中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國(guó)通用）：專(zhuān)題30 正多邊形與圓、與弧長(zhǎng)公式、扇形面積、圓錐側(cè)面積有關(guān)的計(jì)算（解析版）

專(zhuān)題30正多邊形與圓、與弧長(zhǎng)公式、扇形面積、圓錐側(cè)面積有關(guān)的計(jì)算【考查題型】【知識(shí)要點(diǎn)】正多邊形概念：各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形。正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距?！窘忸}思路】1.正邊形半徑、邊心距和122.已知其中兩個(gè)值，第三個(gè)值可以借助勾股定理求解。正多邊形的對(duì)稱(chēng)性：1）正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱(chēng)軸，每條對(duì)稱(chēng)軸都通過(guò)正n邊形的中心。2）一個(gè)正多邊形，如果有偶數(shù)條邊，那么它既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形．對(duì)稱(chēng)中心就是這個(gè)正多邊的中心?！拘〗Y(jié)】正n變形的內(nèi)角為n?2×180°n，外角為3600【擴(kuò)展】正多邊形常見(jiàn)邊心距與邊長(zhǎng)的比值第一種正三角形在⊙O中△ABC是正三角形，在Rt△BOD中，OD:BD:OB=1:3:2(圖一變式正三角形內(nèi)切圓與外切圓半徑比為1:2（圖二）第二種正方形在⊙O中四邊形是正方形，在Rt△OAE中，OE:AE:OE=1:1:2(圖三變式正方形內(nèi)切圓與外切圓半徑比為1:2第三種正六變形在⊙O中六邊形是正六邊形，在Rt△OAB，AB:OB:OA=1:3:2(圖五圖一圖二圖三圖四圖五設(shè)QUOTE的半徑為R，QUOTE圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l，弧長(zhǎng)公式：QUOTE??=??????180l=nπR180扇形面積公式：QUOTE圓錐的側(cè)面積公式：(其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑)母線的概念：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周任意一點(diǎn)的線段。圓錐體表面積公式：QUOTE（l為母線）【備注】1）圓錐的表面積=扇形面積=底面圓面積2）扇形的弧長(zhǎng)為圓錐的底面圓周長(zhǎng)2πR求陰影部分面積的幾種常見(jiàn)方法：1）公式法；2）割補(bǔ)法；3）拼湊法；4）等積變形構(gòu)造方程法；5）去重法?？疾轭}型一與正多邊形中心角有關(guān)的計(jì)算典例1．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)M在上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可．【詳解】解：連接OC、OD、OE，如圖所示：∵正六邊形內(nèi)接于，∴∠COD==60°，則∠COE=120°，∴∠CME=∠COE=60°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的中心角、圓周角定理，熟練掌握正n多邊形的中心角為是解答的關(guān)鍵．變式1-1．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)正多邊形的中心角為，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（

）A．8 B．12 C．3 D．6【答案】B【分析】根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為，列方程即可得到答案．【詳解】解：，解得．這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為12．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形中心角的知識(shí)，掌握中心角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．變式1-2．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的周長(zhǎng)等于，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】連接OB，OC，由⊙O的周長(zhǎng)等于6π，可得⊙O的半徑，又由圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解：連接OB，OC，∵⊙O的周長(zhǎng)等于6π，∴⊙O的半徑為：3，∵∠BOC360°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB＝3，∴它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為3，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．變式1-3．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）大自然中有許多小動(dòng)物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過(guò)觀測(cè)研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個(gè)巢房的橫截面為正六邊形，若對(duì)角線的長(zhǎng)約為8mm，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（

）A．2mm B． C． D．4mm【答案】D【分析】如圖，連接CF與AD交于點(diǎn)O，易證△COD為等邊三角形，從而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．【詳解】連接CF與AD交于點(diǎn)O，∵為正六邊形，∴∠COD==60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，∴△COD為等邊三角形，∴CD=CO=DO=4mm，即正六邊形的邊長(zhǎng)為4mm，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)，正確把握正六邊形的中心角、半徑與邊長(zhǎng)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式1-4．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形和正五邊形內(nèi)接于，且有公共頂點(diǎn)A，則的度數(shù)為_(kāi)_____度．【答案】12【分析】連接AO，求出正六邊形和正五邊形的中心角即可作答．【詳解】連接AO，如圖，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB=360°÷6=60°，∵多邊形AHIJK是正五邊形，∴∠AOH=360°÷5=72°，∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角的知識(shí)，掌握正多邊形中心角的計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵．變式1-5．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）第二十四屆北京冬奧會(huì)入場(chǎng)式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國(guó)結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角可以為_(kāi)_________度．（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】60或120或180或240或300（寫(xiě)出一個(gè)即可）【分析】如圖（見(jiàn)解析），求出圖中正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義即可得．【詳解】解：這個(gè)圖案對(duì)應(yīng)著如圖所示的一個(gè)正六邊形，它的中心角，，角可以為或或或或，故答案為：60或120或180或240或300（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角、圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式1-6．（2020·黑龍江綏化·中考真題）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)P為上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)D，點(diǎn)E不重合），連接、，，垂足為G，等于________度．【答案】54【分析】連接OC，OD，利用正五邊形的性質(zhì)求出∠COD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理求得∠CPD，然后利用直角三角形的兩銳角互余即可解答．【詳解】連接OC，OD，∵ABCDE是正五邊形，∴∠COD=，∴∠CPD=∠COD=36o，∵，∴∠DGP=90o∴∠PDG=90o-∠CPD=90o-36o=54o，故答案為：54o．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A心角與圓周角之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．變式1-7．（2020·湖南株洲·中考真題）一個(gè)蜘蛛網(wǎng)如圖所示，若多邊形ABCDEFGHI為正九邊形，其中心點(diǎn)為點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在射線OA、OC上，則________度．【答案】80【分析】根據(jù)正多邊形性質(zhì)求出中心角，即可求出．【詳解】解：根據(jù)正多邊形性質(zhì)得，中心角為360°÷9=40°，∴．故答案為：80【點(diǎn)睛】本題考查了正n邊形中心角的定義，在正多邊形中，中心角為．考查題型二正多邊形與圓典例2．（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．3【答案】C【分析】利用圓的周長(zhǎng)先求出圓的半徑，正六邊形的邊長(zhǎng)等于圓的半徑，正六邊形一條邊與圓心構(gòu)成等邊三角形，根據(jù)邊心距即為等邊三角形的高用勾股定理求出OG．【詳解】∵圓O的周長(zhǎng)為，設(shè)圓的半徑為R，∴∴R=3連接OC和OD，則OC=OD=3∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD=，∴△OCD是等邊三角形，OG垂直平分CD，∴OC=OD=CD，∴故選C【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．變式2-1．（2022·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫，如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-3）．則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A． B． C．D．【答案】A【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接BD交CF于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，設(shè)AB交x軸于點(diǎn)P，根據(jù)題意得：BD∥x軸，AB∥y軸，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4，∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y軸，∴，∴，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-3），∴AP=3，OP=BN=2，∴，BP=1，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1+2=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，掌握正六邊形的性質(zhì)以及勾股定理是正確計(jì)算的前提，理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．變式2-2．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和的長(zhǎng)分別為（）A．4， B．3，π C．2， D．3，2π【答案】D【分析】連接、，證出是等邊三角形，根據(jù)勾股定理求出，再由弧長(zhǎng)公式求出弧的長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接、，六邊形為正六邊形，，，為等邊三角形，，，，的長(zhǎng)為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理,熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由勾股定理求出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．變式2-3．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣"，即通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開(kāi)始，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，……．邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形的周長(zhǎng)就越接近圓的周長(zhǎng)．再根據(jù)“圓周率等于圓周長(zhǎng)與該圓直徑的比”來(lái)計(jì)算圓周率．設(shè)圓的半徑為R，圖1中圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)，則．再利用圓的內(nèi)接正十二邊形來(lái)計(jì)算圓周率則圓周率約為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出正十二邊形的中心角，利用十二邊形周長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：∵十二邊形是正十二邊形，∴，∵于H，又，∴，∴圓內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)，∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，求出正十二邊形的周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．變式2-4．（2021·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，那么經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）【答案】A【分析】如圖，連接，．首先確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)6次一個(gè)循環(huán)，由，推出經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的的坐標(biāo)相同，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接，．在正六邊形中，，，，，在中，，，，，，，，將正六邊形繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，次一個(gè)循環(huán)，，經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的的坐標(biāo)相同，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，，經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，規(guī)律型問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．變式2-5．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長(zhǎng)近似代替其外接圓周長(zhǎng)，便可估計(jì)的值，下面d及的值都正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出多邊形的邊長(zhǎng)，利用多邊形內(nèi)角和求解內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求值即可．【詳解】解：設(shè)剪去△ABC邊長(zhǎng)AC=BC=x，可得：，解得x=，則BD=，∵正方形剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，根據(jù)正八邊形每個(gè)內(nèi)角為135度，，則∠BFD=22.5°，∴外接圓直徑d=BF=，根據(jù)題意知周長(zhǎng)÷d==，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、多邊形內(nèi)角和、圓周長(zhǎng)直徑公式和銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，閱讀理解題意是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．變式2-6．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）三個(gè)能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點(diǎn)的坐標(biāo)是，則A點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．【答案】【分析】如圖，延長(zhǎng)正六邊形的邊BM與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)A作軸于N，連接AO，BO，證明可得三點(diǎn)共線，可得關(guān)于O對(duì)稱(chēng)，從而可得答案．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)正六邊形的邊BM與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)A作軸于N，連接AO，BO，三個(gè)正六邊形，O為原點(diǎn)，同理：三點(diǎn)共線，關(guān)于O對(duì)稱(chēng)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，正多邊形的性質(zhì)，熟練的應(yīng)用正多邊形的性質(zhì)解題是解本題的關(guān)鍵．變式2-7．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=6，點(diǎn)M在邊AF上，且AM=2．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長(zhǎng)是_____．【答案】【分析】如圖，連接AD，CF，交于點(diǎn)O，作直線MO交CD于H，過(guò)O作OP⊥AF于P，由正六邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形可得：由正六邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形可得：可得直線MH平分正六邊形的面積，O為正六邊形的中心，再利用直角三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，連接AD，CF，交于點(diǎn)O，作直線MO交CD于H，過(guò)O作OP⊥AF于P，由正六邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形可得：由正六邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形可得：∴直線MH平分正六邊形的面積，O為正六邊形的中心，由正六邊形的性質(zhì)可得：為等邊三角形，而則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓的知識(shí)，掌握“正六邊形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形也是中心對(duì)稱(chēng)圖形”是解本題的關(guān)鍵．變式2-8．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤(pán)的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形和等邊三角形組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若厘米，則這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)________厘米．【答案】54【分析】設(shè)AB交EF、FD與點(diǎn)N、M，AC交EF、ED于點(diǎn)G、H，BC交FD、ED于點(diǎn)O、P，再證明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等邊三角形即可求解．【詳解】設(shè)AB交EF、FD與點(diǎn)N、M，AC交EF、ED于點(diǎn)G、H，BC交FD、ED于點(diǎn)O、P，如圖，∵六邊形MNGHPO是正六邊形，∴∠GNM=∠NMO=120°，∴∠FNM=∠FMN=60°，∴△FMN是等邊三角形，同理可證明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等邊三角形，∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，∵等邊△ABC≌等邊△DEF，∴AB=DE，∵AB=27cm，∴DE=27cm，∴正六邊形MNGHPO的周長(zhǎng)為：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，故答案為：54．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握正六邊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．變式2-9．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開(kāi)的開(kāi)口b=20mm，則邊長(zhǎng)a為_(kāi)________mm．【答案】【分析】根據(jù)題意，即是求該正六邊形的邊心距的2倍．構(gòu)造一個(gè)由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，且其半邊所對(duì)的角是30度，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識(shí)求解．【詳解】解：如圖，設(shè)正六邊形的中心是O，其一邊是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四邊形ABCO是菱形，∵AB=a，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=，∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=AC，∵AC=20mm，∴a=AB=（mm）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓的知識(shí)，構(gòu)造一個(gè)由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解是關(guān)鍵．變式2-10．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）六個(gè)帶角的直角三角板拼成一個(gè)正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積_________．【答案】．【分析】由六個(gè)帶角的直角三角板拼成一個(gè)正六邊形，直角三角板的最短邊為1，可以得到中間正六邊形的邊長(zhǎng)為1，做輔助線以后，得到△ABC、△CDE、△AEF為以1為邊長(zhǎng)的等腰三角形，△ACE為等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)求出邊長(zhǎng)，求出面積之和即可．【詳解】解：如圖所示，連接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，在正六邊形ABCDEF中，∵直角三角板的最短邊為1，∴正六邊形ABCDEF為1，∴△ABC、△CDE、△AEF為以1為邊長(zhǎng)的等腰三角形，△ACE為等邊三角形，∵∠ABC=∠CDE=∠EFA=120?，AB=BC=CD=DE=EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE=∠FEA=30?，∴BG=DI=FH=，∴由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=EH=AH=，∴AC=AE=CE=，∴由勾股定理得：AI=，∴S=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)、正多邊形形與圓以及等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于知識(shí)點(diǎn)：在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的應(yīng)用．變式2-11．（2021·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)是24cm，連接這個(gè)六邊形的各邊中點(diǎn)G，H，K，L，M，N，則六邊形GHKLMN的周長(zhǎng)是___cm．【答案】【分析】如圖，連接過(guò)作于再求解正六邊形的邊長(zhǎng)為證明再求解再利用三角形的中位線定理可得答案.【詳解】解：如圖，連接過(guò)作于正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)是24cm，分別為的中點(diǎn)，同理：六邊形GHKLMN的周長(zhǎng)是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.變式2-12．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正五邊形內(nèi)接于⊙，閱讀以下作圖過(guò)程，并回答下列問(wèn)題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，為半徑作圓弧，與⊙交于點(diǎn)M，N；③連接．(1)求的度數(shù)．(2)是正三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)從點(diǎn)A開(kāi)始，以長(zhǎng)為半徑，在⊙上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．【答案】(1)(2)是正三角形，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)可得，則(優(yōu)弧所對(duì)圓心角)，然后根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)所作圖形以及圓周角定理即可得出結(jié)論；（3）運(yùn)用圓周角定理并結(jié)合（1）（2）中結(jié)論得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵正五邊形．∴，∴，∵，∴(優(yōu)弧所對(duì)圓心角)，∴；（2）解：是正三角形，理由如下：連接，由作圖知：,∵，∴，∴是正三角形，∴，∴，同理，∴，即，∴是正三角形；（3）∵是正三角形，∴．∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，正多邊形的性質(zhì)，讀懂題意，明確題目中的作圖方式，熟練運(yùn)用圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．變式2-13．（2021·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個(gè)圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問(wèn)題，可以使解題思路清晰，解題過(guò)程簡(jiǎn)便快捷．（1）在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為_(kāi)____，其內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為_(kāi)_____；（2）①如圖1，是邊長(zhǎng)為的正內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中心，設(shè)點(diǎn)到各邊距離分別為，，，連接，，，由等面積法，易知，可得_____；（結(jié)果用含的式子表示）②如圖2，是邊長(zhǎng)為的正五邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到五邊形各邊距離分別為，，，，，參照①的探索過(guò)程，試用含的式子表示的值．（參考數(shù)據(jù)：，）（3）①如圖3，已知的半徑為2，點(diǎn)為外一點(diǎn)，，切于點(diǎn)，弦，連接，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____；（結(jié)果保留）②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造．若要將花壇形狀改造成五邊形，其中點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由．【答案】（1），1；（2）①；②；（3）①；②見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)等積法解得直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)，及利用內(nèi)切圓的性質(zhì)解題即可；（2）①先求得邊長(zhǎng)為的正的面積，再根據(jù)解題即可；②設(shè)點(diǎn)為正五邊形的中心，連接，，過(guò)作于，先由正切定義，解得的長(zhǎng)，由①中結(jié)論知，，繼而得到，據(jù)此解題；（3）①由切線性質(zhì)解得，再由平行線性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)解得，根據(jù)平行線間的距離相等，及同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等的性質(zhì)，可知圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積，最后根據(jù)扇形面積公式解題；②連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)，據(jù)此解題．【詳解】解：（1）直角三角形的面積為：，直角三角形斜邊為：，設(shè)直角三角形斜邊上的高為，則設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑為，則，故答案為：，1；（2）①邊長(zhǎng)為的正底邊的高為，面積為：，故答案為：；②類(lèi)比①中方法可知，設(shè)點(diǎn)為正五邊形的中心，連接，，由①得，過(guò)作于，，故，，故，從而得到：．（3）①是的切線，過(guò)點(diǎn)作，是的高，故答案為：；②如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，連接，∵，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓的知識(shí)，涉及含30°角的直角三角形、正切、切線的性質(zhì)、扇形面積公式、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．考查題型三與弧長(zhǎng)公式有關(guān)的計(jì)算典例3．（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，則的長(zhǎng)為（

）A．6π B．2π C．π D．π【答案】D【分析】先根據(jù)圓周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半徑OB，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出答案即可．【詳解】解：∵直徑AB=6，∴半徑OB=3，∵圓周角∠A=30°，∴圓心角∠BOC=2∠A=60°，∴的長(zhǎng)是=π，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式和圓周角定理，能熟記弧長(zhǎng)公式是解此題的關(guān)鍵，注意：半徑為r，圓心角為n°的弧的長(zhǎng)度是．變式3-1．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門(mén)洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門(mén)洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為，高為，則改建后門(mén)洞的圓弧長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理先求得圓弧形的門(mén)洞的直徑BC，再利用矩形的性質(zhì)證得是等邊三角形，得到，進(jìn)而求得門(mén)洞的圓弧所對(duì)的圓心角為，利用弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】如圖，連接，，交于點(diǎn)，∵，∴是直徑，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴門(mén)洞的圓弧所對(duì)的圓心角為，∴改建后門(mén)洞的圓弧長(zhǎng)是(m)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，從實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．變式3-2．（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則的長(zhǎng)是（

）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】A【分析】如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得的角度，進(jìn)而可得所對(duì)的圓心角，根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：如圖，PA，PB分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B．，∠P＝40°，，該圓半徑是9cm，cm，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，求弧長(zhǎng)，牢記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．變式3-3．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計(jì)）的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（），點(diǎn)是這段弧所在圓的圓心，半徑，圓心角，則這段彎路（）的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和弧長(zhǎng)公式，可以計(jì)算出這段彎路（）的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵半徑OA=90m，圓心角∠AOB=80°，這段彎路（）的長(zhǎng)度為：，故選C【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確弧長(zhǎng)計(jì)算公式變式3-4（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）圓錐的底面圓半徑是1，母線長(zhǎng)是3，它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是（

）A．90° B．100° C．120° D．150°【答案】C【分析】圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是，由題意得：，解得，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖、弧長(zhǎng)公式，熟記弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．變式3-5．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O在邊AC上，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)C，且與邊AB相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則劣弧的長(zhǎng)是________（結(jié)果保留）【答案】【分析】如圖，連接OD，OE，證明可得再證明可得再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接OD，OE，∵∴∵與邊AB相切于點(diǎn)D，∴∴的長(zhǎng)故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，弧長(zhǎng)的計(jì)算，求解是解本題的關(guān)鍵．變式3-6．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐的母線AB＝6，底面半徑CB＝2，則其側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角α＝_______．【答案】120°．【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到＝2π?2，然后解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得＝2π?2，解得α＝120，即側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為120°．故答案為120°．【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)公式，弧長(zhǎng)公式，方程思想在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中非常重要，是中考的熱點(diǎn)，在各種題型中均有出現(xiàn)，要特別注意．變式3-7．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)A，交邊BC于點(diǎn)C，D，∠B=90°，連接OD，AD．(1)若∠ACB=20°，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留）．(2)求證：AD平分∠BDO．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）連接，由，得，由弧長(zhǎng)公式即得的長(zhǎng)為；（2）根據(jù)切于點(diǎn)，，可得，有，而，即可得，從而平分．【詳解】（1）解：連接OA，∵∠ACB＝20°，∴∠AOD＝40°，∴，．（2）證明：，，切于點(diǎn)，，，，，，平分．【點(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的計(jì)算及圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式及圓的切線的性質(zhì)．考查題型四與扇形面積有關(guān)的計(jì)算典例4．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長(zhǎng)分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．【詳解】解：S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC====2.25π（m2）故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積，不規(guī)則圖形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．變式4-1．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在的長(zhǎng)方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，扇形OAB的圓心及弧的兩端均為格點(diǎn)．假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒(méi)有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值．【詳解】解：由圖可知，總面積為：5×6=30，，∴陰影部分面積為：，∴飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來(lái)，一般用陰影區(qū)域表示所求事件；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件發(fā)生的概率．變式4-2．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過(guò)9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)OC作OD⊥AB于點(diǎn)D，∵∠AOB=2×=60°，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，∴OD=，∴陰影部分的面積為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計(jì)算方法，掌握扇形面積、等邊三角形的面積的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．變式4-3．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，，，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積為(

)A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理定理求出AB，然后根據(jù)扇形的面積和三角形的面積公式求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴所掃過(guò)的面積為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，勾股定理，熟練掌握扇形的面積公式是解答的關(guān)鍵．變式4-4．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，求得的長(zhǎng)，勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，連接,，邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)接于，即，，，為的直徑，，，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式4-5．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，和交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)（不與，重合），交于點(diǎn)．以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓交直線于點(diǎn)，．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得四邊形的面積等于正方形面積的一半，根據(jù)陰影部分面積等于半圓減去四邊形的面積和弓形的面積即可求解．【詳解】解：在正方形中，，的半徑為：過(guò)點(diǎn)，根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)可得四邊形的面積等于正方形面積的一半，又陰影部分面積為：故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，求扇形面積，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式4-6．（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，以O(shè)C為半徑的扇形的圓心角．則圖中陰影部分面積是_____．【答案】【分析】證明△OCG≌△OBE，經(jīng)過(guò)觀察易得出結(jié)論：陰影部分面積=扇形面積-正方形面積的．【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，∵扇形的圓心角，∴∠BOC-∠COE=∠FOH-∠COE，即∠BOE=∠COG，在△OCG和△OBE中，∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG，OB=OC∴△OCG≌△OBE，∵正方形邊長(zhǎng)為4，∴AC=，∴OC=∵，===故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等以及扇形面積的計(jì)算；掌握正方形的性質(zhì)，熟練地進(jìn)行三角形全等的判定，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)圖形的面積是解題的關(guān)鍵．變式4-7．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）若一個(gè)圓錐體的底面積是其表面積的，則其側(cè)面展開(kāi)圖圓心角的度數(shù)為_(kāi)_____________．【答案】120°##120度【分析】根據(jù)圓錐的底面積是其表面積的，則得到圓錐底面半徑和母線長(zhǎng)的關(guān)系，根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)＝底面周長(zhǎng)即可求得圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)．【詳解】解：設(shè)底面圓的半徑為，側(cè)面展開(kāi)扇形的半徑為R，扇形的圓心角為n°．由題意得，，∵個(gè)圓錐體的底面積是其表面積的，∴，．由得，故．由得：，解得．故答案為：120°．【點(diǎn)睛】此題通過(guò)圓錐的底面和側(cè)面，結(jié)合有關(guān)圓、扇形的一些計(jì)算公式，重點(diǎn)考查空間想象能力、綜合應(yīng)用能力．熟記圓的面積和周長(zhǎng)公式、扇形的面積和兩個(gè)弧長(zhǎng)公式并靈活應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．變式4-8（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，于點(diǎn)D，平分．(1)求證：直線是的切線；(2)若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接OC，根據(jù)OB=OC，以及平分推導(dǎo)出，即可得出，從而推出，即證明得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)O作于F，利用即可得出答案．【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵于點(diǎn)D，∴，∴直線是的切線；（2）過(guò)點(diǎn)O作于F，如圖，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問(wèn)題，包括垂徑定理，圓的切線，扇形的面積公式等，熟練掌握以上性質(zhì)并正確作出輔助線是本題的關(guān)鍵．變式4-9．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，經(jīng)過(guò)圓心交于點(diǎn)，連接，．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線與相切，理由見(jiàn)解析(2)圖中陰影部分的面積【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到，解直角三角形得到，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：直線與相切，理由：如圖，連接，∵，∴，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵是的半徑，∴直線與相切；（2）解：如（1）中圖，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，扇形面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．變式4-10．（2022·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接CA，CO，CB．(1)求證：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號(hào)）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)30°(3)2π﹣2【分析】（1）由AB是半圓O的直徑，CP是半圓O的切線，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，從而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度數(shù)是30°；（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用陰影部分的面積等于半圓減去S△ABC即可解題．【詳解】（1）∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圓O的切線，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度數(shù)是30°；（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝BC?AC＝×2×2＝2，∴陰影部分的面積是﹣2＝2π﹣2，答：陰影部分的面積是2π﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用等知識(shí)，題目難度不大．考查題型五與圓錐側(cè)面積有關(guān)的計(jì)算典例5．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）已知圓錐的母線長(zhǎng)8cm，底面圓的直徑6cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（

）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【答案】D【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積=×底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)計(jì)算即可求解．【詳解】解：底面直徑為6cm，則底面周長(zhǎng)=6π，側(cè)面面積=×6π×8=24πcm2．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積=×底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)．變式5-1（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）用一張半圓形鐵皮，圍成一個(gè)底面半徑為的圓錐形工件的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則圓錐的母線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，根據(jù)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為半圓形鐵皮的周長(zhǎng)（不包括直徑）列式求解即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，由題意得：，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐的母線長(zhǎng)，熟知圓錐的底面圓周長(zhǎng)為半圓形鐵皮的周長(zhǎng)（不包括直徑）是解題的關(guān)鍵．變式5-2．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后，開(kāi)始倒轉(zhuǎn)“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）．“沙漏”是由一個(gè)圓錐體和一個(gè)圓柱體相通連接而成．某次計(jì)時(shí)前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖（2）所示，求此時(shí)“沙漏”中液體的高度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圓錐的圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根據(jù)園錐、圓柱體積公式可得液體的體積為63πcm3，圓錐的體積為72πcm3，設(shè)此時(shí)“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．【詳解】解：如圖，作圓錐的高AC，在BC上取點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作DE⊥AC于點(diǎn)D，則AB=6cm，AC=6cm，∴△ABC為等腰直角三角形，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴△CDE為等腰直角三角形，∴CD=DE，圓柱體內(nèi)液體的體積為：圓錐