基于black-scholes模型的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)期權(quán)定價(jià)研究

基于black-scholes模型的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)期權(quán)定價(jià)研究

自20世紀(jì)90年代末以來(lái)，全球非保險(xiǎn)索賠能力一直稀缺。保險(xiǎn)人除了在傳統(tǒng)的保險(xiǎn)市場(chǎng)上不斷調(diào)整承保策略外,還竭力尋求其它的途徑以盡快增加自身的承保能力。由此引發(fā)了在保險(xiǎn)領(lǐng)域里的金融創(chuàng)新,巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)證券化就是其中之一。具有代表性的巨災(zāi)證券化產(chǎn)品有巨災(zāi)債券、巨災(zāi)期權(quán)、巨災(zāi)互換等。巨災(zāi)證券化產(chǎn)品在20世紀(jì)90年代推出的時(shí)候,最初并不如人們所想象的那樣受歡迎,其中一個(gè)重要原因就是投資者對(duì)定價(jià)原理知之甚少。因此對(duì)巨災(zāi)證券化定價(jià)問題的討論,有助于投資者對(duì)產(chǎn)品的各個(gè)方面加深了解。一、專業(yè)風(fēng)險(xiǎn)金融產(chǎn)品和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)化的價(jià)格定義(一)證券的無(wú)套制策略對(duì)一般的金融期貨可以通過建立某種無(wú)套利策略確定其合適的價(jià)格。比如,對(duì)某一債券期貨,我們可以建立這樣一個(gè)策略:此策略包括借入資金、買入可交割債券、賣出期貨;在最初實(shí)施此策略時(shí),所有的價(jià)格、利率和最后的結(jié)果均為已知;如果債券得以交割并平掉空頭期貨頭寸,則此策略是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。通過對(duì)該策略運(yùn)用零利潤(rùn)限制可以求出期貨合約的公平價(jià)格。但是對(duì)期權(quán)合約而言,由于其最終是否得到行使的不確定性使期權(quán)很難直接進(jìn)行上述的無(wú)套利策略。針對(duì)這種不確定性有兩種解決辦法,其一是對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)一段時(shí)間的價(jià)格變動(dòng)做出假設(shè),以此出發(fā)來(lái)估計(jì)期權(quán)到期日的預(yù)期價(jià)值,這就是著名的Black-Schloes期權(quán)定價(jià)模型,其二是從期權(quán)第一次被賣出時(shí)就開始建立無(wú)套利策略,隨時(shí)間變化不斷調(diào)整,最終確定期權(quán)的價(jià)格,這就是期權(quán)定價(jià)的二項(xiàng)式模型。(二)無(wú)營(yíng)利定價(jià)理論BS期權(quán)定價(jià)模型能否直接移植到巨災(zāi)期權(quán)的定價(jià)上來(lái)呢?答案是否定的。因?yàn)樵贐S模型中假設(shè)了對(duì)應(yīng)資產(chǎn)價(jià)格是連續(xù)變化的。而這對(duì)巨災(zāi)期權(quán)是行不通的,因?yàn)槠錆撛诘膿p失指數(shù)并不是連續(xù)變化的,而是一個(gè)跳躍過程,只在巨災(zāi)發(fā)生時(shí)有一個(gè)跳躍點(diǎn)。將BS期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行改進(jìn)后才可用于巨災(zāi)期權(quán)的定價(jià)[German(1994),Cummins和German(1995)]。巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)證券化產(chǎn)品的定價(jià)比較復(fù)雜,僅運(yùn)用無(wú)套利定價(jià)理論的話,其價(jià)格不唯一。主要原因在于巨災(zāi)證券處于不完全市場(chǎng)(incompletemarket)環(huán)境下。所謂完全市場(chǎng)(completemarket)是指任一現(xiàn)金流可用市場(chǎng)已交易的資產(chǎn)組合來(lái)復(fù)制。無(wú)套利意味著該現(xiàn)金流與復(fù)制組合必須有相同的價(jià)格,因?yàn)樗鼈兊氖找媸且粯拥?。而巨?zāi)證券的現(xiàn)金流支付依賴于颶風(fēng)、地震等巨災(zāi)的發(fā)生,無(wú)法通過市場(chǎng)上已交易的某種股票和債券組成傳統(tǒng)的資產(chǎn)組合來(lái)近似。這使得巨災(zāi)證券反映的狀態(tài)不能由傳統(tǒng)的證券所反映出來(lái),因此無(wú)套利定價(jià)理論無(wú)法用于巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)證券化產(chǎn)品的定價(jià)。但是,對(duì)這種產(chǎn)品卻可以用均衡定價(jià)方法。二、風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)合同模型的研究(一)巨災(zāi)損失指數(shù)4.2從20世紀(jì)90年代初出現(xiàn)巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)證券化產(chǎn)品至今,海外學(xué)術(shù)界研究定價(jià)問題的文章并不多,具代表性的主要有以下一些:Geman(1994)和Cummins&Geman(1995):用套利(Arbitrage)的思想討論這些衍生產(chǎn)品的定價(jià),在一定程度上類似于股票期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes模型,但有以下不同之處,與保險(xiǎn)相關(guān)的衍生產(chǎn)品沒有具體的在市場(chǎng)上交易的潛在資產(chǎn),而是基于一個(gè)損失指數(shù);損失指數(shù)的增量是用一個(gè)隨機(jī)微分方程來(lái)建模的;而且這一增量是用一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)(用于說明索賠報(bào)告的隨機(jī)性)加一個(gè)跳躍過程(只有巨災(zāi)索賠數(shù)據(jù)才用于構(gòu)建指數(shù))來(lái)描述。Aase(1995):介紹了期貨合約及基于此合約的衍生產(chǎn)品的定價(jià)理論。該理論采用了效用極大化原理,并用在隨機(jī)時(shí)點(diǎn)包含隨機(jī)大小的跳躍的隨機(jī)過程來(lái)構(gòu)造巨災(zāi)損失模型。在運(yùn)用這種方法時(shí)為了得到一個(gè)唯一的價(jià)格,必須假設(shè)保險(xiǎn)市場(chǎng)的所有參與者(包括保險(xiǎn)人、被保險(xiǎn)人、投資組合管理人等)有相同的效用函數(shù)。Christensen(2000):討論了PCS-期權(quán)的定價(jià)。分別對(duì)巨災(zāi)發(fā)生期和調(diào)整期的巨災(zāi)損失指數(shù)建立厚尾模型,然后基于一定的分布假設(shè)給出PCS-期權(quán)在各個(gè)時(shí)刻的價(jià)格的唯一顯示表達(dá)式。Aase(2001):利用馬爾可夫模型來(lái)給巨災(zāi)期貨及基于此期貨的金融衍生產(chǎn)品定價(jià)。在這里假設(shè)潛在巨災(zāi)損失值服從一個(gè)連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫過程,這個(gè)馬爾可夫過程有一個(gè)離散的狀態(tài)空間,且在巨災(zāi)隨機(jī)發(fā)生的時(shí)點(diǎn)處有隨機(jī)索賠額大小的跳躍。(二)投資再保險(xiǎn)ft的定義在均衡模型中,假定一些個(gè)體(經(jīng)濟(jì)人)在市場(chǎng)中交易證券,每一個(gè)體有一定數(shù)量的初始財(cái)富;存在一個(gè)經(jīng)濟(jì)人可以用來(lái)買賣證券的金融市場(chǎng)。經(jīng)濟(jì)人通過市場(chǎng)上的交易活動(dòng)極大化他們各自的福利,均衡價(jià)格來(lái)自于市場(chǎng)上所有個(gè)體的最優(yōu)化行為。當(dāng)價(jià)格使得每一個(gè)經(jīng)濟(jì)人的期望效用最大時(shí),均衡便達(dá)到了。均衡達(dá)到時(shí),在現(xiàn)行的價(jià)格機(jī)制下,沒有人有繼續(xù)交易的動(dòng)機(jī),由此可以導(dǎo)出定價(jià)公式。均衡價(jià)格與個(gè)體的屬性緊密相連,同時(shí)也與交易證券的結(jié)構(gòu)和類型有關(guān)。如果這些發(fā)生變化,對(duì)應(yīng)的均衡價(jià)格一般也會(huì)發(fā)生變化。如果市場(chǎng)處于均衡中,直觀地看,應(yīng)該在市場(chǎng)中找不到套利機(jī)會(huì)。如果價(jià)格體系存在這樣的套利機(jī)會(huì),經(jīng)濟(jì)人便有零成本改進(jìn)福利的能力,與均衡時(shí)經(jīng)濟(jì)人效用已極大化的要求相抵觸?？梢?無(wú)套利定價(jià)理論應(yīng)該與均衡定價(jià)理論產(chǎn)生一致的定價(jià)。先考慮僅有單個(gè)投資者的情況。假設(shè)該投資者為一家保險(xiǎn)公司,公司持有某一關(guān)于巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的保單組合,對(duì)此其收取保費(fèi),同時(shí)也承諾對(duì)發(fā)生的損失支付賠償(Pt)0≤t≤T表示到時(shí)刻t為止所收取的總保費(fèi),(Yt)0≤t≤T表示到時(shí)刻t為止發(fā)生的總損失,這兩個(gè)過程都定義在概率空間(Ψ,(Ft)0≤t≤T,P)上,其中Ft=σ(Ps,Ys,s≤t)我們假設(shè)存在一個(gè)具可流動(dòng)性的再保險(xiǎn)市場(chǎng),也就是說,在任一時(shí)刻t≤T,保險(xiǎn)公司均可基于到時(shí)刻t為止已獲得的信息,將其現(xiàn)有風(fēng)險(xiǎn)(Ys)t≤s≤T的任何部分分出,更具體地給出如下定義:定義1:若t∈[0,T],再保險(xiǎn)策略(ξs)t≤s≤T為定義在(Ψ,(Fs),P)上的一個(gè)可預(yù)見的隨機(jī)過程,且對(duì)任一s∈[t,T]有0≤ξs≤1。Ht表示始于時(shí)刻t的所有再保險(xiǎn)策略集。假設(shè)利率過程(i(t))0≤t≤T,i(t)表示在時(shí)刻t時(shí)投資1,到時(shí)刻T時(shí)的價(jià)值。過程(Xt)0≤t≤T:Xt=i(t)(Pt-Yt),0≤t≤T表示在時(shí)刻t預(yù)測(cè)到來(lái)自巨災(zāi)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的到時(shí)刻T為止經(jīng)利率調(diào)整后的凈收入。如果保險(xiǎn)公司在時(shí)刻t時(shí)選擇一些再保險(xiǎn)策略(ξs)∈Ht,則公司在時(shí)刻T的最終收益(或正或負(fù))為:GT(ξ)=∫TξsdXs。設(shè)該保險(xiǎn)公司的效用函數(shù)為u(x),假定其二次可微,且滿足下述兩個(gè)性質(zhì):(1)正邊際效用:u′(x)>0,即u(x)為一個(gè)嚴(yán)格遞增函數(shù);(2)邊際效用遞減:u′′(x)<0,即u(x)為一個(gè)凹函數(shù)。表明該決策者為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者。保險(xiǎn)人的目標(biāo)為:基于到時(shí)刻t為止所獲得的信息(Ft),選擇一些策略,通過風(fēng)險(xiǎn)交易實(shí)現(xiàn)決策的期望收益的極大化,即:(其中:At為Ht的一些子集)假設(shè)公司在時(shí)刻t再以價(jià)格Ft選擇購(gòu)買δ份某種證券,用FT表示此種證券在最終時(shí)刻T的收益,對(duì)任意的δ及Ft,定義:(其中:r為連續(xù)復(fù)利率,且,if為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率)定義2:假設(shè)對(duì)每一個(gè)Ft,函數(shù)在δ=0處可微,若方程有唯一解Ft,則定義Ft為該證券在時(shí)刻t的價(jià)格。定理1:假設(shè)存在ξ∈A,使V=Ep(u(GT(ξ))),對(duì)每一個(gè)Ft,函數(shù)在δ=0處可微,且滿足,則在時(shí)刻t時(shí)該證券的價(jià)格為:(證明過程略)。假設(shè)u(x)=1/α(1-e-αx)為指數(shù)效用,其風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為α>0。假設(shè)其不選擇再保險(xiǎn)策略,即:At={(1)t≤s≤T},則(1)式可變?yōu)?進(jìn)一步假設(shè)保費(fèi)過程(Pt)為確定的,YT為Ft—可測(cè),顯然i(T)=1,則(2)式又可變形為:以上的討論是基于單個(gè)投資者的情況。事實(shí)上均衡價(jià)格是由保險(xiǎn)市場(chǎng)上的所有經(jīng)濟(jì)人的期望效用同時(shí)極大化來(lái)決定的。這涉及到解一個(gè)包含很多方程的方程組,要對(duì)所有狀態(tài)對(duì)所有個(gè)體一階條件滿足,這樣的計(jì)算量很大。通過使用代表性經(jīng)濟(jì)人(representativeagent)概念,可簡(jiǎn)化模型,找到求均衡價(jià)格的捷徑。我們要構(gòu)造一個(gè)比原來(lái)簡(jiǎn)單得多的模型,但它們卻有一樣的均衡價(jià)格。在新模型中僅有一個(gè)經(jīng)濟(jì)人,而他被認(rèn)為是代表性經(jīng)濟(jì)人。在一定條件下,可由原模型中所有經(jīng)濟(jì)人的效用函數(shù)構(gòu)造出代表性經(jīng)濟(jì)人的效用函數(shù)。從一定意義上講,此代表性經(jīng)濟(jì)人包含了原所有經(jīng)濟(jì)人所反映的信息。由此可以通過解新模型這一比較簡(jiǎn)單的問題得到相同的估價(jià)公式。我們假設(shè)所有的經(jīng)濟(jì)人有相同的概率空間,均有與狀態(tài)無(wú)關(guān)的指數(shù)效用函數(shù)形式。于是就可用一個(gè)代表性經(jīng)濟(jì)人代表整個(gè)保險(xiǎn)市場(chǎng)。這樣可將前面討論過的單個(gè)投資者看成是代表性經(jīng)濟(jì)人。于是,前面得到的證券在時(shí)刻t的價(jià)格Ft(如(1)式),即為均衡價(jià)格。設(shè)該代表性經(jīng)濟(jì)人也有上述的指數(shù)效用u(x)=1/α(1-e-αx)(但是其中的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)α由整個(gè)保險(xiǎn)市場(chǎng)決定),則上述的(3)式即為此種情況下的均衡價(jià)格形式,但是這里的Yt表示整個(gè)保險(xiǎn)市場(chǎng)損失情況。在均衡定價(jià)理論中沒有必須在完全市場(chǎng)環(huán)境下的要求,因此可以將上述定價(jià)模型用于處在不完全市場(chǎng)環(huán)境下的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)證券化產(chǎn)品的定價(jià)。我們假設(shè)公司在時(shí)刻t選擇購(gòu)買巨災(zāi)證券產(chǎn)品(如:PCS-期權(quán)),且有指數(shù)效用形式,則在均衡定價(jià)理論下可得到該產(chǎn)品在時(shí)刻t的均衡價(jià)格為:其中:Ft表示時(shí)刻t時(shí)的價(jià)格,FT表示在最終時(shí)刻T的結(jié)算價(jià)值,(Lt)0≤t≤T表示到時(shí)刻t為止整個(gè)保險(xiǎn)行業(yè)的巨災(zāi)損