統(tǒng)計(jì)量及其分布 課件

1§5.1總體與樣本§5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布§5.3樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示§5.4三大抽樣分布第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布

在概率論中，隨機(jī)變量的分布通常只是已知的或假設(shè)是已知的，但實(shí)際中隨機(jī)變量的分布或分布中的參數(shù)往往是未知的，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)之一是要尋找隨機(jī)變量的分布或分布中的參數(shù).數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率論為基礎(chǔ)，研究如何合理地收集數(shù)據(jù)，采用有效的數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)加以整理與分析，從而對(duì)隨機(jī)變量的分布、數(shù)字特征等做出推斷.§5.1總體與樣本10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布隨機(jī)抽樣總體樣本統(tǒng)計(jì)量描述作出推斷統(tǒng)計(jì)推斷的基本問(wèn)題參數(shù)估計(jì)問(wèn)題假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)例5.1P128§5.1總體與樣本10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布5.1.1總體與個(gè)體

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱為總體，總體中的每個(gè)元素稱為個(gè)體.例如，在考察某批燈泡的質(zhì)量時(shí)，該批燈泡的全體構(gòu)成一個(gè)總體，而其中的每個(gè)燈泡就是個(gè)體.在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，任何一個(gè)總體都可以用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述，對(duì)總體的研究也就是對(duì)隨機(jī)變量的研究。例5.1.1-------§5.1總體與樣本10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布5.1.2樣本為了研究總體的分布特征，必須對(duì)總體進(jìn)行抽樣觀察。從總體X中隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體x1,x2,…,xn，稱為來(lái)自總體X的容量為n的樣本.樣本在觀察之前也是隨機(jī)變量。對(duì)樣本進(jìn)行觀察獲得的數(shù)值稱為樣本觀測(cè)值或樣本值。樣本值仍用字母x1,x2,…,xn表示。滿足性質(zhì)：（1）隨機(jī)性——個(gè)體xi與總體X同分布；（2）獨(dú)立性——個(gè)體xi與xj相互獨(dú)立.的樣本x1,x2,…,xn稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，也簡(jiǎn)稱樣本.§5.1總體與樣本10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布

習(xí)題5.1§5.1總體與樣本10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布5.2.1統(tǒng)計(jì)量

樣本是總體的代表和反映，是統(tǒng)計(jì)推斷的基本依據(jù).但是樣本所含的信息不能直接用于解決我們所要研究的問(wèn)題，而需要把樣本的信息進(jìn)行數(shù)學(xué)上的加工使其濃縮起來(lái)，從而解決我們的問(wèn)題.這在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中往往通過(guò)構(gòu)造一個(gè)合適的依賴于樣本的函數(shù)——統(tǒng)計(jì)量來(lái)達(dá)到的.設(shè)x1,x2,…,xn是來(lái)自總體X的樣本.f(x1,x2,…,xn)是一個(gè)樣本函數(shù)，若f(x1,x2,…,xn)不含未知參數(shù)，則稱f(x1,x2,…,xn)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。§5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布5.2.1統(tǒng)計(jì)量

例設(shè)x1,x2是總體X～N(m,s2)的一個(gè)樣本，其中m,s2是未知參數(shù).則x1+x2，x1+x22都是統(tǒng)計(jì)量，而x1+m，x2/s都不是統(tǒng)計(jì)量.5.2.2常用統(tǒng)計(jì)量設(shè)x1,x2,…,xn是來(lái)自總體X的樣本，稱§5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布為樣本均值；為樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差。10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布為樣本k階原點(diǎn)矩；（4）樣本均值與樣本方差獨(dú)立。5.2.2常用統(tǒng)計(jì)量

§5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布為樣本峰度。

樣本均值與樣本方差具有以下性質(zhì):為樣本k階中心矩；為樣本偏度；

稱（證明見(jiàn)P256）10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布5.2.2常用統(tǒng)計(jì)量§5.2統(tǒng)計(jì)量及其分布定理設(shè)x1,x2,…,xn是來(lái)自某個(gè)總體X的樣本，x是樣本均值。

(1)若總體X～N(m,s2)，則x的精確分布為N(m,s2/n)；

(2)若總體分布未知或不是正態(tài)分布，但E(X)=m，Var(X)=s2，則n較大時(shí)x的漸近分布為N(m,s2/n)，記作練習(xí)：習(xí)題5.3---1、7、11、12、13、1410/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布1、眾數(shù)是樣本值中出現(xiàn)次數(shù)最多的樣本值。眾數(shù)可能不唯一。2、中位數(shù)是一個(gè)樣本值排序后處于中間位置上的樣本值。中位數(shù)將全部樣本值分為兩部分，每部分包含50%的樣本值。若樣本容量n為奇數(shù)，則中位數(shù)為排序后，中間的那個(gè)樣本值；若樣本容量n為偶數(shù)，則中位數(shù)為排序后處于中間位置上的兩個(gè)樣本值的平均數(shù)。3、樣本均值：x=∑xi/n4、極差是樣本值中的最大值與最小值之差，也稱全距?！?.3樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示5.3.1描述性統(tǒng)計(jì)10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布7、偏態(tài)系數(shù)：5、樣本方差是樣本值與樣本均值的離差的平方的平均數(shù)，用s2表示。6、樣本方差的正平方根稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。5.2.1描述性統(tǒng)計(jì)§5.3樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布8、峰態(tài)系數(shù)：5.3.1描述性統(tǒng)計(jì)§5.3樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示注：這里的偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù)計(jì)算公式是Excel給出的。與樣本統(tǒng)計(jì)量中有所區(qū)別。9、Excel描述性統(tǒng)計(jì)的宏命令操作:工具/數(shù)據(jù)分析/描述統(tǒng)計(jì)：10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布5.3.1描述性統(tǒng)計(jì)§5.3樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布5.3.1描述性統(tǒng)計(jì)§5.3樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布例5.3.1§5.3樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示5.3.1描述性統(tǒng)計(jì)10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布

1.數(shù)據(jù)分組

數(shù)據(jù)分組是將全部數(shù)據(jù)依次劃分為若干個(gè)區(qū)間，并將這一區(qū)間的數(shù)據(jù)作為一組。一個(gè)組的最小值稱為下限（Lowlimit），最大值稱為上限（Upperlimit）。

首先確定組數(shù)。一般地，組數(shù)k與數(shù)據(jù)總數(shù)n之間有如下經(jīng)驗(yàn)關(guān)系：n≤20,取k=5～6；n=20～60，取k=6～8；n=60～100，取k=8～10；n=100～500，取k=10～20.

其次確定各組的組距。組距（Classwidth）是一個(gè)組的上限與下限之差。5.3.2頻率分布表與直方圖§5.3樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布

等距分組組距＝(最大值－最小值)÷組數(shù)

第三步是數(shù)據(jù)分組。將數(shù)據(jù)從小到大排序，并按照各組下限和上限進(jìn)行分組，統(tǒng)計(jì)分組時(shí)習(xí)慣上規(guī)定“上組限不在內(nèi)”。

2.計(jì)算組頻數(shù)和組頻率將各組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)稱為組頻數(shù)。組頻數(shù)占總數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的比例稱為組頻率。將組頻數(shù)和組頻率累加可以計(jì)算出累積頻數(shù)或累積頻率。5.3.2頻率分布表與直方圖§5.3樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布

3.直方圖在平面直角坐標(biāo)中，橫軸表示數(shù)據(jù)分組區(qū)間，縱軸表示組頻數(shù)或組頻率，這樣，各組與相應(yīng)的頻數(shù)或頻率就形成了一個(gè)矩形，即直方圖。例5.3.25.3.2頻率分布表與直方圖§5.3樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布最小值為141，最大值為237。為了計(jì)算方便，根據(jù)實(shí)際可以將數(shù)據(jù)范圍適當(dāng)擴(kuò)大。本例將數(shù)據(jù)范圍擴(kuò)至140～240.分成10各組:140-150；150-160；160-170；170-180；180-190；190-200；200-210；210-220；220-230；230-240.一般地，分組時(shí)規(guī)定上限不在組內(nèi)，而Excel在制作頻數(shù)分布表時(shí)，上限包含在組內(nèi)。因此，Excel制圖時(shí)直方圖的接受域可設(shè)定為：139；149：159：169：179：189：199：219：229：239.5.3.2頻率分布表與直方圖§5.3樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布生成接受域：任選空白單元格，輸入數(shù)值139，從該單元格開(kāi)始，向下拖出一列，點(diǎn)擊“編輯/填充/序列:步長(zhǎng)值為10，確定”.頻數(shù)表用“工具/數(shù)據(jù)分析/直方圖”；“圖表輸出(C)”，來(lái)完成。5.3.2頻率分布表與直方圖§5.3樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布§5.3樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示5.3.2頻率分布表與直方圖練習(xí)：習(xí)題5.2-----3、4、510/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.1抽樣分布

統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的抽樣分布有c2分布、t分布和F分布。

1.c2分布

定義5.4.1設(shè)x1,x2,…,xn是來(lái)自總體X～N(0,1)的一個(gè)樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的c2分布，記作U～c2(n)。定理設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且X～c2(n),Y～c2(m),則X+Y～c2(n+m)?！?.4三大抽樣分布10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.1抽樣分布

設(shè)U～c2(n)，對(duì)于給定a(0<a<1)的，稱滿足條件P{U>l}=a的數(shù)l為c2(n)分布的上分位數(shù)，記作l=ca2(n)。

ca2(n)可查c2(n)分布表而得。ca2(n)oP{c2(n)>ca2(n)}=a§5.4三大抽樣分布c2(n)f(c2(n))10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.1抽樣分布

EXCEL中c2(n)分布概率或分位數(shù)的計(jì)算（1）卡方分布的右尾部概率P(X>x)的計(jì)算語(yǔ)法：CHIDIST(x,degrees_freedom)其中，x為右尾部分位數(shù)，Degrees_freedom為自由度。（2）卡方分布的右尾部分位數(shù)的計(jì)算語(yǔ)法：CHIINV(probability,degrees_freedom)其中，Probability為右尾部概率，Degrees_freedom為自由度。例4.2.1U～c2(15)，c2(15)§5.4三大抽樣分布10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布服從自由度為n的t分布，記作t～t(n)。

t分布的密度函數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，且t分布的峰度比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布小。當(dāng)自由度n充分大時(shí)，t分布接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。5.4.1抽樣分布

2.t分布

定義5.4.2設(shè)X～N(0,1)，Y～c2(n)，且X與Y相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量§5.4三大抽樣分布10/15/2023第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.1抽樣分布

設(shè)t～t(n)，對(duì)于給定a(0<a<1)的，稱滿足條件P{t(n)>l}=a的數(shù)l為t(n)分布的上分位數(shù),記作l=ta(n).

ta(n)可查t(n)分布表而得。ta(n)

t(n)oP{t(n)>ta(n)}=a§5.4三大抽樣分布f(t(n))10/15/2023第