《經濟應用數學》(謝金云 )教案 第12課-不定積分與定積分（二）

12第12第課不定積分與定積分（二）PAGE4不定積分與定積分（二）第不定積分與定積分（二）第課12PAGE5

課題不定積分與定積分（二）——認識定積分課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：1、理解定積分的概念，同時掌握定積分的性質。2、掌握定積分的換元積分法并學會用積分換元法計算定積分。3、掌握定積分的分部積分法并學會用分部換元法計算定積分。思政育人目標：通過利用定積分解決實際問題，使學生體會到數學是源于生活的，是對實際問題的抽象產生的，不是脫離實際生活的；培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導學生運用所學知識揭示生活中的奧秘，在實踐中深化認識，達到學以致用的目的教學重難點教學重點：1、定積分的性質3、定積分的換元積分法與分部積分法教學難點：定積分的換元積分法與分部積分法教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第1節(jié)課：課堂測驗（15min）第2節(jié)課：課堂測驗（10min）課堂小結（5min）教學過程主要教學內容及步驟教學過程第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點上課人數，記錄好考勤【學生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況知識講解

（28min）【教師】講解曲邊梯形的面積，引出定積分的概念定義1如圖4-4所示，設函數在上連續(xù)，則曲線、直線、直線及軸所圍成的平面圖形稱為曲邊梯形，其中軸上的區(qū)間稱為底邊，曲線弧邊稱為曲邊．非均勻累積法．該方法的具體步驟如下．（1）圖4-5（2）取近似在每個小區(qū)間上任取一點，則小曲邊梯形的面積近似于以為高的小矩形面積，即．（3）作和將上述個小矩形面積加起來，得曲邊梯形面積的近似值，即．（4）求極限設所有小區(qū)間的最大長度為，即，則當分點無限增加時，即當時，和式的極限就是曲邊梯形的面積，即可見，曲邊梯形的面積是一個“和的極限”．【學生】掌握曲邊梯形的面積，并通過例題學習曲邊梯形面積的用法【教師】講解定積分的概念1．定積分的定義定義2設函數在上有界，任取分點在每個小區(qū)間

上任取一點，得相應的函數值，作乘積，并作和．令，當時，若的極限存在，則稱函數在上可積，且稱此極限為函數在上的定積分，記作，其中稱為被積函數，稱為被積表達式，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，和分別稱為積分下限和積分上限，讀作“從到的定積分”．2．定積分的幾何意義（1）如圖4-6所示，當時，定積分表示曲線、直線、直線及軸所圍成曲邊梯形的面積，即．（2）如圖4-7所示，當時，曲邊梯形位于軸下方，定積分表示曲邊梯形面積的相反數，即．（3）如圖4-8所示，若在區(qū)間上有正有負，則定積分表示曲線在軸上方與軸下方的曲邊梯形各部分面積的代數和，即．圖4-8綜上所述，可知．【學生】掌握定積分的概念【教師】講解定積分的性質，并通過例題講解介紹其應用性質1（逐項積分性）函數和（差）的定積分等于它們定積分的和（差），即．以上性質可推廣到多個函數的情形．性質2（常數提取性）被積函數中的常數因子可以提到積分號前面，即．性質3（分段可加性）如果將區(qū)間分成兩個子區(qū)間和，那么．在以上性質中，無論，，的相對位置如何，等式均成立．性質4（積分單調性）在區(qū)間上，若恒有，則；若恒有，則．性質5（換限變號性）互換積分上下限，積分變號；上下限相同，積分為零，即，．根據定積分的幾何意義及以上性質，可得到下述定理．定理1（奇偶函數的定積分）設在區(qū)間上連續(xù)，（1）如圖4-9所示，若為奇函數，則；（2）如圖4-10所示，若為偶函數，則．【學生】掌握定積分的性質，并通過例題學習不定積分公式的用法學習定積分的概念與性質。邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化課堂測驗

（15min）【教師】出幾道題目，測試一下大家對所學知識的掌握情況【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，每組指定一名答題準確率最高的同學，輔導本組的未答對同學掌握答題知識，實現組內互助【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（30min）【教師】講解牛頓-萊布尼茨公式，并用實際案例加深學生的理解定理1上的一個原函數，即，則．上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式．從微積分基本公式中可以看出，要計算定積分，只要求出被積函數在區(qū)間上的一個原函數，然后計算上限、下限的函數值之差即可，這就是定積分的直接積分法．【學生】掌握牛頓-萊布尼茨公式【教師】講解定積分的換元積分法，并用實際案例加深學生的理解定理2設函數在區(qū)間上連續(xù)，且函數滿足以下條件，（1）在區(qū)間上單調且有連續(xù)導數；（2）當在上變化時，在上變化，且，，則有．上式稱為定積分的換元積分公式，用該式求定積分的方法稱為換元積分法．它屬于非線性換元積分法．【學生】掌握定積分的換元積分法，并通過例題學習分部積分法的用法【教師】講解定積分的分部積分法，并用實際案例加深學生的理解定理3設，在區(qū)間上都有連續(xù)導數，則．上式稱為定積分的分部積分公式，用該式求定積分的方法稱為定積分的分部積分法．例8計算．解．【學生】掌握定積分的分部積分法，并通過例題學習分部積分法的用法學習牛頓-萊布尼茨公式、定積分的換元積分法與分部積分法。邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化課堂測驗

（10min）【教師】出幾道題目，測試一下大家對所學知識的掌握情況【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象課堂小結

（5min）【教師】簡要總結本節(jié)課的要點本節(jié)課上大家掌握了曲邊梯形的面積、定積分的概念與性質，同時也學習了牛頓-萊布尼茨公式、定積分的換元積分法與分部積分法。課后要多加練習，鞏固認知。【學生】總結回顧知識點【教師】布置作業(yè)：習題4.3、4.4總結知識點，鞏固印象教學反思通過復習發(fā)現學生有很多知識已經淡忘，教師還要多與學生進行深入的溝通