新高考一輪復(fù)習(xí)講義：第26講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page1212頁，共=sectionpages2020頁第26講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·河北邯鄲·二模）函數(shù)在上的值域為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，即時，取最大值1，當(dāng)，即時，取最小值大于，故值域為故選：C2．（2022·湖北·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，即.故選：B.3．（2022·湖南·長沙市南雅中學(xué)高三階段練習(xí)）在下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：因為，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；故選：D4．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）若函數(shù)的最小正周期為，則下列區(qū)間中單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，且其增區(qū)間為，對于函數(shù)，其最小正周期為，可得，則，由，解得，其中，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以，函數(shù)在上遞減，在上不單調(diào)，在上遞增，在上遞減.故選：C5．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】因為.對于A選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，A錯；對于B選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，B錯；對于C選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，C對；對于D選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，D錯.故選：C.6．（2022·全國·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A7．（2022·山東濟南·三模）已知函數(shù)在上有4個零點，則實數(shù)a的最大值為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】，令f(x)=0得sinx=0或cosx=，作出y=sinx和y=cosx的圖象：f(x)在上有4個零點，則，故a的最大值為．故選：C．8．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)藝術(shù)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知直線和是曲線的兩條對稱軸，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值是（

）A． B．0 C． D．【答案】A【解析】由在上單調(diào)遞減可知是最小值由兩條對稱軸直線和可知也是對稱軸且，為最小值故又，解得故選：A9．（多選）（2022·廣東·潮州市瓷都中學(xué)三模）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點對稱 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．在上單調(diào)遞減 D．在上的最小值為0【答案】ABC【解析】當(dāng)時，，所以的圖象關(guān)于點對稱，A正確；當(dāng)時，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，故C正確；當(dāng)時，，在上的最小值為，D錯誤.故選：ABC10．（多選）（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【解析】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；對C，當(dāng)時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．11．（2022·湖北·襄陽四中模擬預(yù)測）寫出一個最小正周期為3的偶函數(shù)___________.【答案】（答案不唯一）【解析】由余弦函數(shù)性質(zhì)知：為偶函數(shù)且為常數(shù)，又最小正周期為3，則，即，所以滿足要求.故答案為：(答案不唯一)12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為______．【答案】【解析】對應(yīng)的增區(qū)間應(yīng)滿足，解得，當(dāng)時，，要使在上是增函數(shù)，則應(yīng)滿足，，解得，則的最大值是1故答案為：113．（2022·全國·高考真題（理））記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．【答案】【解析】解：因為，（，）所以最小正周期，因為，又，所以，即，又為的零點，所以，解得，因為，所以當(dāng)時；故答案為：14．（2022·北京·人大附中三模）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①是偶函數(shù)；②有4個零點；③的最小值為；④的解集為.其中，所有正確結(jié)論的序號為___________.【答案】①②【解析】對于①：因為函數(shù)的定義域為，且，所以是偶函數(shù).故①正確；對于②：在，令，解得：，，，.所以有4個零點.故②正確；對于③：因為是偶函數(shù)，所以只需研究的情況.如圖示，作出（）和的圖像如圖所示：在上，有，所以，即的最小值大于.故③錯誤；對于④：當(dāng)時，可化為：當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，，解得：；綜上所述：的解集為.故④不正確.故答案為：①②15．（2021·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最大值.【解】（1）由輔助角公式得，則，所以該函數(shù)的最小正周期;（2）由題意，，由可得，所以當(dāng)即時，函數(shù)取最大值.16．（2022·浙江·湖州市菱湖中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)求的值；(2)求函數(shù)在上的增區(qū)間和值域．【解】(1)解：因為，所以，即，所以(2)解：由（1）可得，因為，所以，所以，則，令，解得，即函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；17．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間；(2)若，求的值.【解】(1)解：，，，，令，解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.令得區(qū)間為，所以在上的單調(diào)增區(qū)間為；(2)因為，所以，又，且，所以，則所以.18．（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為一組已知條件，使的解析式唯一確定.(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值.條件①：的最小正周期為；條件②：；條件③：圖象的一條對稱軸為.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.【解】(1)選擇條件①②：由條件①及已知得，所以.由條件②，即，解得.因為，所以，所以，經(jīng)檢驗符合題意.選擇條件①③：由條件①及已知得，所以．由條件③得，解得，因為，所以，所以．若選擇②③：由條件②，即，解得，因為，所以，由條件③得，∴，則的解析式不唯一，不合題意.(2)由題意得，化簡得因為，所以，所以當(dāng)，即時，的最大值為.【素養(yǎng)提升】1．（2022·上?！とA師大二附中模擬預(yù)測）已知，則表達式（

）A．既有最大值，也有最小值 B．有最大值，無最小值C．無最大值，有最小值 D．既無最大值，也無最小值【答案】D【解析】由，，易知.同時，由于是無理數(shù)，因此當(dāng)時，；當(dāng)時，，故兩端均不能取得等號.補充證明：二元表達式（）可以取到任意接近和的值，從而該式無最值.①取，（），則.對任意，由抽屜原理，存在，使得.再考慮，使得（由的無理性，兩頭都不取等）.則時，，從而，，即證.②取，（），則.對任意，由抽屜原理，存在，使得.再考慮，使得（不取等的理由同上）.則時，，從而，，即證.故選：D2．（2022·天津·一模）已知函數(shù)，關(guān)于x的方程有以下結(jié)論①當(dāng)時，方程在最多有3個不等實根；②當(dāng)時，方程在內(nèi)有兩個不等實根；③若方程在內(nèi)根的個數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為；④若方程在內(nèi)根的個數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為.其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①③ B．②④ C．①④ D．①②③【答案】A【解析】依題意，，，函數(shù)的值域為，由解得：，或（舍去），而，令，則方程的根是函數(shù)的圖象與直線交點橫坐標(biāo)，作出函數(shù)在的圖象與直線，如圖，當(dāng)時，，觀察圖象知，當(dāng)時，，函數(shù)的圖象與直線有3個交點，當(dāng)時，，函數(shù)的圖象與直線有2個交點，當(dāng)時，，函數(shù)的圖象與直線有1個交點，當(dāng)時，，函數(shù)的圖象與直線沒有交點，所以當(dāng)時，，函數(shù)的圖象與直線的交點可能有3個、2個、1個、0個，①正確，②不正確；當(dāng)時，函數(shù)在的圖象與直線的交點個數(shù)為偶數(shù)，觀察圖象知，此時，，即直線與的圖象在上各有兩個交點，它們分別關(guān)于直線對稱，這6個交點橫坐標(biāo)和即方程6個根的和為：，③正確，④不正確，所以所有正確結(jié)論的序號是①③.故選：A3．（多選）（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）已知函數(shù)圖像的一條對稱軸和一個對稱中心的最小距離為，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后所得圖像關(guān)于原點對稱C．函數(shù)在上為增函數(shù)D．設(shè)，則在內(nèi)有20個極值點【答案】ABD【解析】根據(jù)題意可得，則，即，A正確；將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得∵為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，B正確；∵，則∴在上為減函數(shù)，C錯誤；，則∴為奇函數(shù)當(dāng)時，，則令，則，即∴∵，即，則∴共10個則在內(nèi)有20個極值點，D正確；故選：ABD．4．（多選）（2022·湖北·襄陽四中模擬預(yù)測）若，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期是B．的對稱軸方程為，C．存在實數(shù)，使得對任意的，都存在且，滿足，D．若函數(shù)，，（是實常數(shù)），有奇數(shù)個零點，則【答案】AD【解析】由題設(shè)，所以，故，由的最小正周期為，則的最小正周期為，同理的最小正周期為，則的最小正周期為，A正確；對于，令，則對稱軸方程為且，B錯誤；對任意有，，且滿足且，而的圖象如下：所以，則，所以或，無解，即不存在這樣的a，C錯誤；由可轉(zhuǎn)化為與交點橫坐標(biāo)，而上圖象如下：函數(shù)有奇數(shù)個零點，由圖知：，此時共有9個零點，、、、、、、，，所以，D正確.故選：AD5．（多選）（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的值域為B．函數(shù)是一個偶函數(shù)，也是一個周期函數(shù)C．直線是函數(shù)的一條對稱軸D．方程有且僅有一個實數(shù)根【答案】ABD【解析】顯然，，即函數(shù)是偶函數(shù)，又，函數(shù)是周期函數(shù)，是它的一個周期，B正確；當(dāng)時，，的最小值為，最大值為，即當(dāng)時，的取值集合是，因是偶函數(shù)，則當(dāng)時，的取值集合是，因此，當(dāng)時，的取值集合是，而是的周期，所以，的值域為，A正確；因，，即函數(shù)圖象上的點關(guān)于直線的對稱點不在此函數(shù)圖象上，C不正確；因當(dāng)時，恒有成立，而的值域為，方程在上無零點，又當(dāng)或時，的值與的值異號，即方程在、上都無零點，令，，顯然在單調(diào)遞減，而，，于是得存在唯一，使得，因此，方程在上有唯一實根，則方程在上有唯一實根，又定義域為，所以方程有且僅有一個實數(shù)根，D正確.故選：ABD6．（2022·遼寧葫蘆島·二模）設(shè)函數(shù)（且）滿足以下條件：①，滿足；②，使得；③，則___________.關(guān)于x的不等式的最小正整數(shù)解為___________.【答案】

2【解析】由①得：，則，①由②得：，則，②由②③得：，即，聯(lián)立①②得：，因為，所以，解得：，，所以，所以，將代入得：，因為，所以，所以，，，則或，當(dāng)，解得：，，，，當(dāng)時，，故最小正整數(shù)為3，當(dāng)，解得：，，，，當(dāng)時，，故最小正整數(shù)為2，比較得到答案為2故答案為：，27．（2022·上?！とA師大二附中模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)解不等式；(2)若，且的最小值是，求實數(shù)的值.【解】(1)∵由，得，解集為，(2)∵，∴，，①當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，這與已知不相符；②當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值，由已知得，解得；③當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，由已知得，解得，這與相矛盾.綜上所述，.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知常數(shù)，定義在上的函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值，并求出取得最大值時所有x的值；（2）當(dāng)時，設(shè)集合，，若，求實數(shù)m的取值范圍；（3）已知常數(shù)，，且函數(shù)在）內(nèi)恰有2021個零點，求常數(shù)a及n的值．【解】（1）當(dāng)時，，令，則，開口向下且對稱軸為，，即時，，此時；（2）當(dāng)時，，因為，則，因為，則，令令，則，開口向下，所以需滿足，解得，故實數(shù)m的取值范圍為；（3），令，則，所以，，所以有兩個不同得實數(shù)根，