《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)》(謝金云 )教案 第12課-不定積分與定積分（二）

12第12第課不定積分與定積分（二）PAGE4不定積分與定積分（二）第不定積分與定積分（二）第課12PAGE5

課題不定積分與定積分（二）——認(rèn)識(shí)定積分課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：1、理解定積分的概念，同時(shí)掌握定積分的性質(zhì)。2、掌握定積分的換元積分法并學(xué)會(huì)用積分換元法計(jì)算定積分。3、掌握定積分的分部積分法并學(xué)會(huì)用分部換元法計(jì)算定積分。思政育人目標(biāo)：通過(guò)利用定積分解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是源于生活的，是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象產(chǎn)生的，不是脫離實(shí)際生活的；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)揭示生活中的奧秘，在實(shí)踐中深化認(rèn)識(shí)，達(dá)到學(xué)以致用的目的教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1、定積分的性質(zhì)3、定積分的換元積分法與分部積分法教學(xué)難點(diǎn)：定積分的換元積分法與分部積分法教學(xué)方法講授法、問(wèn)答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：課堂測(cè)驗(yàn)（15min）第2節(jié)課：課堂測(cè)驗(yàn)（10min）課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟教學(xué)過(guò)程第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識(shí)講解

（28min）【教師】講解曲邊梯形的面積，引出定積分的概念定義1如圖4-4所示，設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則曲線、直線、直線及軸所圍成的平面圖形稱為曲邊梯形，其中軸上的區(qū)間稱為底邊，曲線弧邊稱為曲邊．非均勻累積法．該方法的具體步驟如下．（1）圖4-5（2）取近似在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，則小曲邊梯形的面積近似于以為高的小矩形面積，即．（3）作和將上述個(gè)小矩形面積加起來(lái)，得曲邊梯形面積的近似值，即．（4）求極限設(shè)所有小區(qū)間的最大長(zhǎng)度為，即，則當(dāng)分點(diǎn)無(wú)限增加時(shí)，即當(dāng)時(shí)，和式的極限就是曲邊梯形的面積，即可見(jiàn)，曲邊梯形的面積是一個(gè)“和的極限”．【學(xué)生】掌握曲邊梯形的面積，并通過(guò)例題學(xué)習(xí)曲邊梯形面積的用法【教師】講解定積分的概念1．定積分的定義定義2設(shè)函數(shù)在上有界，任取分點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間

上任取一點(diǎn)，得相應(yīng)的函數(shù)值，作乘積，并作和．令，當(dāng)時(shí)，若的極限存在，則稱函數(shù)在上可積，且稱此極限為函數(shù)在上的定積分，記作，其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，和分別稱為積分下限和積分上限，讀作“從到的定積分”．2．定積分的幾何意義（1）如圖4-6所示，當(dāng)時(shí)，定積分表示曲線、直線、直線及軸所圍成曲邊梯形的面積，即．（2）如圖4-7所示，當(dāng)時(shí)，曲邊梯形位于軸下方，定積分表示曲邊梯形面積的相反數(shù)，即．（3）如圖4-8所示，若在區(qū)間上有正有負(fù)，則定積分表示曲線在軸上方與軸下方的曲邊梯形各部分面積的代數(shù)和，即．圖4-8綜上所述，可知．【學(xué)生】掌握定積分的概念【教師】講解定積分的性質(zhì)，并通過(guò)例題講解介紹其應(yīng)用性質(zhì)1（逐項(xiàng)積分性）函數(shù)和（差）的定積分等于它們定積分的和（差），即．以上性質(zhì)可推廣到多個(gè)函數(shù)的情形．性質(zhì)2（常數(shù)提取性）被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面，即．性質(zhì)3（分段可加性）如果將區(qū)間分成兩個(gè)子區(qū)間和，那么．在以上性質(zhì)中，無(wú)論，，的相對(duì)位置如何，等式均成立．性質(zhì)4（積分單調(diào)性）在區(qū)間上，若恒有，則；若恒有，則．性質(zhì)5（換限變號(hào)性）互換積分上下限，積分變號(hào)；上下限相同，積分為零，即，．根據(jù)定積分的幾何意義及以上性質(zhì)，可得到下述定理．定理1（奇偶函數(shù)的定積分）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，（1）如圖4-9所示，若為奇函數(shù)，則；（2）如圖4-10所示，若為偶函數(shù)，則．【學(xué)生】掌握定積分的性質(zhì)，并通過(guò)例題學(xué)習(xí)不定積分公式的用法學(xué)習(xí)定積分的概念與性質(zhì)。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)

（15min）【教師】出幾道題目，測(cè)試一下大家對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握情況【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，每組指定一名答題準(zhǔn)確率最高的同學(xué)，輔導(dǎo)本組的未答對(duì)同學(xué)掌握答題知識(shí)，實(shí)現(xiàn)組內(nèi)互助【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象第二節(jié)課知識(shí)講解

（30min）【教師】講解牛頓-萊布尼茨公式，并用實(shí)際案例加深學(xué)生的理解定理1上的一個(gè)原函數(shù)，即，則．上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式．從微積分基本公式中可以看出，要計(jì)算定積分，只要求出被積函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，然后計(jì)算上限、下限的函數(shù)值之差即可，這就是定積分的直接積分法．【學(xué)生】掌握牛頓-萊布尼茨公式【教師】講解定積分的換元積分法，并用實(shí)際案例加深學(xué)生的理解定理2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且函數(shù)滿足以下條件，（1）在區(qū)間上單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（2）當(dāng)在上變化時(shí)，在上變化，且，，則有．上式稱為定積分的換元積分公式，用該式求定積分的方法稱為換元積分法．它屬于非線性換元積分法．【學(xué)生】掌握定積分的換元積分法，并通過(guò)例題學(xué)習(xí)分部積分法的用法【教師】講解定積分的分部積分法，并用實(shí)際案例加深學(xué)生的理解定理3設(shè)，在區(qū)間上都有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則．上式稱為定積分的分部積分公式，用該式求定積分的方法稱為定積分的分部積分法．例8計(jì)算．解．【學(xué)生】掌握定積分的分部積分法，并通過(guò)例題學(xué)習(xí)分部積分法的用法學(xué)習(xí)牛頓-萊布尼茨公式、定積分的換元積分法與分部積分法。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)

（10min）【教師】出幾道題目，測(cè)試一下大家對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握情況【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過(guò)程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家掌握了曲邊梯形的面積、定積分的概念與性質(zhì)，同時(shí)也學(xué)習(xí)了牛頓-萊布尼茨公式、定積分的換元積分法與分部積分法。課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)【教師】布置作業(yè)：習(xí)題4.3、4.4總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，鞏固印象教學(xué)反思通過(guò)復(fù)習(xí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生有很多知識(shí)已經(jīng)淡忘，教師還要多與學(xué)生進(jìn)行深入的溝通