0，a8＜0，∴Sn取最大值時n的值為7.故選B.答案：B

題型三等差數(shù)列前n項和的實際應用問題

[學透用活][典例3]在我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關的設計．例如，北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成(如圖)，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈．請問：(1)第9圈共有多少塊石板？(2)前9圈一共有多少塊石板？[對點練清]中國植樹節(jié)定于每年的3月12日，是中國為激發(fā)人們愛林、造林的熱情，促進國土綠化，保護人類賴以生存的生態(tài)環(huán)境，通過立法確定的節(jié)日．某班41名同學打算在明年的植樹節(jié)這一天，在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米．開始時需將樹苗集中放置在第n(n＝1,2，…，41)個樹坑旁邊，則將樹苗集中放置在第________個樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領取樹苗往返所走的路程總和最?。甗課堂思維激活]一、綜合性——強調(diào)融會貫通1．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＋an＝4n－1，n∈N*.求數(shù)列{an}的前n項和Sn.二、應用性——強調(diào)學以致用2．《張丘建算經(jīng)》是公元5世紀中國古代內(nèi)容豐富的數(shù)學著作，書中卷上第二十三問：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問半月積幾何？”其意思為“有個女子織布，每天比前一天多織相同量的布，第一天織5尺，一個月(按30天計)共織布9匹3丈．問：前半個月(按15天計)共織多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半個月一共織的布約有

(

)A．195尺

B．133尺C．130尺

D．135尺

三、創(chuàng)新性——強調(diào)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維3．已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且a5＝1，________.若存在正整數(shù)n，使得Sn有最小值．(1)求{an}的通項公式；(2)求Sn