虛功原理課件

5.1使用虛功原理解3.1題。半徑為r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均質(zhì)細(xì)棒斜靠在碗緣，一端在碗內(nèi)，一端在碗外，在碗內(nèi)的長(zhǎng)度為c，試證棒的全長(zhǎng)為：解：桿受理想約束，桿的位置可由桿與水平方向夾角唯一確定，桿的自由度為1，設(shè)棒長(zhǎng)為l，如圖所示，建立坐標(biāo)系，棒所受主動(dòng)力只有重力，由虛功原理：有：

即：

取為廣義坐標(biāo)：

5.1使用虛功原理解3.1題。半徑為r的光滑半球形碗，固1只有：

只有：2

5.2使用虛功原理解3.4題。相同的兩個(gè)均質(zhì)光滑球懸在結(jié)于頂點(diǎn)O的兩根繩子上，此兩球同時(shí)又支持一個(gè)等重的均質(zhì)球，求角及角的關(guān)系。解：平衡時(shí)懸繩張力通過(guò)球心，三球所受主動(dòng)力只有重力，自由度為1，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)小球半

徑為r，由虛功原理得：代入（1）式得：取變分：5.2使用虛功原理解3.4題。相同的兩個(gè)均質(zhì)光3即：由約束關(guān)系：

取變分：

代入（2）式：

只有：

故：

即：由約束關(guān)系：取變分：代入（2）式：只有：故：45.3長(zhǎng)度同為l的輕棒四根，光滑地連成一菱形ABCD，AB、AD兩邊支于同一水平線上相距為2a的兩根釘上，BD間則用一輕繩聯(lián)結(jié)，C點(diǎn)上系一重物W，設(shè)A點(diǎn)上的頂角為，試用虛功原理求繩中張力T。解：如圖所示，取兩釘連線中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，將BD間的約束解除，代之以約束反力T，將T當(dāng)作主動(dòng)力。一定，便可確定ABCD位置，體系自由度為1，選為廣義坐標(biāo)。由虛功原理得：（2）（1）5.3長(zhǎng)度同為l的輕棒四根，光滑地連成一菱形ABCD，5取變分：將⑶代入⑴得：

（3）取變分：將⑶代入⑴得：（3）6

補(bǔ)充題1、圖所示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，曲柄A端上所受的豎直力為Q，由活塞D上所受的水平力P維持平衡，求水平力P與豎直力為Q的大小的比值為（）。A、

B、

C、

D、

補(bǔ)充題1、圖所示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，曲柄A端上所受的豎直7解：這是一個(gè)具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題。以整個(gè)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象。依虛功原理有：

即：

因?yàn)閯傂詶U兩端無(wú)限小位移投影相等，所以:

(選D)解：這是一個(gè)具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題。以整個(gè)機(jī)構(gòu)為研究8應(yīng)用虛功原理解題時(shí)的步驟以及應(yīng)注意的問(wèn)題：

1．判斷所研究的質(zhì)點(diǎn)系受到的約束是否都是理想約束，然后作受力分析，畫(huà)出受力圖。由于虛功原理中不包含約束反力，因而可以不考慮約束反力，而只畫(huà)全部主動(dòng)力。若質(zhì)點(diǎn)系受有非理想約束，或需計(jì)算約束反力時(shí)，便將這樣的約束解除，代之以相應(yīng)的約束反力，并視之為主動(dòng)力。

2．根據(jù)問(wèn)題所給的條件，確定系統(tǒng)的自由度數(shù),同時(shí)選適當(dāng)?shù)膮?shù)作為確定系統(tǒng)位置的廣義坐標(biāo)。如果題設(shè)條件便于用廣義坐標(biāo)表出各個(gè)主動(dòng)力作用點(diǎn)的坐標(biāo)，則用分析法求解較為方便。如果題設(shè)條件不便于應(yīng)用分析法，則可應(yīng)用幾何法求解。應(yīng)用虛功原理解題時(shí)的步驟以及應(yīng)注意的問(wèn)題：9

3．用幾何法求解時(shí)，所給虛位移必須滿足約束條件(即不破壞約束)，并用此條件來(lái)建立各點(diǎn)虛位移間的關(guān)系。

4、寫(xiě)虛功原理表示式時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意虛元功的正、負(fù)號(hào)。

5．對(duì)于一個(gè)自由度的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題寫(xiě)出一個(gè)方程求得一個(gè)未知量。而兩個(gè)自由度的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題，寫(xiě)出兩個(gè)方程求得兩個(gè)未知量，以此類(lèi)推。不難理解，具有s個(gè)自由度的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題，可寫(xiě)出s個(gè)方程求解s個(gè)未知量．3．用幾何法求解時(shí)，所給虛位移必須滿足約束條10

補(bǔ)充題2（3．3）兩根均質(zhì)棒AB、BC，在B處剛性連結(jié)在一起，且形成一直角，如將此棒的A端用繩系于固定點(diǎn)O上（如圖所示），則當(dāng)棒平衡時(shí)，AB棒和豎直直線所成的角滿足下列關(guān)系：

其中a、b為棒AB和BC的長(zhǎng)度，試用虛功原理證明。解：如圖所示，系統(tǒng)自由度為1，選為廣義坐標(biāo)，A、B棒重力分別作用于

a(x1,y1)和b(x2,y2)點(diǎn)，設(shè)棒線密度為，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，則：補(bǔ)充題2（3．3）兩根均質(zhì)棒AB、BC，在B處11故：

系統(tǒng)平衡時(shí)，由虛功原理得：故：系統(tǒng)平衡時(shí)，由虛功原理得：12

補(bǔ)充題3、如圖所示，壓榨機(jī)的空氣壓力筒的推力為F，已知，由虛功原理知在圖示平衡位置時(shí)壓榨力的大小Q與角的關(guān)系為（

）A、

B、

C、

D、

補(bǔ)充題3、如圖所示，壓榨機(jī)的空氣壓力筒的推力13解：這是一個(gè)具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題。以整個(gè)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,

系統(tǒng)自由度為1，選

角為廣義坐標(biāo)。依虛功原理有：如圖建坐標(biāo)系：A—xy

，依約束關(guān)系知：

代入（1）式得:（1）解：這是一個(gè)具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題。以整個(gè)機(jī)14選C所以在圖示平衡位置時(shí)壓榨力的大小與角的關(guān)系為選C所以在圖示平衡位置時(shí)壓榨力的大小與角的關(guān)系為15

補(bǔ)充題4、如圖所示，表示一伸縮機(jī)構(gòu)，由光滑鉸鏈聯(lián)結(jié)的n個(gè)棱形構(gòu)成，OA之間用彈簧聯(lián)系。試求C點(diǎn)受P力作用后，機(jī)構(gòu)處于平衡時(shí)，彈簧中受到多大的力。

對(duì)此問(wèn)題，因?yàn)镺、A、C三點(diǎn)(主動(dòng)力的作用點(diǎn))的直角坐標(biāo)可用角很方便地表示出來(lái)，所以用分析法求解最為方便。建坐標(biāo)Ox，則雖然彈簧力是內(nèi)力，但內(nèi)力作功之和一般不為零，故應(yīng)以彈簧力F來(lái)代替彈簧的作用，則整個(gè)系統(tǒng)是在P與F力的作用下處于平衡,如圖所示．系統(tǒng)自由度為1，選角為廣義坐標(biāo)。解：顯然，這是一個(gè)具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題。以整個(gè)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象。補(bǔ)充題4、如圖所示，表示一伸縮機(jī)構(gòu)，由光滑鉸鏈16代入即可求得

由虛位移原理得：

代入即可求得由虛位移原理得：17

補(bǔ)充題5、五根長(zhǎng)度相同的均質(zhì)柱形鏈桿，各重W，與固定邊AB形成正六邊形（如圖所示）。設(shè)在水平桿的中點(diǎn)施力T以維持平衡，試用虛功原理證明T=3W。證：如圖所示，建立坐標(biāo)系o--xy，以整個(gè)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，這是一個(gè)具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題。系統(tǒng)自由度為1，選y為廣義坐標(biāo)。并以分別表示各桿中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由圖可知：假想C5點(diǎn)獲得一向下的虛位移,則C1,C2,C3,C4各點(diǎn)的虛位移為：補(bǔ)充題5、五根長(zhǎng)度相同的均質(zhì)柱形鏈桿，各重W，與固定18

證畢。由虛功原理得：

證畢。由虛功原理得：195.5在離心節(jié)速器中，質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)沿著一豎直軸運(yùn)動(dòng)，而整個(gè)系統(tǒng)則以勻角速度繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試寫(xiě)出此力學(xué)體系的拉氏函數(shù)。設(shè)連桿AB、BC、CD、DA等的質(zhì)量均可不計(jì)。質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)速度：

質(zhì)點(diǎn)的牽連速度：

方向垂直xy平面所以質(zhì)點(diǎn)B的動(dòng)能為：

解：系統(tǒng)自由度為1，選為廣義坐標(biāo)，如圖所示，以A為定點(diǎn)，建立動(dòng)坐標(biāo)系

質(zhì)點(diǎn)B的勢(shì)能為：

（以A點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn)）5.5在離心節(jié)速器中，質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)沿著一豎直20同理可知質(zhì)點(diǎn)D、C的動(dòng)能、勢(shì)能為：

取微商：同理可知質(zhì)點(diǎn)D、C的動(dòng)能、勢(shì)能為：取微商：21此力學(xué)體系的拉氏函數(shù)為：

此力學(xué)體系的拉氏函數(shù)為：22又解：系統(tǒng)自由度為1，選為廣義坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn)B的動(dòng)能、勢(shì)能為：

質(zhì)點(diǎn)C的動(dòng)能、勢(shì)能為：此力學(xué)體系的拉氏函數(shù)為：

又解：系統(tǒng)自由度為1，選為廣義坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn)B的動(dòng)能、勢(shì)能為：235.6使用拉格朗日方程解4.10題。質(zhì)量為m的小環(huán)M，套在半徑為a的光滑圓圈上，并可沿著圓圈滑動(dòng)，圓圈在水平面內(nèi)以勻角速繞圈上某點(diǎn)o轉(zhuǎn)動(dòng)，試求小環(huán)沿圓周切線方向的運(yùn)動(dòng)微分方程。解法1：小環(huán)作平面運(yùn)動(dòng)，自由度為1，選為廣義坐標(biāo)。取圓圈為勢(shì)能參考面，則小環(huán)勢(shì)能為零。小環(huán)動(dòng)能為：

5.6使用拉格朗日方程解4.10題。質(zhì)量為m的小環(huán)24拉氏函數(shù)為：代入拉氏方程：

得：

故小環(huán)沿圓圈切線方向的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

拉氏函數(shù)為：代入拉氏方程：得：故小環(huán)沿圓圈切線方向的運(yùn)動(dòng)25解法2：小環(huán)作平面運(yùn)動(dòng)，自由度為1，選為廣義坐標(biāo),取圓圈為零勢(shì)面，則小環(huán)勢(shì)能為零。

小環(huán)相對(duì)速度大小為：

牽連速度大?。?/p>

小環(huán)絕對(duì)速度：

將小環(huán)絕對(duì)速度在圓圈的切向和法向投影：

則小環(huán)的動(dòng)能為：

解法2：小環(huán)作平面運(yùn)動(dòng)，自由度為1，選為廣義坐標(biāo),取26拉氏函數(shù)：

代入拉氏方程：

得：

化簡(jiǎn)得小環(huán)沿圓圈切線方向的運(yùn)動(dòng)微分方程為：拉氏函數(shù)：代入拉氏方程：得：化簡(jiǎn)得小環(huán)沿圓圈切線方向的27解法3：小環(huán)作平面運(yùn)動(dòng)，建立平面極坐標(biāo)系，自由度為1，選為廣義坐標(biāo),取圓圈為零勢(shì)面，則小環(huán)勢(shì)能為零。

設(shè)某一時(shí)刻，小環(huán)M（r,φ）在如圖所示位置：

小環(huán)動(dòng)能為：

拉氏函數(shù)為：

解法3：小環(huán)作平面運(yùn)動(dòng)，建立平面極坐標(biāo)系，自由度為1，選28代入拉氏方程：

得小環(huán)沿圓圈切線方向的運(yùn)動(dòng)微分方程為：代入拉氏方程：得小環(huán)沿圓圈切線方向的運(yùn)動(dòng)微分方程為：29

5.7

試用拉格朗日方程解本章補(bǔ)充例題5.3（4.8）.軸為豎直而頂點(diǎn)向下的拋物線形金屬絲，以勻角速繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一質(zhì)量為m的小環(huán)套在此金屬絲上，并沿金屬絲滑動(dòng)，試求小環(huán)運(yùn)動(dòng)的微分方程。已知拋物線的方程為，式中a為常數(shù)，計(jì)算時(shí)可忽略摩擦阻力。

解：在拋物線金屬絲上建立坐標(biāo)系,系統(tǒng)自由度為1，選x為廣義坐標(biāo)，小環(huán)相對(duì)速度：

小環(huán)牽連速度：方向與xy面垂直小環(huán)的動(dòng)能：

由得：勢(shì)能：

（選x軸為零勢(shì)線）5.7試用拉格朗日方程解本章補(bǔ)充例題5.3（4.8）.30拉氏函數(shù)為：

拉氏函數(shù)為：31代入拉氏方程：

故小環(huán)運(yùn)動(dòng)的微分方程為：

代入拉氏方程：故小環(huán)運(yùn)動(dòng)的微分方程為：325.9設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，受重力作用，被約束在半頂角為的圓錐面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，試以為廣義坐標(biāo)，由拉格朗日方程求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

解：取柱坐標(biāo)系，如圖所示，則：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能：(以o點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn))拉氏函數(shù)：

選為廣義坐標(biāo)，約束關(guān)系：

則：

5.9設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，受重力作用，被約束在半頂角33代入拉氏方程得：

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為：

代入拉氏方程得：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為：345.10試用拉格朗日方程解2.4題中的(a)及(b)。

質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)，沿傾角為的光滑直角劈滑下，劈的本身質(zhì)量為m2，又可在光滑水平面上自由滑動(dòng)，試求(a)劈的加速度；(b)質(zhì)點(diǎn)水平方向的加速度。解法1：

此力學(xué)體系自由度為2，選廣義坐標(biāo)：

如圖所示。

m1的絕對(duì)速度：

系統(tǒng)的動(dòng)能：

系統(tǒng)的勢(shì)能：

(以m1初始狀態(tài)為勢(shì)能零點(diǎn))5.10試用拉格朗日方程解2.4題中的(a)及(b)。35拉氏函數(shù)：

代入拉氏方程：

即：

拉氏函數(shù)：代入拉氏方程：即：36兩式聯(lián)立得：

劈的加速度為：

質(zhì)點(diǎn)水平方向的加速度：

兩式聯(lián)立得：劈的加速度為：質(zhì)點(diǎn)水平方向的加速度：37解法2：

選固定坐標(biāo)系,如圖所示。系統(tǒng)自由度為2，選廣義坐標(biāo)：

（質(zhì)點(diǎn)m1相對(duì)靜系的水平位置）

(直角劈m2相對(duì)靜系的位置，因?yàn)橹苯桥蛔銎絼?dòng)，故C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可代表直角劈的運(yùn)動(dòng))直角劈m2的動(dòng)能為：

質(zhì)點(diǎn)m1的動(dòng)能和勢(shì)能為：

約束方程為：

解法2：選固定坐標(biāo)系,如圖所示。系統(tǒng)自由度38系統(tǒng)拉氏函數(shù)為：

系統(tǒng)拉氏函數(shù)為：39代入拉氏方程：

整理得：

⑴+⑵得：

（3）⑴⑶兩式聯(lián)立得：

由以上兩解法可知，應(yīng)用拉氏方程求解力學(xué)體系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，廣義坐標(biāo)可同時(shí)選慣性系量，也可同時(shí)選慣性系量和非慣性系量。代入拉氏方程：整理得：⑴+⑵得：（3）⑴⑶兩式聯(lián)立得：405.11試用拉格朗日方程求3.20題中的a1和a2。質(zhì)量為M，半徑為r的均質(zhì)圓柱體放在粗糙的水平面上，柱的外面繞有輕繩，繩子跨過(guò)一個(gè)很輕的滑輪，并懸掛一質(zhì)量為m的物體，設(shè)圓柱體只滾不滑，并且圓柱體與滑輪間的繩子是水平的，求圓柱體質(zhì)心的加速度a1，物體的加速度a2。

解：如圖建立坐標(biāo)oy，系統(tǒng)自由度為1，選y為廣義坐標(biāo)。物體的動(dòng)能和勢(shì)能為：圓柱體只滾不滑：

圓柱體的動(dòng)能：A點(diǎn)的速度等于m的速度：

5.11試用拉格朗日方程求3.20題中的a1和a241系統(tǒng)拉氏函數(shù)為：

代入拉氏方程得：系統(tǒng)拉氏函數(shù)為：代入拉氏方程得：42例2（5.12）均質(zhì)桿AB，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為2a，其A端可在光滑水平槽上運(yùn)動(dòng)，而棒本身又可在豎直面內(nèi)繞A端擺動(dòng)，如除重力作用外，B端還受有一水平的力F的作用，試用拉格朗日方程求其運(yùn)動(dòng)微分方程。如擺的角度很小，則又如何？解：系統(tǒng)自由度為2，如圖所示,選取為廣義坐標(biāo)由科尼希定理知棒的動(dòng)能為：

k為棒繞質(zhì)心c轉(zhuǎn)動(dòng)的回轉(zhuǎn)半徑。

例2（5.12）均質(zhì)桿AB，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為2a43棒質(zhì)心坐標(biāo)：

棒質(zhì)心坐標(biāo)：44虛功：

所以廣義力為：

虛功：所以廣義力為：45代入基本形式的拉格朗日方程：得運(yùn)動(dòng)微分方程為：若很小，

這里：

則運(yùn)動(dòng)微分方程為：代入基本形式的拉格朗日方程：得運(yùn)動(dòng)微分方程為：若很小，46

5.13行星齒輪機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄帶動(dòng)行星齒輪Ⅱ，在固定齒輪Ⅰ上滾動(dòng)。已知曲柄質(zhì)量為m1且可認(rèn)為是勻質(zhì)桿。齒輪Ⅱ的質(zhì)量為m2，半徑為r，且可認(rèn)為是勻質(zhì)圓盤(pán)，至于齒輪Ⅰ的半徑則為R，今在曲柄上作用一不變力矩M，如重力作用可以略去不計(jì)，試用拉格朗日方程研究此曲柄的運(yùn)動(dòng)。

解：系統(tǒng)的自由度為1，選φ為廣義坐標(biāo)。曲柄的動(dòng)能：

齒輪Ⅱ的動(dòng)能：

5.13行星齒輪機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄帶動(dòng)行星齒輪Ⅱ，47系統(tǒng)的動(dòng)能：

由于重力不計(jì)，則：廣義力為：

代入基本形式的拉氏方程：得：

曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為：系統(tǒng)的動(dòng)能：由于重力不計(jì)，則：廣義力為：代入基本形式的拉48

5.16半徑為r的均質(zhì)重球，可在一具有水平軸的半徑為R的固定圓柱的內(nèi)表面作純滾動(dòng)，如圖所示，試求重球繞平衡位置作微振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程及其周期。解：系統(tǒng)自由度S=1，選廣義坐標(biāo)：球只滾不滑：

球的動(dòng)能：

球的勢(shì)能：

（以通過(guò)0點(diǎn)的水平線為零勢(shì)線）

5.16半徑為r的均質(zhì)重球，可在一具有水平軸的49拉氏函數(shù)：

代入拉氏方程：

得運(yùn)動(dòng)微分方程為：

對(duì)于微振動(dòng)：

∴振動(dòng)周期為：

拉氏函數(shù)：代入拉氏方程：得運(yùn)動(dòng)微分方程為：對(duì)于微振動(dòng)：50

補(bǔ)充題:圖示質(zhì)量為m的直桿，可在固定光滑的鉛垂滑道中自由滑動(dòng)，桿的下端擱在質(zhì)量為M的光滑楔塊斜面上，楔塊傾角為，置于光滑的水平面上。由于桿子自重的壓力，楔塊沿水平方向移動(dòng)，桿子隨之垂直下降，試用拉格朗日方程求桿與楔塊的加速度。

系統(tǒng)動(dòng)能為：

拉氏函數(shù)為：

解：系統(tǒng)自由度為1，選廣義坐標(biāo)：q=y

如圖所示，有約束關(guān)系：

系統(tǒng)勢(shì)能為：

選0點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)補(bǔ)充題:圖示質(zhì)量為m的直桿，可在固定光滑的鉛垂滑道51代入拉氏方程：得：楔塊的加速度為：桿下降的加速度為：拉氏函數(shù)為：

代入拉氏方程：得：楔塊的加速度為：桿下降的加速度為：拉氏函數(shù)52

例4已知質(zhì)量為m的擺錘掛在輕彈簧上，彈簧一端固定，如圖所示，彈簧原長(zhǎng)為l0，勁度系數(shù)為k,求此彈簧擺的振動(dòng)方程。解：取彈簧和擺錘為系統(tǒng)，自由度為2，選r，為廣義坐標(biāo),

系統(tǒng)的動(dòng)能為

系統(tǒng)的勢(shì)能為彈簧擺

拉氏函數(shù)為例4已知質(zhì)量為m的擺錘掛在輕彈簧上，彈簧一端固定53拉氏函數(shù)為代入拉氏方程：

拉氏函數(shù)為代入拉氏方程：54得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

這是非線性方程組，需在計(jì)算機(jī)上作數(shù)值計(jì)算，在一定的初始條件下，擺錘的軌跡如右圖所示。如果系統(tǒng)做小振動(dòng)，可進(jìn)行近似計(jì)算，將非線性方程化為線性方程。彈簧擺的軌跡得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為這是非線性方程組，需在計(jì)算機(jī)55補(bǔ)充題:如圖所示，升降機(jī)上有一擺長(zhǎng)為l的單擺，升降機(jī)以勻加速度a上升，且初速為零，使用分析力學(xué)方法確定單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：系統(tǒng)自由度為1，選單擺擺角為廣義坐標(biāo)擺錘的相對(duì)速度的大小：

牽連速度的大?。?/p>

絕對(duì)速度的平方：（由余弦定理得）

單擺的動(dòng)能為：

單擺的勢(shì)能為：以初始位置時(shí)（t=0）的o點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn)補(bǔ)充題:如圖所示，升降機(jī)上有一擺長(zhǎng)為l的56系統(tǒng)的拉氏函數(shù)為：

代入拉氏方程：

得：

則單擺運(yùn)動(dòng)微分方程為：

系統(tǒng)的拉氏函數(shù)為：代入拉氏方程：得：則單擺運(yùn)動(dòng)微分方程57由以上例題可看出：

1、拉氏方程不僅適用于穩(wěn)定約束，也適用于不穩(wěn)定約束。

2、應(yīng)用拉氏方程時(shí)，廣義坐標(biāo)可選線量，也可同時(shí)選角量。

3、應(yīng)用拉氏方程時(shí)，廣義坐標(biāo)可選慣性系量，也可