山東省濟南市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題（Ｂ卷）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁山東省濟南市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題（Ｂ卷）第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．已知，其中，i為虛數(shù)單位，則（

）A． B．1 C． D．22．為宣傳城市文化，提高城市知名度，我市某所學(xué)校5位同學(xué)各自隨機從“趵突騰空”、“歷山覽勝”、“明湖匯泊”三個城市推薦詞中選擇一個，來確定該學(xué)校所推薦的景點，則三個推薦詞都有人選的概率是（

）A． B． C． D．3．已知中，，則（

）A． B． C． D．4．函數(shù)在區(qū)間上的圖像如圖所示，將該函數(shù)圖像上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度后，所得到的圖像關(guān)于原點對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)是5，方差是4，則由，，和這四個數(shù)據(jù)組成的新數(shù)據(jù)組的方差是（

）A．16 B．14 C．12 D．116．下如圖是世界最高橋——貴州北盤江斜拉橋.下如圖是根據(jù)下如圖作的簡易側(cè)視圖（為便于計算，側(cè)視圖與實物有區(qū)別）.在側(cè)視圖中，斜拉桿PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D與塔柱上的點O都在橋面同一側(cè)的水平直線上.已知，，，.根據(jù)物理學(xué)知識得，則（

）A．28m B．20m C．31m D．22m7．已知長方體中，，M為的中點，N為的中點，過的平面與DM，都平行，則平面截長方體所得截面的面積為（

）A． B． C． D．8．在中，點是線段上的點，且滿足，過點的直線分別交直線、于點、，且，，其中且，若的最小值為3，則正數(shù)的值為(

)A．2 B．3 C． D．評卷人得分二、多選題9．從含有3道代數(shù)題和2道幾何題的5道試題中隨機抽取2道題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回，則（

）A．“第1次抽到代數(shù)題”與“第1次抽到幾何題”是互斥事件B．“第1次抽到代數(shù)題”與“第2次抽到幾何題”相互獨立C．第1次抽到代數(shù)題且第2次也抽到代數(shù)題的概率是D．在有代數(shù)題的條件下，兩道題都是代數(shù)題的概率是10．在棱長為1的正方體中，已知為線段的中點，點和點分別滿足，，其中，，，則（

）A．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時，四棱錐的外接球的表面積是C．若直線與平面所成角的正弦值為，則D．存在唯一的實數(shù)對，使得平面11．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足有下列結(jié)論正確的有(

)A．B．若，則函數(shù)的最小正周期為；C．關(guān)于x的方程在區(qū)間上最多有4個不相等的實數(shù)解D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為12．已知等邊三角形ABC的邊長為6，M，N分別為AB，AC的中點，如圖所示，將△AMN沿MN折起至，得到四棱錐，則在四棱錐中，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)四棱錐的體積最大時，二面角為直二面角B．在折起過程中，存在某位置使BN⊥平面C．當(dāng)四棱錐體積的最大時，直線與平面MNCB所成角的正切值為D．當(dāng)二面角的余弦值為時，的面積最大第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分三、填空題13．已知向量，.若，則___________.14．甲和乙兩個箱子中各裝有個球，其中甲箱中有個白球?個紅球，乙箱中有個紅球?個白球.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)為或，從甲箱子隨機摸出個球；如果點數(shù)為，從乙箱子中隨機摸出個球.則摸到紅球的概率為___________.15．已知三棱錐的四個頂點在球O的球面上，且滿足條件，，，，，，則球O的表面積為______.16．已知、、為△的三內(nèi)角，且角為銳角，若，則的最小值為______.評卷人得分四、解答題17．已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量，且，(1)若,求面積的最大值.；(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍18．為普及抗疫知識?弘揚抗疫精神，某學(xué)校組織防疫知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲?乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲?乙勝出的概率分別為，.甲?乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)從甲?乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？(2)若甲?乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.19．如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，，∠ABC＝30°，AE⊥BC，垂足為E．以AE為折痕把△ABE折起，使點B到達(dá)點P的位置，且平面PAE與平面AECD所成的角為90°（如圖2）．(1)求證：PE⊥CD；(2)若點F在線段PC上，且二面角F－AD－C的大小為30°，求三棱錐F－ACD的體積．20．以簡單隨機抽樣的方式從某小區(qū)抽取戶居民用戶進行用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在kw?h之間，進行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）求直方圖中的值；（Ⅱ）估計該小區(qū)居民用電量的平均值和中位數(shù)；（Ⅲ）從用電量落在區(qū)間內(nèi)被抽到的用戶中任取戶，求至少有戶落在區(qū)間內(nèi)的概率．21．已知向量，，函數(shù)，（1）當(dāng)時，求函數(shù)的值；（2）若不等式對所有恒成立.求實數(shù)的范圍.22．如圖，在四棱錐中，底面，底面是等腰梯形，，，E是PB上一點，且．(1)求證：平面；(2)已知平面平面，求二面角的余弦值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算結(jié)合復(fù)數(shù)相等的概念，列出方程，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，所以，解得.故選A．2．A【解析】【分析】由分步計數(shù)原理、分組分配方法求出選擇景點的方法數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．【詳解】5位同學(xué)任意選取1個景點的方法數(shù)為，三個推薦詞都有人選，可以先把5人分成三組，然后每組選一個，方法數(shù)為，所以所求概率為．故選：A．3．B【解析】【分析】由正弦定理及余弦定理可得，利用輔助角公式及均值不等式可得，據(jù)此求出，再由誘導(dǎo)公式求得即可.【詳解】由正弦定理可得，，又，，化簡得：當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，其中，，即，又，，，，即，，.故選：B4．C【解析】【分析】由周期求出，代點求出的值，可得函數(shù)的的解析式，再根據(jù)函數(shù)的對稱性求出的值，結(jié)合可得結(jié)論．【詳解】由函數(shù)的圖象，得，，又函數(shù)過點，得，又，可知．故．把的圖象各點的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度后，得到的圖象，∵所得圖象關(guān)于原點對稱，，即即Z，解得：Z，由，可得當(dāng)時，的最小值為．故選：C5．C【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計算可得；【詳解】解：由已知得，，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以方差為，，故選：C．6．D【解析】【分析】由，得，則可得，可求得，，分別為的中點，則由已知可得為的中點，再結(jié)合已知的數(shù)據(jù)可求得結(jié)果【詳解】因為，所以，因為，所以∽，所以，所以，因為，，所以，設(shè)，分別為的中點，因為，所以，所以為的中點，因為，，所以，所以，所以，所以故選：D7．A【解析】【分析】過作交延長線于，為中點，連接，利用長方體性質(zhì)及線面平行的判定證面、面，即面為平面，再延長交于，連接，利用線線、線面的性質(zhì)確定面為平面截長方體所得截面，最后延長分別交于一點并判斷交于同一點，根據(jù)已知結(jié)合余弦定理、三角形面積公式及求截面面積即可.【詳解】過作交延長線于，則，若為中點，連接，而M為的中點，在長方體中，而且面，由面，則面，由面，則面，所以面即為平面，延長交于，易知：為中點，則且，又且，故為平行四邊形，則且，故共面，連接，即面為平面截長方體所得截面，延長分別交于一點，而在中都為中位線，由，，則，故交于同一點，易知：△為等腰三角形且，，則，可得，又.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用長方體的性質(zhì)及線面平行的判定確定平面，再根據(jù)平面的基本性質(zhì)找到平面截長方體所得截面，并應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式及相似比求截面面積.8．B【解析】【分析】用和表示，根據(jù)E、O、F三點共線可得，利用和基本不等式可求的最小值，再根據(jù)的最小值為3即可求出t的值．【詳解】，∵E、O、F三點共線，∴，∵m>0，n>0，t>0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴．故選：B．9．ACD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件，獨立事件的定義判斷AB，利用條件概率公式計算判斷CD．【詳解】“第1次抽到代數(shù)題”與“第1次抽到幾何題”這兩個事件不可能同時發(fā)生，它們互斥，A正確；“第1次抽到代數(shù)題”這個事件發(fā)生與否對事件“第2次抽到幾何題”發(fā)生的概率有影響，“第1次抽到代數(shù)題”發(fā)生時，“第2次抽到幾何題”的概率是，“第1次抽到代數(shù)題”不發(fā)生時，“第2次抽到幾何題”的概率是，它們不獨立；B錯；第1次抽到代數(shù)題且第2次也抽到代數(shù)題的概率是，C正確；抽取兩次都是幾何題的概率是，因此有代數(shù)題的概率是，在有代數(shù)題的條件下，兩道題都是代數(shù)題的概率是，D正確．故選：ACD．10．ABC【解析】【分析】根據(jù)錐體體積的求法、幾何體外接球表面積的求法、線面角、線面垂直等知識對選項進行分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A，當(dāng)時，是的中點，連接與交于點，則為的中點，∴，面，又點在上，∴點到面的距離為定值，∴三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B，當(dāng)時，點為的中點，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，則球心O在PM延長線上，由OP=R得OM=，由得，解得，∴外接球的表面積為，故B正確；對于C，連接，過點作于，連接，∵平面，∴平面平面，平面平面，∴平面，∴為與平面所成角，∵，∴，，在由余弦定理有，在中由勾股定理有，∴，解得，故C正確．對于D，∵點在上，又在上，在上，∴平面即為平面，又易證平面，∴是平面的法向量，∴要使平面，須與共線，即須與共線，顯然不可能，∴不存在實數(shù)對使得平面，故D錯誤.故選：ABC11．ABD【解析】【分析】A：在上單調(diào)，，，故；B：求出區(qū)間右端點關(guān)于的對稱點，由題可知在上單調(diào)，據(jù)此可求出f(x)周期的范圍，從而求出ω的范圍.再根據(jù)知是f(x)的對稱軸，根據(jù)對稱軸和對稱中心距離為周期的倍即可求出ω，從而求出其周期；C：根據(jù)ω的范圍求出周期的范圍，根據(jù)正弦型函數(shù)一個完整周期只有一個最高點即可求解；D：由知，是函數(shù)在區(qū)間，上的第1個零點，而在區(qū)間上恰有5個零點，則，據(jù)此即可求ω的范圍.【詳解】A，∵，∴在上單調(diào)，又，，∴，故A正確；B，區(qū)間右端點關(guān)于的對稱點為，∵，f(x)在上單調(diào)，∴根據(jù)正弦函數(shù)圖像特征可知在上單調(diào)，∴為的最小正周期，即3，又，∴.若，則的圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合，得，即，故k＝0，，故B正確.C，由，得，∴在區(qū)間上最多有3個完整的周期，而在1個完整周期內(nèi)只有1個解，故關(guān)于的方程在區(qū)間上最多有3個不相等的實數(shù)解，故C錯誤.D，由知，是函數(shù)在區(qū)間，上的第1個零點，而在區(qū)間上恰有5個零點，則，結(jié)合，得，又，∴的取值范圍為，故D正確.故選：ABD.【點睛】本題綜合考察的周期、單調(diào)性、對稱中心、對稱軸等特性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦型函數(shù)對稱軸，對稱中心的位置特征，掌握正弦型函數(shù)單調(diào)性與周期的關(guān)系.常用結(jié)論：(1)單調(diào)區(qū)間的長度最長為半個周期；(2)一個完整周期內(nèi)只有一個最值點；(3)對稱軸和對稱中心之間的距離為周期的倍.12．ACD【解析】【分析】由四棱錐的體積最大，即高最大即可判斷A選項；令BN⊥平面，則，推出矛盾即可判斷B選項；由線面角的定義即可判斷C選項；由面面角的定義求得，進而求出為等腰直角三角形即可判斷D選項.【詳解】如圖，取中點，易得，由于四邊形的面積為定值，要使四棱錐的體積最大，即高最大，當(dāng)面時，此時高為最大，二面角為直二面角，A正確；若BN⊥平面，則，又，，則，又，，故不成立，即不存在某位置使BN⊥平面，B錯誤；由上知，當(dāng)四棱錐體積的最大時，即二面角為直二面角，面，此時直線與平面MNCB所成角即為，易得四邊形為等腰梯形，取中點，易得，且，故，又，故，C正確；如圖，取中點，易得，取中點，易得，故即為二面角的平面角，即，故，又，解得，又，故，又，此時為等腰直角三角形，面積最大為，故D正確.故選：ACD.13．1【解析】【分析】根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為0.【詳解】解：，又，所以，解得：，故答案為：1.14．##0.7【解析】【分析】分別計算出從甲箱中摸到紅球的概率和從乙箱中摸到紅球的概率，然后利用概率的加法公式即可.【詳解】從甲箱中摸紅球：擲到點數(shù)為5或6的概率為，再從甲箱中摸到紅球的概率為，故從甲箱中摸到紅球的概率為；從乙箱中摸紅球：擲到點數(shù)為1，2，3，4的概率為，再從乙箱中摸到紅球的概率為，故從乙箱中摸到紅球的概率為；綜上所述：摸到紅球的概率為.故答案為：15．【解析】【分析】由，，，結(jié)合長方體模型得出球O的半徑，進而得出球O的表面積.【詳解】由題意可知，，，，可得，所以，即，同理可得，，，以點P為一個頂點，PA，PB，PC為三條相鄰棱，構(gòu)造長方體.由于點P，A，B，C都在球O的球面上，顯然長方體內(nèi)接于球O，其對角線PF長就是球O的直徑，所以，，所以球O的表面積.故答案為：16．【解析】【分析】由三角形內(nèi)角的性質(zhì)結(jié)合，可得，由目標(biāo)函數(shù)式并利用基本不等式即可求得其最小值，注意基本不等式的使用條件“一正二定三相等”，其中為銳角，【詳解】、、為△的三內(nèi)角，為銳角，∴故有，即可得∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立∴的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了由三角形內(nèi)角間的函數(shù)關(guān)系，利用三角恒等變換以及基本不等式求目標(biāo)三角函數(shù)的最值，注意兩角和正切公式、基本不等式(使用條件要成立)的應(yīng)用17．(1)(2)【解析】【分析】（1）由可得，結(jié)合余弦定理可得出，又，然后兩邊平方，結(jié)合均值不等式得出，從而得出答案.（2）由正弦定理可得，根據(jù)條件為銳角三角形，求出角的范圍，再由正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得答案.(1)因為，所以，由余弦定理可得：，而，所以即而當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，即的面積故當(dāng)時，面積取得最大值為.(2)由正弦定理得，所以，則,因為ABC是銳角三角形，所以，則，所以，所以三角形周長.18．(1)派甲參賽獲勝的概率更大(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率分別計算甲、乙比賽勝出的概率比較即可得解；（2）考慮問題的對立面，計算兩人都沒有贏得比賽的概率，根據(jù)對立事件的概率之和為1即可得解.(1)設(shè)“甲在第一輪比賽中勝出”，“甲在第二輪比賽中勝出”“乙在第一輪比賽中勝出”，“乙在第二輪比賽中勝出”，則“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，，，，，同理因為，所以，派甲參賽獲勝的概率更大.(2)由（1）知，設(shè)“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”，，；于是“兩人中至少有一人贏得比賽”..19．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)平面PAE與平面AECD所成的角為90°，得到平面平面AECD，進而得到平面AECD即可；（2）由平面AECD，和，得到EA，EC，EP兩兩垂直，則以E為坐標(biāo)原點，分別以EA，EC，EP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面AFD的一個法向量，平面ACD的一個法向量，根據(jù)二面角F-AD-C為30°，由，求得即可.(1)∵平面PAE與平面AECD所成的角為90°，∴平面平面AECD，平面平面，又，平面PAE，∴平面AECD，平面AECD，∴．(2)∵平面AECD，∴，，又∵，∴EA，EC，EP兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點，分別以EA，EC，EP為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系E-xyz，Rt△ABE中，，，∴，，則，∴，，，，設(shè)，∴，∴，設(shè)平面AFD的一個法向量為，，，則，∴，不妨設(shè)，則，，∴，∵y軸⊥平面ACD，∴平面ACD的一個法向量∵二面角F-AD-C為30°，∴，即，∴，∴，∴F到平面AECD的距離，，∴．20．（Ⅰ）；（Ⅱ）187，183.3；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由頻率直方圖，結(jié)合各組的頻率之和為1，即可求.（Ⅱ）由頻率直方圖求電量的平均值即可，再由圖知中位數(shù)落在上，根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)求中位數(shù)；（Ⅲ）由題意，抽取戶中、各有戶、2戶，