二次函數(shù)知識點總結(jié)[1]

1、二次函數(shù)知識點一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念： 一般地，形如y ax2bx c，c是常數(shù)， a 0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這（ a ，b里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a0 ，而 b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù) y ax2 bx c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項系數(shù)， b 是一次項系數(shù)， c 是常數(shù)項二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：yax2 的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a00 ，0x0 時，

2、y 隨 x 的增大而增大；x 0 時， y 隨向上y 軸x 的增大而減??； x0 時， y 有最小值 0 a00 ，0x0 時， y 隨 x 的增大而減??；x 0 時， y 隨向下y 軸x 的增大而增大； x0 時， y 有最大值 0 2. y ax2 c 的性質(zhì)：上加下減。a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a0向上0 ，cy 軸x0 時， y 隨 x 的增大而增大； x 0 時， y 隨x 的增大而減小； x 0 時， y 有最小值 c a0向下0 ，cy 軸x0 時， y 隨 x 的增大而減??； x 0 時， y 隨x 的增大而增大； x 0 時， y 有最大值 c 3. ya x2的性

3、質(zhì)：h左加右減。a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a0向上h ，0X=hxh 時， y 隨 x 的增大而增大； x h 時， y 隨x 的增大而減??； x h 時， y 有最小值 0 a0向下h ，0X=hxh 時， y 隨 x 的增大而減??； x h 時， y 隨x 的增大而增大； x h 時， y 有最大值 0 14. y a x2k 的性質(zhì)：ha 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a0h ，kxh 時， y 隨 x 的增大而增大；x h 時， y 隨向上X=hx 的增大而減??；x h 時， y 有最小值 k a0h ，kxh 時， y 隨 x 的增大而減小；x h 時， y 隨向下X=h

4、x 的增大而增大；x h 時， y 有最大值 k 三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng) a x h2h ，k；k ，確定其頂點坐標 保持拋物線 yax2 的形狀不變，將其頂點平移到h，k 處，具體平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|個單位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】向右 ( h>0) 【或左 ( h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|個單位平移 |k|個單位平移 |k|個單位向上 ( k>0) 【或下 ( k<0

5、) 】平移 |k|個單位y=a( x-h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|個單位y=a (x-h)2+k2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎上“h 值正右移，負左移；k 值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”方法二： yax 2bxc 沿 y 軸平移 :向上（下）平移m 個單位， yax 2bxc 變成yax 2bxcm （或 yax 2bxcm ） yax 2bxc 沿軸平移：向左（右）平移m 個單位， yax 2bxc 變成ya( xm)2b(xm)c （或 ya( xm) 2b( xm)c ）四、二次函數(shù) ya x2k 與 y ax2bxc 的比較

6、hya xh2ax2bxc是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前從解析式上看，k 與 yb24acb2b ，k4ac b2者，即 y a x，其中 h2a4a2a4a五、二次函數(shù) yax2bxc 圖象的畫法2五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y2bxc 化為頂點式 y a(xh)2axk ， 確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖. 一般我們選取的五點為：頂點、與 y 軸的交點0，c、以及 0 ，c 關(guān)于對稱軸對稱的點2h，c、與 x 軸的交點x1 ，0， x2 ，0 （若與 x 軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對

7、稱軸，頂點，與x 軸的交點，與y 軸的交點 .六、二次函數(shù) yax2bxc 的性質(zhì)1.當 a0 時，拋物線開口向上，對稱軸為xb，頂點坐標為b ，4acb22a2a4a當 xb時， y 隨 x 的增大而減??；當xb時， y 隨 x 的增大而增大；當xb時， y 有最小2a2a2a2值 4ac b4a2. 當 a0 時，拋物線開口向下， 對稱軸為 xb ，頂點坐標為b ，4acb2當 xb 時， y 隨2a2a4a2 a時， y 有最大值 4ac2x 的增大而增大；當 xb時， y 隨 x 的增大而減??；當 xbb2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式： yax2bx c （ a ，

8、 b ， c 為常數(shù)， a0 ）；2.頂點式： ya(xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a 0 ）；3.兩根式： ya(xx1 )( xx2 ) （ a0 ， x1 ， x2 是拋物線與 x 軸兩交點的橫坐標） .注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只24ac0 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式有拋物線與 x 軸有交點，即 b的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項系數(shù) a二次函數(shù)y ax2bx c 中， a 作為二次項系數(shù)，顯然 a 0 當 a0 時，拋物線開口向上，a 的值越

9、大，開口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開口越大； 當 a0 時，拋物線開口向下，a 的值越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開口越大總結(jié)起來， a 決定了拋物線開口的大小和方向，a 的正負決定開口方向，a 的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù) b在二次項系數(shù)a 確定的前提下，b 決定了拋物線的對稱軸 在 a0 的前提下，當 b0時，b0 ，即拋物線的對稱軸在y 軸左側(cè)；2a當 b0時，b0 ，即拋物線的對稱軸就是y 軸；2a當 b0時，b0 ，即拋物線對稱軸在y 軸的右側(cè)2a 在 a0 的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即3當 b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y 軸右側(cè)；2a當 b0時，b0 ，即拋物線的

10、對稱軸就是y 軸；2a當 b0時，b0 ，即拋物線對稱軸在 y 軸的左側(cè)2a總結(jié)起來，在 a 確定的前提下，b 決定了拋物線對稱軸的位置ab 的符號的判定：對稱軸xb0 ，概括的說就是在 y 軸左邊則 ab 0 ，在 y 軸的右側(cè)則 ab2a“左同右異”總結(jié)：3. 常數(shù)項 c 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點在 x 軸上方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為正； 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點為坐標原點，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為 0 ； 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點在 x 軸下方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為負總結(jié)起來，c 決定了拋物線與y 軸交點的位置總之，只要a ，b ，c

11、 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與 x 軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式九、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1. 關(guān)于 x 軸對稱yax2bxc 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc

12、；ya xh2ya xh2k 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是k ；2. 關(guān)于 y 軸對稱yax2bxc 關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2ya xh2k 關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是k ；3. 關(guān)于原點對稱yax2bxc 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2ya xh2k ；k 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是4. 關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°）yax2bxc 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是yax2bxcb2；2a422y a x hk 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y a x hk 5. 關(guān)于點 m，n 對

13、稱2k 關(guān)于點22n ky a x hm，n 對稱后，得到的解析式是 y a x h 2m根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a 永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x 軸交點情況）：一元二次方程 ax2bx c 0 是二次函數(shù) y ax2bxc 當函數(shù)值 y0 時的特殊情況 .圖象與 x 軸的交點

14、個數(shù)： 當20 時，圖象與x 軸交于兩點 A x1 ，0 ，B x2 ，0( x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次b4ac方程 ax2bxc0 a 0 的兩根這兩點間的距離ABx2 x1b24ac.a 當0 時，圖象與 x 軸只有一個交點； 當0 時，圖象與 x 軸沒有交點 .1'當 a0 時，圖象落在x 軸的上方，無論x 為任何實數(shù)，都有y0 ；2'當 a0 時，圖象落在x 軸的下方，無論x 為任何實數(shù)，都有y0 2. 拋物線 yax2bxc 的圖象與y 軸一定相交，交點坐標為(0 ， c) ；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點坐標

15、，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc 中 a ， b ， c 的符號，或由二次函數(shù)中a ， b ， c 的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與x 軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式ax2bx c(a 0) 本身就是所含字母x 的二次函數(shù)；下面以 a 0時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：0拋物線與x 軸有二次三項式的值可正、一元二次方

16、程有兩個不相等實根兩個交點可零、可負0拋物線與x 軸只二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根有一個交點0拋物線與x 軸無二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根 .交點5圖像參考：y=2x 2y=2x 2y=x 2x2y=2x 2y= -2y= -x 2y=-2x 2y=2x 2 +2y=3(x+4) 2y=3x 2y=2x 2y=3(x-2) 2y=2x 2-4y=2(x-4)2y=2(x-4)2 -3y=-2(x+3) 2y=-2x2y=-2(x-3) 26十一、函數(shù)的應用剎車距離二次函數(shù)應用何時獲得最大利潤最大面積是多少二次函數(shù)考查重點與常見題型1 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，

17、有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以 x 為自變量的二次函數(shù)y(m2)x2m 2m2 的圖像經(jīng)過原點，則 m 的值是2 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內(nèi)考查兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù) ykxb 的圖像在第一、 二、三象限內(nèi)， 那么函數(shù) ykx 2bx 1 的圖像大致是 （）yyyy110 xo-1 x0 x0 -1 xABCD3 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習題出現(xiàn)的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)， (4,6) 兩點，對稱軸為 x5，求這條拋物線的解析式。34

18、 考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：已知拋物線 y ax2bxc （ a 0）與 x 軸的兩個交點的橫坐標是1、 3，與 y 軸交點的縱坐標是32（ 1）確定拋物線的解析式； （2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.5 考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。【例題經(jīng)典】由拋物線的位置確定系數(shù)的符號例 1 （ 1）二次函數(shù) yax2bx c 的圖像如圖 1，則點 M (b, c ) 在（ ）aA第一象限B第二象限 C 第三象限D(zhuǎn) 第四象限（2）已知二次函數(shù)y=ax 2+bx+c（ a 0）的圖象如圖2 所示， ?則下列結(jié)論： a

19、、 b 同號；當 x=1和 x=3 時，函數(shù)值相等；4a+b=0；當 y=-2 時， x 的值只能取 0. 其中正確的個數(shù)是（）A1個 B 2個 C 3個 D 4個7(1)(2)【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a， b， c 之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵例 2. 已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象與 x 軸交于點 (-2 ， O)、 (x 1， 0) ，且 1<x1<2，與 y 軸的正半軸的交點在點 (O，2) 的下方下列結(jié)論： a<b<0； 2a+c>O；4a+c<O；2a -b+1>O，其中正確結(jié)論的個數(shù)為 ( ) A1 個 B.2 個 C.

20、3 個 D4個答案： D會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例 3. 已知：關(guān)于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=3 的一個根為x=-2 ，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點坐標為( )A(2， -3)B.(2，1)C(2， 3)D (3 ， 2)答案： C例 4、（ 2006 年煙臺市）如圖（單位：m），等腰三角形ABC以 2 米 / 秒的速度沿直線L 向正方形移動，直到AB 與 CD重合設x 秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2（ 1）寫出 y 與 x 的關(guān)系式；（ 2）當 x=2， 3.5 時， y 分別是多少？（ 3）當重疊部分的面積是正方形面積的

21、一半時，三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標、對稱軸 .例 5、已知拋物線 y= 1 x2+x- 5 2 2（ 1）用配方法求它的頂點坐標和對稱軸（ 2）若該拋物線與 x 軸的兩個交點為 A、B，求線段 AB的長【點評】本題（ 1）是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（ 2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例 6 已知：二次函數(shù) y=ax2-(b+1)x-3a 的圖象經(jīng)過點P(4 ，10) ，交 x 軸于(,0)，兩點，.,0)( x1x2 )A x1B(x2交 y 軸負半軸于 C點，且滿足 3AO=OB(1) 求二次函數(shù)的解析式；(2) 在二次函數(shù)的圖象上是否存在點M，使銳角 MCO

22、>A CO?若存在，請你求出M點的橫坐標的取值范圍；若不存在，請你說明理由(1) 解：如圖拋物線交 x 軸于點 A(x 1， 0) ， B(x2 ， O)，則 x1·x2=3<0，又 x1<x2， x2>O， x1<O， 30A=OB， x2=-3x 1x1· x2=-3x22=1.1 =-3 x1x <0， x=-1 x =3112點 A(-1 ， O)， P(4 ， 10) 代入解析式得解得a=2 b=3二次函數(shù)的解析式為y-2x 2-4x-6 (2) 存在點 M使 MC0< ACO(2) 解：點 A 關(guān)于 y 軸的對稱點 A

23、(1 ， O)，直線 A， C 解析式為 y=6x-6 直線 A'C 與拋物線交點為(0 ， -6) ， (5 ， 24) 符合題意的x 的范圍為 -1<x<0 或 O<x<58當點 M的橫坐標滿足-1<x<O 或 O<x<5時， MCO>ACO例 7、 “已知函數(shù) y1 x 2bx c 的圖象經(jīng)過點 A（c， 2），2求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。（ 1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說

24、明理由。（ 2）請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當?shù)臈l件，把原題補充完整。點評： 對于第（ 1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當作已知來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點A（ c， 2）”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標，可以給出頂點的坐標或與坐標軸的一個交點的坐標等。解答（ 1）根據(jù) y1 x

25、2bx c 的圖象經(jīng)過點 A（ c， 2），圖象的對稱軸是x=3，21 c2bc c2,2得b3,122b3,解得2.c所以所求二次函數(shù)解析式為y1x23x2. 圖象如圖所示。y=0，得 12（ 2）在解析式中令x 23x20 ，解得 x1 35, x2 35.2所以可以填“拋物線與x 軸的一個交點的坐標是（3+ 5,0) ”或“拋物線與x 軸的一個交點的坐標是(3 5,0).令 x=3 代入解析式，得y5 ,125所以拋物線 yx23x2 的頂點坐標為 (3,),22所以也可以填拋物線的頂點坐標為(3,5 ) 等等。2函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。用二次函數(shù)解決最值問題例 1 已知邊長