初等幾何 第六章 各類考試中的幾何

第六章各類考試中的幾何問題6.1中考幾何問題“提供新材料、創(chuàng)設新情景、提出新問題”已成為幾何試題設計的新趨勢.這一新趨勢的主要表現(xiàn)是：在問題的背景上下功夫，力求情景新穎，讓學生在變化的試題情景中解題，在對學生已有幾何語言的讀、寫、譯能力的基礎上，力求考查學生的閱讀理解能力；在問題的呈現(xiàn)方式上下功夫，改變問題的呈現(xiàn)方式，多角度、多層次、多途徑，靈活地呈現(xiàn)問題，考查學生運用知識的靈活性；在問題的形式上下功夫，歸納型試題、方案型試題、探索型試題、開放型試題等，讓學生在幾何問題的探索中，數(shù)學思維得到錘煉，創(chuàng)新思維得到發(fā)展.6.1.1中考幾何問題的基本特點1.注重基礎知識，強調聯(lián)系實際近年來，中考幾何試題非常關注與實際生活的聯(lián)系，幾何知識與生活實際聯(lián)系密切，強調人與自然、社會協(xié)調發(fā)展的現(xiàn)代意識，引導學生關注社會生活和經(jīng)濟發(fā)展的基本走向，密切聯(lián)系最新的科技成果和社會熱點.注重促進學生幾何學習方式的改善，幾何學習效率的提高，激發(fā)并保持學生的學習興趣，使學生體會到幾何就在我們身邊.2.突出學科特點，加大探究力度近年來，中考幾何試題突出了平面幾何的兩大內(nèi)容：一是以圖形為主，直觀性強，所考查的圖形生動形象；二是以推理為主，邏輯性強，通過概念、判斷、推理、論證，考查學生的邏輯思維能力.近年來，中考幾何試題十分關注學生的閱讀理解能力、動手實踐能力、探索發(fā)現(xiàn)能力、抽象歸納能力的考查.3.關注知識整合，考查思想方法近年來，關注幾何知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)幾何知識的整體性，用具體的試題為載體考查數(shù)學思想和數(shù)學方法，是中考幾何試題的一大亮點.初中階段的幾何學習要掌握的數(shù)學思想主要有：數(shù)形結合、分類討論、化歸與轉化等；主要數(shù)學方法有：構造法、面積法、換元法、代數(shù)法等.這些數(shù)學思想和數(shù)學方法在近年來的中考試題中進行了多方位、多層次的考查.4.拓展思維空間，著眼學生發(fā)展近年來，各地中考的幾何試題已不再拘泥于知識點的考查，而是注重拓展思維空間，精心設計情景，多角度、多層次地考查學生的各種能力：通過變化問題的情景讓學生去分析、轉化，聯(lián)系，尋找解題途徑；適度拓展、發(fā)散探究問題，讓學生去聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)解題思路，考查學生的創(chuàng)造能力.6.1.2中考幾何問題的基本內(nèi)容新課程將初中幾何內(nèi)容分為圖形的認識、圖形與變換、圖形與坐標、圖形與證明四大模塊；從其研究方法上看，新課程將初中幾何分為實驗幾何與論證幾何.近年來中考幾何試題的基本內(nèi)容也主要包括四大模塊:圖形的認識、圖形與變換、圖形與坐標、圖形與證明.重點內(nèi)容重點考查的問題主要是：與圓相關的問題、解三角形、圖形的變換、圖形的計算與證明；與幾何有關的實際應用問題.其中實際應用問題將是構成中難度解答題的主要內(nèi)容，三角形、四邊形等內(nèi)容的綜合仍將是構成高難度題的主要內(nèi)容.6.1.3中考幾何問題的基本解法中考幾何問題是“按課標要求，不出偏題、怪題和死記硬背的題目”，突出對基礎知識、基本技能及基本數(shù)學思想方法的考查，著眼于考查學生的基本數(shù)學能力，強化應用，著重創(chuàng)新，強調幾何與學生現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，減少繁難的幾何證明題，淡化幾何證明的技巧，降低論證過程形式化的要求.中考幾何問題的基本解法是：數(shù)形結合法、分類討論法、化歸法、反證法和構造法等.例1（南充）

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于點F，交BP于點G，E在CD的延長線上，EP=EG.（1）求證：直線EP為⊙O的切線；（2）點P在劣弧AC上運動，其他條件不變，若BG2=BF?BO．試證明BG=PG；（3）在滿足(2)的條件下，已知⊙O的半徑為3，sinB=．求弦CD的長．分析：（1）連接OP先由EP=EG，證出∠EPG=∠BGF再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°推出∠EPG+∠OPB=90°（2）連接OG由BG2=BF?BO得出△BFG∽△BGO得出∠BGO=∠BFG=90°得出結論．（3）連接AC、BC、OG由sinB=，求出r由（2）得出∠B=∠OGF，求出OF再求出BF，F(xiàn)A，利用直角三角形來求斜邊上的高，再乘以2得出CD長度．答：CD=．

例2.（南充）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx－3b+3的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C，且經(jīng)過點（b－2，2b2－5b－1）.（1）求這條拋物線的解析式；（2）⊙M過A、B、C三點，交y軸于另一點D，求點M的坐標；（3）連接AM、DM，將∠AMD繞點M順時針旋轉，兩邊MA、MD與x軸、y軸分別交于點E、F，若△DMF為等腰三角形，求點E的坐標.解：（1）把點（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得2b2－5b－1=(b－2)2+b(b－2)－3b+3，解得b=2.∴拋物線的解析式為y=x2+2x－3.（2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.拋物線的對稱軸是直線x=－1，圓心M在直線x=－1上.∴設M（－1，n），作MG⊥x軸于G，MH⊥y軸于H，連接MC、MB.∴MH=1，BG=2.∵MB=MC，∴BG2+MG2=MH2+CH2，即4+n2=1+（3+n）2，解得n=－1，∴點M（－1，－1）

（3）如圖，由M（－1，－1），得MG=MH.∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2.由旋轉可知∠3=∠4.∴△AME≌△DMF.若△DMF為等腰三角形，則△AME為等腰三角形.設E（x，0），△AME為等腰三角形分三種情況：②∵M在AB的垂直平分線上，∴MA=ME=MB，∴E（1，0）例3（中考）如圖，在直角坐標系中，已知點A(0，2)、點B(﹣2，0)，過點B和線段OA的中點C作直線BC，以線段BC為邊向上作正方形BCDE．（1）若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）

經(jīng)過A、D、E三點，求該拋物線的解析式．

（2）若正方形和拋物線均以每秒個單位長度的速度沿射線BC同時向上平移，直至正方形的頂點E落在y軸上時，正方形和拋物線均停止運動．①在

運動過程中，設正方形落在y軸右側部分的面積為s，求s關于平移時間t（秒）的函數(shù)關系式，并寫出相應自變量t的取值范圍．②運動停止時，求拋物線的頂點坐標．

解：（1）由題意可知：OB=2，OC=1．如圖（1）所示，過D點作DH⊥y軸于H，過E點作EG⊥x軸于G．易證△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）；同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E(﹣3，2)．∴拋物線

注幾何動態(tài)問題是近年來中考出現(xiàn)較多的題型，它集質點的運動、線段的運動、圖形的變化一身，集幾何、代數(shù)知識于一體，是數(shù)與形的巧妙結合.在運動中分析、在變化中求解，這不僅反映了動態(tài)型命題的重要特征，而且還展示了動態(tài)型命題特有的發(fā)展功能和思維功能.6.2

高考幾何問題6.2.1高考幾何問題的基本特點高考幾何問題主要內(nèi)容包括學生必修與選修中的立體幾何、解析幾何及平面幾何中的基礎知識與基本技能.幾何問題是高考的必考內(nèi)容之一，近年來已形成“保持穩(wěn)定，注重基礎，突出能力，著力創(chuàng)新”的特點.這些特點，既有試題在幾何基礎層面上的呈顯，又有試題在數(shù)學能力上的體現(xiàn).1.試題在基礎知識層面的特點（1）緊扣教材，注重基礎（2）全面考查，重點突出（3）顧及體系，立意較高2．試題在數(shù)學能力層面的特點（1）考查思想，突出本質（2）低入高出，區(qū)分明顯（3）注重思維，減少計算（4）能力立意，全面考查（5）文理試題，差異合理（6）穩(wěn)中有進，適度創(chuàng)新6.2.2高考幾何問題的基本內(nèi)容隨著高中數(shù)學課程改革的推進，平面幾何列入了高中選修課程．寧夏、江蘇、廣東、海南等省在高考中先后出現(xiàn)了平面幾何題．這些試題雖然是選做題，但它卻傳遞了一個重要信息：高考要考平面幾何，高考復習也要復習平面幾何．其主要內(nèi)容包括初中平面幾何的內(nèi)容，高中補充的內(nèi)容，如射影定理、平行射影、平面與圓柱面的截線、平面與圓錐面的截線、梯形中位線定理、圓冪定理等．高考立體幾何試題，以基本位置關系的判定與柱、錐、球的相關角、距離、體積計算為基礎題，以證明空間線面的位置關系和有關數(shù)量關系的計算，諸如空間線面平行、垂直的判定與證明，線面角和距離的計算.高考命題的載體可能趨向于不規(guī)則幾何體，但仍以“方便建系”為原則.在高考中，立體幾何始終占有重要位置，以中檔題為主，兼有低檔題.高考解析幾何試題，既要考查直線與圓的方程、圓錐曲線的定義、方程與幾何性質及圖形等基礎知識，又要將幾何圖形置于直角坐標系中，借助方程研究曲線，體現(xiàn)“代數(shù)方法研究幾何問題”的解析幾何的基本思想方法；既綜合性強又有適當?shù)碾y度和較好的區(qū)分度.縱觀近年全國各地數(shù)學高考題，平面解析幾何問題常見的有：選擇題、填空題考查基礎知識；解答題分為解析幾何中最值和參數(shù)范圍問題；解析幾何中定點、定值和存在性問題；圓錐曲線與向量問題；圓錐曲線的切線及弦長問題；解析幾何交匯問題；求軌跡方程問題等.6.2.3高考幾何問題的基本解法高考幾何試題主要從以下幾個方面對數(shù)學思想方法進行考查.一是數(shù)學邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；二是數(shù)學思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；三是常用數(shù)學思想：數(shù)形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想等.數(shù)學思想方法與數(shù)學基礎知識之間，可以說，“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高學生數(shù)學素質的核心就是提高學生對數(shù)學思想方法的認識和運用，數(shù)學素質的綜合體現(xiàn)就是分析問題和解決問題的數(shù)學“能力”.例1．(四川)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D,D1分別是線段BC,B1C1的中點，P是線段AD的中點．（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)，試作出過點P與平面A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l⊥平面DD1A1；（Ⅱ）設（Ⅰ）中的直線l交AB于點M，交AC于點N，求