2023-2024學(xué)年湖南省株洲市炎陵縣高二（上）素質(zhì)檢測數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年湖南省株洲市炎陵縣高二（上）素質(zhì)檢測數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.復(fù)數(shù)z=52+A.5 B.3 C.5i D.2.若|a|=2，|b|=2且A.π6 B.π4 C.π33.△ABC中，AC=2，BA.±22 B.±12 4.已知直線l經(jīng)過A(?1,4)，BA.π6 B.π4 C.2π5.已知l，m，n是三條不同的直線，α，β是不同的平面，則下列條件中能推出α⊥β的是(

)A.l?α，m?β，且l⊥m

B.l?α，m?β，n?β，且l⊥m，l⊥n6.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)A(4,2)，B(1,?2)，在A.(3,0) B.(0,0)7.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，Q，M分別是DDA.155

B.3010

C.

8.將半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積是(

)A.524πR3 B.5二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知甲罐中有2個大小、質(zhì)地完全一樣的小球，標(biāo)號為1，2，乙罐中有4個大小、質(zhì)地完全一樣的小球，標(biāo)號為1，2，3，4，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個小球，記樣本空間為Ω，事件A為“抽取的兩個小球標(biāo)號之和大于4”，事件B為“抽取的兩個小球標(biāo)號之積小于5”，則下列結(jié)論正確的是(

)A.A與B是互斥事件 B.A與B不是對立事件

C.Ω=A∪10.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是(

)A.兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是a=(2,3,?1)，b=(?2,?3,1)，則l1//l2

B.直線l的方向向量a=(1,11.過點(diǎn)(1,2)A.2x?y=0 B.x+12.如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體ABCD?AA.當(dāng)P在平面BCC1B1上運(yùn)動時，四棱錐P?AA1D1D的體積不變

B.當(dāng)P在線段AC上運(yùn)動時，D1P與A1C1所成角的取值范圍是[π3,π2]

C.使直線AP與平面A

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.過點(diǎn)(1,1)且與直線2x14.在正四棱臺ABCD?A1B1C1D15.如圖，已知四棱錐P?ABCD的各棱長均為2，則AP

16.已知sin(α?β)=1四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

在平行四邊形ABCD中，A(?1,2)，B(1,3)，C(3,?118.(本小題12.0分)

某班20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖：

(1)求這次數(shù)學(xué)考試學(xué)生成績的眾數(shù)和平均數(shù)；

(2)從成績在[50,70)的學(xué)生中任選19.(本小題12.0分)

在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E在線段C20.(本小題12.0分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足bsinA=acos(B?21.(本小題12.0分)

如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，E是線段BC1上靠近點(diǎn)B的一個三等分點(diǎn)，D是AC1的中點(diǎn)．

(1)證明：A122.(本小題12.0分)

如圖，在正四棱錐P?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，AB=2，OP=1．

(1)求二面角C?AP

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由復(fù)數(shù)z=52+i+4i=5(2?i)2.【答案】B

【解析】解：設(shè)向量的夾角為θ，

∵(a?b)⊥a，

∴(a?b)?a=0，

∴a2?a?b3.【答案】D

【解析】解：因為△ABC中，AC=2，BC=3，A=60°，

所以由正弦定理BCsinA=ACsinB，可得334.【答案】D

【解析】解：設(shè)直線l的傾斜角為α，因為直線l經(jīng)過A(?1,4)，B(1,2)兩點(diǎn)，

所以直線l的斜率為k=tanα=2?5.【答案】D

【解析】解：對于A，l?α，m?β，且l⊥m，α，β可以平行、相交、垂直，故A不正確；

對于B，l?α，m?β，n?β，且l⊥m，l⊥n，則l不一定與β垂直，故B不正確；

對于C，m?α，n?β，m/?/n，且l⊥m，α，β可以平行、相交、垂直，故6.【答案】D

【解析】解：由題可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,0)，

則CA=(4?x,2),CB=(1?x,?2)，

因為∠ACB=90°，所以CA⊥CB7.【答案】B

【解析】解：令A(yù)B=2，連接PC、QC、A1P、MC，

因為M、P為BB1、DD1的中點(diǎn)，易知A1P=CM且A1P//CM，

所以四邊形A1PCM為平行四邊形，

所以A1M//PC，

所以∠QPC或其補(bǔ)角為異面直線A1M與PQ所成的角，

在△PQC中，PC=8.【答案】C

【解析】解：半徑為R的半圓，弧長為πR，卷成圓錐以后，

設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，

則有2πr=πR，即r=R2，h=R29.【答案】CD【解析】解：現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個小球，記樣本空間為Ω，

則Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}，

事件A為“抽取的兩個小球標(biāo)號之和大于4”，

則事件A包含的基本事件有：{(1,4)，(2,3)，(2,4)}，

事件B為“抽取的兩個小球標(biāo)號之積小于5”，

則事件B10.【答案】AC【解析】解：因為a=(2,3,?1)，b=(?2,?3,1)，即a=?b，又因為l1，l2不重合，所以l1//l2，A正確．

因為a=(1,?1,2)，u=(6,4,?1)，所以a與μ不平行，所以l不垂直于α，B錯誤．

因為u=(2,2,?1)，v=11.【答案】AB【解析】解：因為橫縱截距相等，

所以直線的斜率存在且不為零，

設(shè)直線方程為y?2=k(x?1)，

令x=0，得到y(tǒng)=2?k，

令y=0，得到x=1?2k，

所以2?12.【答案】AB【解析】解：對于選項A：因為平面BCC1B1/?/平面AA1D1D，

所以點(diǎn)P到側(cè)面ADD1A1的距離為定值，故四棱錐P?AA1D1D的體積為定值，故A正確；

對于選項B：因為A1C1/?/AC，D1P與A1C1所成角是∠D1PA或其補(bǔ)角，

因為△D1AC是正三角形，所以D1P與A1C1成角的取值范圍是[π3,π2]，故B正確；

對于選項C：①當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面CC1D1D上時(不包括正方形的邊界)，過點(diǎn)P作平面ABCD的垂線，垂足為H，連AH，

根據(jù)正方體易知PH⊥平面ABCD，則∠PAH為PA與平面ABCD所成的角，故∠PAH=45°，所以PH=AH，

在Rt△ADH中，由AH>AD=2，但是PH=AH<2，矛盾，

故點(diǎn)P不能在側(cè)面CC1D1D上(不包括正方形的邊界)，

同理，點(diǎn)P不在側(cè)面BB1C1C上(不包括正方形的邊界)．

②當(dāng)點(diǎn)P在上底面A1B1C1D1上時，過點(diǎn)P作平面ABCD的垂線，垂足為G，連結(jié)A1P，AG，

根據(jù)正方體易知PG⊥平面ABCD，且四邊形A1PGA為矩形，則∠PAG為PA與平面ABCD所成的角，故∠PAG=45°，

所以PG=AG=2，所以A1P=AG=2，此時點(diǎn)P的軌跡是以A1為圓心，2為半徑的四分之一圓，點(diǎn)P的軌跡長度為14×2π×2=π；

③當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面AA1D1D，AA1BB上時，根據(jù)正方體特征易知點(diǎn)P在線段AB1，AD1上，都符合題意，

此時點(diǎn)P的軌跡長為42；由上知點(diǎn)P的軌跡長度為π+42，故C選項正確；

對于選項D：取

BC中點(diǎn)M，CD中點(diǎn)N，連結(jié)FM，F(xiàn)N，

因為M13.【答案】x+【解析】解：直線2x?y+3=0斜率為2，

故與之垂直的直線斜率為?12，

故過點(diǎn)(1,1)且與直線2x?14.【答案】7【解析】解：如圖，設(shè)正四棱臺ABCD?A1B1C1D1的上下底面中心分別為M，N，

過A1作A1H⊥AC，垂足點(diǎn)為H，由題意易知A1M=HN=15.【答案】2

【解析】解：∵四棱錐P?ABCD的各棱長均為2，

∴四邊形ABCD是正方形，△PBC是邊長為2的正三角形，

∴AB?BC=0，|BP|=|BC|=16.【答案】19【解析】解：已知sin(α?β)=13,cosαsinβ=16，

則sinα17.【答案】解：(1)∵B(1,3)，C(3,?1)，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，

∴E(2,1)，

∵A(?1,2)，

∴kAE=1?22?(?1)=?13，

故直線AE的方程為y?1=?13(x?2)，即【解析】(1)結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可求解直線AE的斜率，再結(jié)合直線的點(diǎn)斜式公式，即可求解．

(2)18.【答案】解：(1)∵(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1，∴a=0.005，

由頻率分布直方圖可知：這次數(shù)學(xué)考試學(xué)生成績的眾數(shù)為75，

平均數(shù)為(55×2×0.005+65×3×0.005+75×7×0.005+85×6×0.005+95×2×0.005)×10=76.5；

(2)由(1)得：成績在[50,60)的人數(shù)為【解析】(1)由頻率和為1可求得a；根據(jù)頻率分布直方圖估計眾數(shù)和平均數(shù)的方法直接計算可得結(jié)果；

(2)根據(jù)頻率可求得成績在[5019.【答案】(1)證明：在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，DA，DC，DD1兩兩垂直，

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD1的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，

則D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，B1(【解析】(1)根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置的向量證明推理作答；

(220.【答案】解：(1)因為bsinA=acos(B?π6)，

由正弦定理得sinBsinA=sinA(32cosB+12sinB)，

又因為A∈(0,π)，

可得sinA>0，

則si【解析】(1)利用正弦定理化邊為角，將等式化簡即可得到tanB=3，進(jìn)而求得角B的值；

(221.【答案】(1)證明：取線段C1E的中點(diǎn)G，連接DG，A1B，A1G，記A1B∩AB1=F，連接EF．

因為G，D分別是EC1，AC1的中點(diǎn)，所以DG//AE．

因為DG?平面AB1E，AE?平面AB1E，所以DG/?/平面AB1E.

由題意可知四邊形ABB1A1是矩形，則F是A1B的中點(diǎn)．

因為E是BG的中點(diǎn)，所以EF//A1G.

因為A1G?平面AB1E，EF?平面AB1E，所以A1G/?/平面AB1E.

因為DG∩A1G=G，且DG，A1G【解析】(1)取線段C1E的中點(diǎn)G，連接A1G，DG，A1B，記A1B∩AB1=F，連接EF.證明平面A1DG//平面AB1E.然后證明A1D//平面22.【答案】解：(1)由題意得PO⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OB，OP為x，y，z軸正方向建系，如圖所示，

所以A(2,0,0),B(0