中考數學復習：中檔題組合練(二)

中檔題組合練(二)1．先化簡，再求值：(eq\f(x,x－3)－eq\f(2,x－3))÷eq\f(x2－2x,x2－9)，其中x為方程x2－4＝0的根．解：原式＝eq\f(x－2,x－3)·eq\f(（x＋3）（x－3）,x（x－2）)＝eq\f(x＋3,x)，由x2－4＝0，解得x＝－2或x＝2，當x＝2時，原式沒有意義，舍去；當x＝－2時，原式＝eq\f(－2＋3,－2)＝－eq\f(1,2)2．(2021·東營)為了讓同學們進一步了解中國科技的快速發(fā)展，某中學九(1)班團支部組織了一次手抄報比賽．該班每位同學從A.“北斗衛(wèi)星”；B.“5G時代”；C.“東風快遞”；D.“智軌快運”四個主題中任選一個自己喜歡的主題．統(tǒng)計同學們所選主題的頻數，繪制成不完整的統(tǒng)計圖，(1)九(1)班共有50名學生；(2)補全折線統(tǒng)計圖；(3)D所對應扇形圓心角的大小為108°；(4)小明和小麗從A，B，C，D四個主題中任選一個主題，請用列表或畫樹狀圖的方法求出他們選擇相同主題的概率．解：(1)九(1)班學生總數為：20÷40%＝50(名)，故答案為：50(2)D的人數為：50－10－20－5＝15(名)，補全折線統(tǒng)計圖如圖：(3)D所對應扇形圓心角的大小為：360°×eq\f(15,50)＝108°，故答案為：108°(4)畫樹狀圖如圖：共有16種等可能的結果，小明和小麗選擇相同主題的結果有4種，∴小明和小麗選擇相同主題的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)3．(2021·張家界)某校九年級在一次研學活動中，數學研學小組設計以下方案測量橋的高度．如圖，在橋面正下方的谷底選一觀測點A，觀測到橋面B，C的仰角分別為30°，60°，測得BC長為320米，求觀測點A到橋面BC的距離．(結果保留整數，參考數據：eq\r(3)≈1.73)解：過點A作AD⊥BC交BC的延長線于點D，根據題意得∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝320米，∵∠CAB＝∠ACD－∠B＝60°－30°＝30°，∴∠B＝∠BAC，∴CA＝CB＝320米，在Rt△ACD中，∠DCA＝60°，∴sin∠ACD＝eq\f(AD,AC)，即sin60°＝eq\f(AD,320)，∴AD＝320×eq\f(\r(3),2)＝160eq\r(3)≈277(米).答．觀測點A到橋面BC的距離是277米4．(2021·涼山州)如圖，△AOB中，∠ABO＝90°，邊OB在x軸上，反比例函數y＝eq\f(k,x)(x＞0)的圖象經過斜邊OA的中點M，與AB相交于點N，S△AOB＝12，AN＝eq\f(9,2).(1)求k的值；(2)求直線MN的解析式．解：(1)設N(a，b)，則OB＝a，BN＝b，∵AN＝eq\f(9,2)，∴AB＝b＋eq\f(9,2)，∴A(a，b＋eq\f(9,2))，∵M為OA中點，∴M(eq\f(1,2)a，eq\f(1,2)b＋eq\f(9,4))，而反比例函數y＝eq\f(k,x)(x＞0)的圖象經過斜邊OA的中點M，∴k＝eq\f(1,2)a·(eq\f(1,2)b＋eq\f(9,4))＝ab，解得b＝eq\f(3,2)，∵S△AOB＝12，∠ABO＝90°，∴eq\f(1,2)OB·AB＝12，即eq\f(1,2)a(b＋eq\f(9,2))＝12，將b＝eq\f(3,2)代入得：eq\f(1,2)a(eq\f(3,2)＋eq\f(9,2))＝12，解得a＝4，∴N(4，eq\f(3,2))，M(2，3)，∴k＝4×eq\f(3,2)＝6(2)由(1)知：M(2，3)，N(4，eq\f(3,2))，設直線MN解析式為y＝mx＋n，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝2m＋n，,\f(3,2)＝4m＋n，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(3,4)，,n＝\f(9,2)，))∴直線MN解析式為y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(9,2)5．(2021·賀州)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD＝eq\f(1,2)∠BDC，DE交BC于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，且EF＝EC.(1)求證：四邊形ABED是菱形；(2)若AD＝4，求△BED的面積．解：(1)∵∠C＝90°，∴EC⊥DC，∵EF⊥BD，EF＝EC，∴DE是∠BDC的平分線，∴∠EDB＝∠EDC，∵∠ADB＝eq\f(1,2)∠BDC，∴∠ADB＝∠EDB，∵∠ADB＝∠ABD，∴∠ABD＝∠EDB，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴AD∥BE，∴四邊形ABED是平行四邊形，∵∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴四邊形ABED是菱形(2)由(1)知，四邊形ABED是菱形，∴DE＝BE＝AD＝4，∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠EDB＝∠EDC＝∠ADB，∴∠EDC＝30°，∴CD＝DE·cos30°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，∴S△BED＝eq\f(1,2)BE·CD＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝4eq\r(3)6．如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD.(1)請證明：E是OB的中點；(2)若AB＝8，求CD的長．解：(1)連接AC，∵直徑AB垂直于弦CD于點E，∴eq\x\to(AC)＝eq\x\to(AD)，∴AC＝AD，∵過圓心O的線CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF垂直平分AD，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD.即△ACD是等邊三角形，∴∠FCD＝30°，在Rt△COE中，OE＝eq\f(1,2)OC，∴OE＝eq\f(1,2)OB，∴點E為OB的中點(2)在Rt△OCE中，AB＝8，∴OC＝OB＝eq\f(1,2)AB＝4，又∵OE＝eq\f(1,2)OB，∴OE＝2，∴CE＝eq\r(OC2－OE2)＝eq\r(16－4)＝2eq\r(3)7．一汽車租賃公司擁有某種型號的汽車100輛．公司在經營中發(fā)現(xiàn)每輛車的月租金x(元)與每月租出的車輛數y(輛)有如下關系：x(元)3000320035004000y(輛)100969080(1)觀察表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識求出每月租出的車輛數y(輛)與每輛車的月租金x(元)之間的關系式；(2)若你是該公司的經理，你會將每輛車的月租金定為多少元，才能使公司獲得最大月收益？請求出公司的最大月收益是多少元．解：(1)由表格數據可知y與x是一次函數關系，設其解析式為y＝kx＋b.由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3000k＋b＝100，,3200k＋b＝96，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,50)，,b＝160，))∴y與x之間的函數關系式是y＝－e