初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽-圓1.圓的基本性質(zhì)

第1講圓的根本性質(zhì)知識(shí)總結(jié)歸納一．圓的定義：〔1〕描述性定義：在一個(gè)平面，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，其中固定端點(diǎn)叫做圓心，叫做半徑．〔2〕集合性定義：平面到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，頂點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑．〔3〕圓的表示方法：通常用符號(hào)表示圓，定義中以為圓心，為半徑的圓記作“〞，讀作“圓〞?！?〕同圓、同心圓、等圓：圓心一樣且半徑相等的圓叫同圓；圓心一樣，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓．注意：同圓或等圓的半徑相等．二．弦和弧：〔1〕弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．〔2〕直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的倍．〔3〕弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距．〔4〕?。簣A上任意兩點(diǎn)間的局部叫做圓弧，簡(jiǎn)稱?。詾槎它c(diǎn)的圓弧記作，讀作?。?〕等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。?〕半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．〔7〕優(yōu)弧、劣弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．〔8〕弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．三．垂徑定理：〔1〕垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?〕推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。幌业拇怪逼椒志€經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?〕推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等．四．圓心角和圓周角〔1〕圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．將整個(gè)圓分為等份，每一份的弧對(duì)應(yīng)的圓心角，我們也稱這樣的弧為的弧．圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等．〔2〕圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．〔3〕圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等．推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形．〔4〕圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，則它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等．五．直線與圓的位置關(guān)系設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒有公共點(diǎn)．直線與相離相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，唯一公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．直線與相切相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線．直線與相交六.切線的判定〔1〕定義法：和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；〔2〕距離法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；〔3〕定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．七.弦切角定理弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。典型例題垂徑定理及圓的對(duì)稱性如下圖，在與三角形所組成的圖形中，，求證:．如下圖，同心圓中，大圓的弦交小圓于，兩點(diǎn)，試證明：．如圖，矩形與圓心在上的交于點(diǎn)，，，，則_______．如下圖，在中，，，假設(shè)以為圓心、的長(zhǎng)為半徑的圓交于，則_______．如圖，的半徑是，點(diǎn)到圓心的距離為，求過點(diǎn)的所有弦中最短弦的長(zhǎng)度．如圖，在的直徑上取一點(diǎn)，過作兩條弦、，假設(shè)，求證：．BBDQPOCAM圓心角和圓周角如圖，是的外接圓，，則的大小為_______．：如圖，四邊形是的接正方形，點(diǎn)是劣弧上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則的度數(shù)是_______．如圖，量角器外沿上有兩點(diǎn)，它們的度數(shù)分別是，則的度數(shù)為_______．如圖，是的直徑，是的弦．假設(shè)，則的大小為_______．如圖，，弧的度數(shù)為，求弧和的度數(shù)如圖，的外角平分線交其外接圓于，連接、，求證：．如圖，銳角接于圓，，作交劣弧于點(diǎn)，連結(jié)，求．OOBCEA如圖，是的直徑，點(diǎn)，，都在上，假設(shè)，求．過上一點(diǎn)作弦，使，如圖，過點(diǎn)作于，于，求證：．點(diǎn)、、順次在圓上，弧，于，求證：．OOCDABM直線與圓相切如圖，為等腰三角形，，是底邊的中點(diǎn)，與腰相切于點(diǎn)，求證：與相切．如下圖在中，，的平分線交于，為上一點(diǎn)，，以為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫圓．求證：〔1〕是的切線；〔2〕．如圖，以直角梯形中，以為直徑的圓與相切，求證：以為直徑的圓與相切．：如圖，是的直徑，為上一點(diǎn)，過點(diǎn)，于，平分．求證：為的切線．如圖，分別切于、兩點(diǎn)，滿，且，，求．BBCAPO如圖，與直角的斜邊相切于，與直角邊相交于點(diǎn)，且．，，，求⊙的半徑．OOECBDAEDCBA如圖，在中，過、、三點(diǎn)的圓交于點(diǎn)，且與相切，假設(shè)，，求的長(zhǎng)．EDCBA思維飛躍如圖，的直徑為，是直徑上一點(diǎn)，是過的一條弦，，過、分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，求與的長(zhǎng)度之差．OOAFEBCGD如圖，為外一點(diǎn)，過點(diǎn)引兩條割線和，點(diǎn)分別是弧的中點(diǎn)，連結(jié)交，與．求證：為等腰三角形．如圖，在半徑為的⊙中，引兩條互相垂直的直徑和，在上取點(diǎn)，弦交于，弦交于，試證：四邊形的面積為．OOQPCEBAF如圖，是的直徑，是的切線，平行于弦．過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)與交于點(diǎn)，問與是否相等？證明你的結(jié)論．OOPEDMCB假設(shè)圓接四邊形的對(duì)角線互相垂直，求證：〔1〕過對(duì)角線交點(diǎn)且平分一邊的直線必垂直于這邊的對(duì)邊；〔2〕從外接圓圓心到一邊的距離等于這邊對(duì)邊的一半．作業(yè)如圖，是的弦，，垂足為，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上．〔1〕假設(shè)，求的度數(shù)；〔2〕假設(shè)，，求的長(zhǎng)．如下圖，為的直徑，是弦，且于點(diǎn)．連接．〔1〕求證：．〔2〕假設(shè)，求的直徑．NFMBACO如圖，接于，弦，是直徑，是弧的中點(diǎn)，求證：〔1〕平分；〔2〕弧?。甆FMBACO如圖，是的直徑，且，弦的長(zhǎng)為，假設(shè)弦的兩端在圓上滑動(dòng)時(shí)，始終與相交，記點(diǎn)到的距離分別為，則等于()

A．B．C．D．如圖，過的直徑上兩點(diǎn)，分別作弦，假設(shè)．求證：〔1〕弧??；〔2〕．如下列圖所示，以的直角邊為直徑作半圓，交斜邊于，交于，求證：是的切線；如圖，切于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，弦，求證：．：如圖，在中，，以為直徑的