吉林省延邊州高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測（一模）數(shù)學(xué)（文）試題

延邊州2022屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，若，則實數(shù)a的取值集合為（）．A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)a＝（）．A． B． C． D．3．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，，則A＝（）．A．45° B．30° C．45°或135° D．30°或150°4．某校為了解學(xué)生體能素質(zhì)，隨機抽取了50名學(xué)生，進(jìn)行體能測試，并將這50名學(xué)生的成績整理得如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論中不正確的是（）．A．這50名學(xué)生中成績在內(nèi)的人數(shù)占比為20％B．這50名學(xué)生中成績在內(nèi)的人數(shù)有26人C．這50名學(xué)生成績的中位數(shù)為70D．這50名學(xué)生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）5．設(shè)x，y滿足，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．6．“大衍數(shù)列”來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中華傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．如圖是求“大衍數(shù)列”前n項和的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，輸入，則輸出的S＝（）．A．18 B．26 C．44 D．687．已知雙曲線離心率為，若拋線的焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則拋物線的方程為（）．A． B．C． D．8．已知定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）．A． B． C． D．9．已知某簡諧振動的振動方程是，該方程的部分圖象如圖．經(jīng)測量，振幅為，圖中的最高點D與最低點E，F(xiàn)為等腰三角形的頂點，則振動的頻率是（）．A． B． C． D．10．如圖，E是正方體棱的中點，F(xiàn)是棱上的動點，下列命題中：①若過CF的平面與直線EB垂直，則F為的中點；②存在F使得；③存在F使得的主視圖和側(cè)視圖的面積相等；④四面體EBFC的體積為定值．其中正確的是（）．A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④11．設(shè)函數(shù)為定義R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則不等式的解集為（）．A． B． C． D．12．2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒訕?biāo)識（圖1），標(biāo)識由黨徽、數(shù)字“100”“1921”“2021”和56根光芒線組成，生動展現(xiàn)中國共產(chǎn)黨團(tuán)結(jié)帶領(lǐng)中國人民不忘初心、牢記使命、艱苦奮斗的百年光輝歷程．其中“100”的兩個“0”設(shè)計為兩個半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（圖2）．已知，則在兩個大圓的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點取自兩大圓公共部分的概率為（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，的夾角為120°，，，則______．14．已知拋物線的焦點為F，點在C上，則______．15．已知三棱錐，，，平面ABC且，則此三棱錐的外接球的體積為______．16．已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②1和3是函數(shù)的極值點；③當(dāng)時，函數(shù)的值域是，則；④函數(shù)的零點至少有2個，至多有6個．其中，所有正確結(jié)論的序號是______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：60分．17．（12分）從下列三個條件中任選一個，補充在下面題目條件中，并解答．①，，②，，③問題：已知數(shù)列的前n項和為，，且______．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知是，的等比中項，求數(shù)列的前n項和．18．（12分）2021年6月17日，我國自主研發(fā)的“神舟十二號”載人航天飛船成功發(fā)射，一共有三名宇航員飛入太空，并在太空駐留三個月，展開非常復(fù)雜和先進(jìn)的任務(wù)，這展現(xiàn)了我國在該項技術(shù)上的先進(jìn)性．某校為了解同學(xué)們對“神舟十二號”載人航天飛船任務(wù)知曉情況，隨機抽查了男、女各100名同學(xué)，得到下面的2×2列聯(lián)表．知曉不知曉總計男955100女8020100總計17525200（1）能否有99％以上的把握認(rèn)為對“神舟十二號”載人航天飛船任務(wù)知曉情況與性別有關(guān)？（2）若被調(diào)查的200名學(xué)生中有5名航模愛好者，其中男同學(xué)3人，女同學(xué)2人，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機抽取3人，求至多抽得1名女同學(xué)的概率．（附：，其中．）19．（12分）在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，平面平面ABCD，為正三角形，Q為AD的中點．（1）求證：平面PBQ；（2）若點M在棱PC上，且平面BMQ，求三棱錐的體積．20．（12分）橢圓的焦點到直線的距離為，離心率為，拋物線的焦點與橢圓E的焦點重合，斜率為k的直線l過G的焦點與E交于A，B兩點，與G交于C，D兩點．（1）求橢圓E及拋物線G的方程；（2）是否存在常數(shù)，使得為常數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的極值點個數(shù)；（2）若對任意的恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與圓C的交點為A，B，與x軸的交點為P，求的值．23．[選修45：不等式選講]（10分）已知，，且．（1）求m的值；（2）設(shè)，若，求的最小值．延邊州2022屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)1．B【解】，又，，則實數(shù)a的取值集合為，時不滿足集合的互異性．故選B．2．C【解】，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，，，解得，，所以，故選C．3．A【解】中．．．由正弦定理得，，，或135°，可得，所以A選項是正確的．4．C【解】根據(jù)此頻率分布直方圖，成績在內(nèi)的頻率為，所以A正確；這50名學(xué)生中，成績在內(nèi)的人數(shù)為，所以B正確；根據(jù)此頻率分布直方圖，可得這50名學(xué)生成績的中位數(shù)，所以C錯誤；根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，可得：，所以D正確．故選C．5．D【解】由題意得可行域為陰影部分，在取得最小值為2，無最大值，即的取值范圍為，故選D．6．C【解】，，，，此時；，，，此時；，，，此時；，，，此時；，，，此時；，，，此時，結(jié)束程序，輸出結(jié)果為44，故選C．7．C【解】由得，．雙曲線的漸近線方程為，拋物線的焦點是，它到直線的距離，．拋物線方程為．故選C．8．A【解】因為定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減且，所以，又，所以，而，所以，所以．故選A．9．B【解】設(shè)該簡諧振動的周期為T，，因為，所以，所以，頻率．故選B．10．D①當(dāng)F為的中點，將CF平移至EM，則M為的四等分點，即，過M點作，設(shè)，則，，，所以，，，所以在中，，故，所以，所以過CF的平面與直線EB垂直，故①成立．②過作，易知Q為的中點，此時和相交，所以和BE異面，故②錯誤；③當(dāng)F為時，的主視圖和側(cè)視圖的面積相等，故③成立；④因為，故面EBC，故上任一點到平面EBC距離相等，且的面積固定，故為定值的，故④正確；故選D．11．D【解】由，得，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，由，得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，因為在R上單調(diào)遞增，所以，得．故選D．12．B【解析】D是線段AB的中點，，，在中，，∴，，∴兩大圓公共部分的面積為：，∴該點取自兩大圓公共部分的概率為．故選B．13．【解】，所以．14．5 【解】代入，，所以，．15．【解】設(shè)球心O，球半徑R，三角形ABC外接圓圓心，半徑r，因為平面ABC，所以．在中，由正弦定理可得，所以，在中，，即，解得，外接球的體積為．16．②③④【解】當(dāng)時，，則，令，得或3，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，作出函數(shù)的大致圖象，如下圖所示：對于①，由圖象得，在上先減后增，故①錯誤；對于②，由圖象得，是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，故②正確；對于③，當(dāng)時，令得，所以若當(dāng)時，函數(shù)的值域為，則，故③正確；對于④，由，得函數(shù)的零點，等價于方程和方程的根的個數(shù)，即等價于和，與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，由圖象得與函數(shù)的圖象有2個交點，當(dāng)時，與函數(shù)的圖象沒有交點，所以函數(shù)的零點有2個；當(dāng)時，與函數(shù)的圖象有2個交點，所以函數(shù)的零點有2個；當(dāng)時，與函數(shù)的圖象有4個交點，所以函數(shù)的零點有6個；當(dāng)時，與函數(shù)的圖象有3個交點，所以函數(shù)的零點有5個；當(dāng)時，與函數(shù)的圖象有2個交點，所以函數(shù)的零點有4個；所以函數(shù)的零點至少有2個，至多有6個，故④正確．故答案為：②③④．三、解答題17．解：（1）選條件①時，，，整理得，故（常數(shù)），所以數(shù)列是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列．故（首項符合通項），故．選條件②時，，，整理得，故，故數(shù)列是等差數(shù)列，公差，故（首項符合通項），選條件③時，，所以數(shù)列是以2為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，則時，．又，所以，．（2）由（1）得：，由于是，的等比中項，所以，則，故：．18．解：（1）故有99％以上的把握認(rèn)為對“神舟十二號”載人航天飛船任務(wù)知曉情況與性別有關(guān)．（2）設(shè)這5名學(xué)生為，其中2名女同學(xué)為，則任取3人的基本事件為，共10種．其中3人中至多有1名女同學(xué)的事件有，共7種．所以至多抽得1名女同學(xué)的概率為．19．證明∵為正三角形，為的中點，∴．∵，，為的中點．∴四邊形為平行四邊形，∴．又，∴，即．又，∴平面．（2）連接，交于，連接．∵平面，平面，平面平面，∴．∵，，為的中點．∴四邊形為平行四邊形，∴為的中點，∴為的中點．∵平面平面，平面平面ABCD=AD，，∴平面．∵，則．∴．．20．（1）設(shè)橢圓與拋物線的公共焦點為所以焦點到直線的距離為，可得：，所以，，所以拋物線由，可得：，所以，所以橢圓．（2）由（1）知：，設(shè)直線，，，，，由可得：，所以，，所以，由可得：，所以，因為是焦點弦，所以，所以．若為常數(shù)，則，所以．21．解：（1）當(dāng)時，，則．令，得．當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．∴當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，其值為．（2）若時，，即．（*）令，則．令，則，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．．（1）若，，∴，∴．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．∴．∴（*）式成立．（2）若，∴由于，．故，使得．則當(dāng)時，，即．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．∴，即（*）式不恒成立．綜上所述