拉格郞日插值法總結

拉格朗日插值公式2008-04-2620:58線性插值(一次插值)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［xk,xk+1］的端點上的函數(shù)值yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一個一次函數(shù)y=P1(x)使得yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),其幾何意義是已知平面上兩點(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一條直線過該已知兩點。1.插值函數(shù)和插值基函數(shù)由直線的點斜式公式可知：把此式按照yk和yk+1寫成兩項：記j_X~XJr+l j_廠&并稱它們?yōu)橐淮尾逯祷瘮?shù)。該基函數(shù)的特點如下表：k里&+1里A i 0知 0 1從而P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)此形式稱之為拉格朗日型插值多項式。其中，插值基函數(shù)與yk、yk+1無關，而由插值結點xk、xk+1所決定。一次插值多項式是插值基函數(shù)的線性組合，相應的組合系數(shù)是該點的函數(shù)值yk、yk+1.例1:已知lg10=1,lg20=1.3010,利用插值一次多項式求lg12的近似值。解:f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010,設x0=10,x1=20,y0=1,y1=1.3010則插值基函數(shù)為：

jt-20。―10-20jt-20。―10-20x-10—U-20)口\10 1 20-10土字10)于是，拉格朗日型一次插值多項式為：TOC\o"1-5"\h\z尸1(x)=y0Jo (X)1/cc、1-3010z= G-20)+ (x-10)10 101 1.3010P、(12)= (12-20)+ (12-10)=1.060210 10即lg12由lg10和lg20兩個值的線性插值得到,且具有兩位有效數(shù)字(精確值lg12=1.0792).二次插值多項式已知函數(shù)y=f(x)在點xk-1,xk,xk+1上的函數(shù)值yk-1=f(xk-1),yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一個次數(shù)不超過二次的多項式P2(x),使其滿足，P2(xk-1)=yk-1,P2(xk)=yk,P2(xk+1)=yk+1.其幾何意義為:已知平面上的三個點(xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一個二次拋物線，使得該拋物線經(jīng)過這三點。1.插值基本多項式有三個插值結點xk-1,xk,xk+1構造三個插值基本多項式，要求滿足:(1)基本多項式為二次多項式；(2)它們的函數(shù)值滿足下表:童代-1A-iG)100ikG)010A+iG)001因為lk-1(xk)=0,lk-1(xk+1)=0,故有因子(x-xk)(x-xk+1),而其已經(jīng)是一個二次多項式，僅相差一個常數(shù)倍，可設lk-1(x)=a(x-xk)(x-xk+1),又因為lk-1(xk-1)=1==>a(xk-1-xk)(xk-1-xk+1)=1(xk-i—xQ 或#+1)從而iG)二a*怎-》i)kTE—if)E—kM同理得JG)= 3-S)3-斗+1)* 3&-五&t)-才&+1)(X-X.J0—04+1G)=7、f_、或上-iJ成上+1X.)基本二次多項式見右上圖(點擊按鈕“顯示Li”)。2.拉格朗日型二次插值多項式由前述，拉格朗日型二次插值多項式：P2(x)=yk-1lk-1(x)+yklk(x)+yk+1lk+1(x),P2(x)是三個二次插值多項式的線性組合，因而其是次數(shù)不超過二次的多項式，且滿足:P2(xi)=yi,(i=k-1,k,k+1)。例2已知：xi10 15 20yi=lgxi1 1.1761 1.3010利用此三值的二次插值多項式求lg12的近似值。解：設x0=10,x1=15,x2=20,則：

G)0-15)0-2。)

(10-15)(10-20)1—Cr-15)(x-20)50Cr)G)0-15)0-2。)

(10-15)(10-20)1—Cr-15)(x-20)50Cr)3-10)(x-20)

(15-10)(15-20)^(x-10)(x-20)3-10)0-15)

(20-10)(20-15)1—(x-10)(x-15)50故：尸wG)=x"oG)+PiLG)1.3010 字1.3010 字10)(x-15)50=——(x-20)字15) (x-10)字20)+50 25所以心(12)二^-(12-20)(1215)-^|^(12-10)(12-20)+'斜1°C^-IO)Cr-15)=l-07667利用三個點進行拋物插值得到lg12的值，與精確值lg12=1.0792相比，具有3位有效數(shù)字，精度提高了。三、拉格朗日型n次插值多項式已知函數(shù)y=f(x)在n+1個不同的點x0,x1,...,x2上的函數(shù)值分別為y0,y1,...,yn，求一個次數(shù)不超過n的多項式Pn(x),使其滿足：Pn(xi)=yi,(i=0,1,...,n),即n+1個不同的點可以唯一決定一個n次多項式。1.插值基函數(shù)過n+1個不同的點分別決定n+1個n次插值基函數(shù)10(x),l1(x),...,ln(X)每個插值基本多項式li(x)滿足：(1)li(x)是n次多項式；(2)li(xi)=1,而在其它n個li(xk)=0,(Qi)。由于li(xk)=0,(Qi),故有因子：(x-x0)...(x-xi-1)(x-xi+1)...(x-xn)因其已經(jīng)是n次多項式，故而僅相差一個常數(shù)因子。令:li(x)=a(x-x0)...(x-xi-1)(x-xi+1)...(x-xn)由li(xi)=1,可以定出a,進而得到：2.n次拉格朗日型插值多項式Pn(x)Pn(x)是n+1個n次插值基本多項式10(x),l1(x),...,ln(X)的線性組合，相應的組合系數(shù)是y0,y1,...,yn。即：Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+.+ynln(x),從而Pn(x)是一個次數(shù)不超過n的多項式,且滿足Pn(xi)=yi,(i=0,1,2,.,n).例3求過點(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多項式。解用4次插值多項式對5個點插值。{有二乙、二4,工廣6,或3二&七二10,L尸。二°，尸廣3,尸廣5,尸廣4,尸4=1q(^)=7(^)=■J(x-4)(x-6)(工-8)3-10)(2-4)(2-6)(2-8)(2-10)(x-2)(x-6)3-8)q(^)=7(^)=■J(x-4)(x-6)(工-8)3-10)(2-4)(2-6)(2-8)(2-10)(x-2)(x-6)3-8)(jr-10)(4-2)(4-6)(4-8)(4-10)(成一2)(成一4)(成一8)(x~l0)

(6—2)(6—4)(6-8)(6-10)(成一2)(成一4)(成一6)(x~l0)(8-2)(8-4)(8-6)(8-10)一1 (X—4)(^—6)(x-8)(x-10)3841—(x-2)(x-6)(x-8)(x-1096^^(^-2)G-4)C^—8)G-10)]1—(X—2)C^—4)G~6)(^-10)96(x-2)3—4)3—6)(工一(x-2)3—4)3—6)(工一8)jG)=4 (10-2)(10-4)(10—6)(10-8)= (x-2)(x-4)(X—6)(X—8384所以尸4(x)=y070(x)+yr7t(x)+y2J2(x)+y313(x)+r4J4(x)(2,0),(4,3),(6,5),(&4),(10,1)=3粕(x~4)(x-6)(x—8)(x—10)-況~(x-2)(x-6)(x—8)(x—10)+ 2)(x-4)(x—8)(x—10)-況2)G~4)(x—6)(^―10)-3的G~2)(x-4)G-6)G~8)四、拉格朗日插值多項式的截斷誤差我們在［a,b］上用多項式Pn(x)來近似代替函數(shù)f(x),其截斷誤差記作Rn(x)=f(x)-Pn(x)當x在插值結點xi上時Rn(xi)=f(xi)-Pn(xi)=0,下面來估計截斷誤差:定理1：設函數(shù)y=f(x)的n階導數(shù)y(n)=f(n)(x)在［a,b］上連續(xù)，y(n+1)=f(n+1)(x)在(a,b)上存在；插值結點為：a<x0<x1<...<xn<b,Pn(x)是n次拉格朗日插值多項式；則對任意x￡［a,b］有：ROr)=—'—川)涵)！其中g「(a,b)M依賴于x：sn+1(x)=(x-x0)(x-x1)...(x-xn)證明：由插值多項式的要求：Rn(xi)=f(xi)-Pn(xi)=0,(i=0,1,2,.,n);設Rn(x)=K(x)(x-x0)(x-x1)...(x-xn)=K(x)?n+1(x)其中K(x)是待定系數(shù)；固定xe［a,b］且x^xk,k=0,1,2,.,n;作函數(shù)H(t)=f(t)-Pn(t)-K(x)(t-x0)(t-x1)...(t-xn)則H(xk)=0,(k=0,1,2,...,n),且H(x)=f(x)-Pn(x)-Rn(x)=0,所以，H(t)在［a,b］上有n+2個零點，反復使用羅爾中值定理:存在ge(a,b),；因Pn(x)是n次多項式，故P(n+1)化)=0,而3n+1(t)=(t-x0)(t-x1)...(t-xn)是首項系數(shù)為1的n+1次多項式，故有Q曾(丈)二3+1)!于是H(n+1)(0=f(n+1)化)-(n+1)!K(x)得：心=右嚴3)所以成④巨看y：靖逐站④易知，線性插值的截斷誤差為:(『)(^~星0))二次插值的截斷誤差為：/?2G)= (E)Cr-j)G-M1)(x-j)-i z? u ± z下面來分析前面兩個例子(例1，例2)中計算lg12的截斷誤差：在例1中，用lg10和lg20計算lg12,P1(12)=1.0602,lg12=1.0792e=l1.0792-1.0602l=0.0190;估計誤差：f(x)=lgx,"G)二-K血]。 ,當xe[10,20]時If"(S)IM—I——=0-004343102nl0|/”(W)(1