第七章-應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算

第七章應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算主講教師：余茜§7—1應(yīng)力及應(yīng)變的基本概念§7—2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力§7—3材料在拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能§7—4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算§7—5連接件的實(shí)用計(jì)算§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算內(nèi)容提要第七章應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算內(nèi)力是由外力引起的，隨著外力的增加而增加，對一定尺寸的構(gòu)件而言，內(nèi)力越大越危險(xiǎn)，但內(nèi)力的大小還不能完全反映構(gòu)件的危險(xiǎn)程度，特別是對不同尺寸的構(gòu)件，例如兩根材料相同粗細(xì)不同的等直桿，受相同的拉力時(shí)的危險(xiǎn)程度就不同，因此引入應(yīng)力的概念?！?—1應(yīng)力及應(yīng)變的基本概念§7—1應(yīng)力及應(yīng)變的基本概念FFFF一、應(yīng)力的概念——應(yīng)力是截面上一點(diǎn)處每單位面積內(nèi)的分布內(nèi)力，即內(nèi)力的集度。aAFFNFs求截面上a點(diǎn)的應(yīng)力包圍a點(diǎn)取一微面積

A設(shè)A上內(nèi)力的總和為F A面積上的平均切（剪）應(yīng)力，與平面相切。A面積上的平均正應(yīng)力，垂直于截面。將F向法線和切線方向分解為FN

和Fs

A面積上的平均應(yīng)力§7—1應(yīng)力及應(yīng)變的基本概念由于截面上內(nèi)力的分布一般是不均勻的，如果

A趨于零，則

m和

m的極限值就分別是該截面上a點(diǎn)處的正應(yīng)力和切應(yīng)力——a點(diǎn)處的總應(yīng)力——a點(diǎn)處的正應(yīng)力，與截面正交——a點(diǎn)處的切應(yīng)力，與截面相切aAFFNFs——應(yīng)力是截面上一點(diǎn)處每單位面積內(nèi)的分布內(nèi)力，即內(nèi)力的集度。在談到應(yīng)力時(shí)，必須指明應(yīng)力所在的平面及點(diǎn)的位置?！?—1應(yīng)力及應(yīng)變的基本概念——a點(diǎn)處的正應(yīng)力，與截面正交——a點(diǎn)處的切應(yīng)力，與截面相切二、應(yīng)力的單位：帕斯卡(pa)、兆帕（Mpa）、吉帕（Gpa）1帕=1牛頓/米2(N/m2)1GPa=109Pa1MPa=1N/mm2=106Pa§7—1應(yīng)力及應(yīng)變的基本概念應(yīng)力的正、負(fù)號規(guī)定：正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；切應(yīng)力以使所作用的微段有順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢者為正，反之為負(fù)。材料力學(xué)研究變形固體，變形——構(gòu)件的形狀和尺寸發(fā)生的改變。變形分為線變形和角變形。二、應(yīng)變的概念單元體——圍繞某點(diǎn)截取的微小的正六面體。線變形：沿棱邊方向的長度改變角變形：棱邊之間所夾直角的改變§7—1應(yīng)力及應(yīng)變的基本概念沿棱邊方向的長度改變：——A點(diǎn)沿x方向的線應(yīng)變代表A點(diǎn)沿x方向單位長度線段的伸長或縮短，是一個(gè)無量綱的量?！?—1應(yīng)力及應(yīng)變的基本概念——x方向的線變形變形分為線變形和角變形。棱邊之間所夾直角的改變：直角變小了§7—1應(yīng)力及應(yīng)變的基本概念變形分為線變形和角變形。直角的改變量為稱切應(yīng)變或角應(yīng)變，用表示切應(yīng)變的正、負(fù)號規(guī)定：直角變小時(shí)，取正；直角變大時(shí)，取負(fù)。切應(yīng)變的單位為弧度（rad），無量綱?！?—1應(yīng)力及應(yīng)變的基本概念注意1、構(gòu)件中不同點(diǎn)處的線應(yīng)變及切應(yīng)變一般也是不同的2、線應(yīng)變與正應(yīng)力相對應(yīng)，切應(yīng)變與切應(yīng)力相對應(yīng)

§7-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力取一等直圓桿，在其外表面上刻兩條橫截面平面的輪廓線A、B和許多與軸線平行的縱線在兩端施加一對軸向拉力F一、橫截面上的應(yīng)力：軸向拉壓桿的強(qiáng)度并不能完全由軸力決定，還與桿的截面面積以及軸力在截面上的分布情況有關(guān)。ABFFAB

所有的縱向線都伸長，伸長量都相等，仍與軸線平行，而橫截面輪廓線A、B平移到A'、B'，仍為一與軸線垂直的平面圓周線在兩端施加一對軸向拉力FABA'B'結(jié)論：表面各纖維的伸長相同，所以它們所受的力也相同平面假設(shè)：變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面。結(jié)論：由平面假設(shè)知，正應(yīng)力在橫截面上是均勻分布的FFFFFNF§7-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力

結(jié)論：由平面假設(shè)知，正應(yīng)力在橫截面上是均勻分布的FNFFFN軸向拉壓的應(yīng)力計(jì)算：——FN為軸力，A為桿的橫截面面積拉力引起的應(yīng)力稱為拉應(yīng)力，壓力引起的應(yīng)力稱為壓應(yīng)力；應(yīng)力的符號與軸力的符號一致，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。注意：軸向拉壓變形橫截面上只有正應(yīng)力沒有切應(yīng)力§7-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力例7.1圖7.4（a）所示三角托架中，AB桿為圓截面鋼桿，直徑d=30mm；BC桿為正方形截面木桿，截面邊長a＝100mm。已知F＝50kN，試求各桿的應(yīng)力。解：取結(jié)點(diǎn)B為分離體例題：一橫截面為正方形的磚柱分上，下兩段，其受力情況，各段長度及橫截面面積如圖所示，圖中長度的單位為mm，已知F=50KN，試求荷載引起的最大工作應(yīng)力。FABCFF3000400021370240§7-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力50KN150KN解：FABCFF3000400037024021先求軸力、作軸力圖，再代入公式求應(yīng)力

max在柱的下段，其值為1.1MPa，是壓應(yīng)力?！?-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力解：運(yùn)用截面法，在距離自由端為x的截面處將桿截?cái)啵∠露螢槊撾x體，設(shè)G（x）為該段桿的重量，則§7-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力x的方程（軸力方程）X＝0時(shí)，X＝l時(shí)，F(xiàn)N圖§7-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力X＝0時(shí)，X＝l時(shí)，——即應(yīng)力沿桿長的分布是x的線性函數(shù)FN圖σ分布圖§7-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力Fkk

F

以圖示軸向拉桿為例，求與橫截面成

角的任一斜截面k—k上的應(yīng)力二、斜截面上的應(yīng)力不僅橫截面上有應(yīng)力，在其它方位的截面上也有應(yīng)力，因此對全方位的截面上的應(yīng)力進(jìn)行研究，找出最大應(yīng)力及其所在截面，作為強(qiáng)度計(jì)算的依據(jù)。1、研究意義2、斜截面上的應(yīng)力§7-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力Fkk

F

假想地用一平面沿斜截面k—k將桿一分為二，取左段為研究對象Fkkxn

二、斜截面上的應(yīng)力p

：斜截面上的全應(yīng)力：自軸線轉(zhuǎn)向斜截面的外法線n的夾角軸力FN=F，均布于斜截面上FNA

：斜截面的面積

逆時(shí)針時(shí)

為正號順時(shí)針時(shí)

為負(fù)號§7-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力Fkk

FFkkxn

設(shè)橫截面的面積A為，則有故有為橫截面上的應(yīng)力§7-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力沿截面法線方向的正應(yīng)力

沿截面切線方向的切應(yīng)力

Fkk

FFkkxn

應(yīng)力的大小正應(yīng)力切應(yīng)力Fkkxn

將p

=σcosα分解為兩個(gè)分量：§7-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力Fkk

FFkkxn

斜截面上既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力，且都是α的函數(shù)。分析正應(yīng)力切應(yīng)力Fkkxn

——拉壓桿最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上，且在此截面上切應(yīng)力為零。(1)求

max當(dāng)=0時(shí)，

max=

，§7-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力Fkk

FFkkxn

分析正應(yīng)力切應(yīng)力Fkkxn

——拉壓桿最大切應(yīng)力發(fā)生在與橫截面成45o的斜面上，數(shù)值上等于最大正應(yīng)力的一半。(2)求當(dāng)=±45o

時(shí)，§7-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力——由于構(gòu)件形狀或截面尺寸的突然改變，使得構(gòu)件內(nèi)局部區(qū)域應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中由于結(jié)構(gòu)的需要，構(gòu)件的截面尺寸往往會突然變化，例如開孔、溝槽、螺紋等，局部的應(yīng)力不再均勻分布而急劇增大三、應(yīng)力集中的概念1、應(yīng)力集中§7-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力——由于構(gòu)件形狀或截面尺寸的突然改變，使得構(gòu)件內(nèi)局部區(qū)域應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中三、應(yīng)力集中的概念1、應(yīng)力集中§7-2軸向拉壓桿橫截面和斜截面上的應(yīng)力——應(yīng)力集中截面上的最大應(yīng)力——同一截面按凈面積計(jì)算的名義應(yīng)力——應(yīng)力集中系數(shù)，>1提出問題工作應(yīng)力僅取決于外力和構(gòu)件的幾何尺寸。只要外力和構(gòu)件幾何尺寸相同，不同材料做成的構(gòu)件的工作應(yīng)力是相同的。對于同樣的工作應(yīng)力，為什么有的構(gòu)件破壞、有的不破壞？顯然這與材料的性質(zhì)有關(guān)?！?-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)力學(xué)性質(zhì)：是指材料在外力作用下在變形和破壞過程中所表現(xiàn)出來的性能§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)材料的力學(xué)性能除取決于材料的成分和組織結(jié)構(gòu)外，還與應(yīng)力狀態(tài)、溫度和加載方式等因素有關(guān)。本節(jié)重點(diǎn)討論常溫、靜載條件下金屬材料在拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能?！?-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)d一、材料的拉伸與壓縮試驗(yàn)標(biāo)距：在試件中間等直部分上劃兩條橫線，這一段桿稱為標(biāo)距l(xiāng)0。l=10d——十倍試件

或

l=5d——五倍試件

實(shí)驗(yàn)設(shè)備：主要有兩類，一類稱為萬能試驗(yàn)機(jī)；另一類設(shè)備是用來測試變形的變形儀。試件：分為圓形截面試件和矩形截面試件。l標(biāo)距試驗(yàn)方法§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)變形儀萬能試驗(yàn)機(jī)§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)拉伸曲線：將試件受到的軸向拉力F和與之相對應(yīng)的伸長量Δl一一記錄下來，直到試件被拉斷，然后以Δl為橫坐標(biāo)，F(xiàn)為縱坐標(biāo)畫出若干個(gè)點(diǎn)，以曲線相連，得到一條F－Δl曲線，稱之為拉伸曲線或拉伸圖試驗(yàn)方法OFDl應(yīng)力應(yīng)變圖：為使材料的性能與幾何尺寸無關(guān)，將拉伸圖中的F值除以試樣的原始橫截面，即用應(yīng)力值σ作為縱坐標(biāo)，將Δl值除以原始計(jì)算長度l，即用應(yīng)變值ε作為橫坐標(biāo)，得到一條σ

－ε

曲線，稱為應(yīng)力應(yīng)變圖。Oσε§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)二、低碳鋼拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)（1）強(qiáng)度性質(zhì)：四個(gè)階段Oσεa'abd彈性階段屈服階段強(qiáng)化階段頸縮階段ec彈性階段（oa'段）屈服階段（a'c段）強(qiáng)化階段（cd段）局部變形階段（頸縮階段）（de段）§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)1、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)1、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)彈性階段（oa'段）Oσεa'abd彈性階段ecσeσpoa段：直線（線性、彈性）σp——比例極限αaa‘段：微彎曲線(非線性、彈性）σe——彈性極限，，低碳鋼：σe≈σp＝200MPaE＝200GPa§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)E——彈性模量（與材料性質(zhì)有關(guān)的物理量，單位Pa）屈服階段（a'c段）Oσεa'abd彈性階段ecσeσpσsαa‘c段：水平鋸齒狀（應(yīng)力基本不變，應(yīng)變繼續(xù)增大），進(jìn)入彈塑性變形階段σs——屈服極限（屈服階段最低點(diǎn)b對應(yīng)的應(yīng)力值）低碳鋼：σs≈240MPa屈服階段§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)1、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)強(qiáng)化階段（cd段）Oσεa'abd彈性階段ecσeσpσsσbcd段：上升的曲線，斜率比彈性階段?。ú糠值鼗謴?fù)了抵抗變形的能力），主要是塑性變形σb——強(qiáng)度極限（最高點(diǎn)d所對應(yīng)的應(yīng)力值）α低碳鋼：σb≈400MPa強(qiáng)化階段屈服階段§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)1、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)局部變形階段（de段）Oσεa'abd彈性階段ecσeσpσsσbde：下降的曲線，應(yīng)力減?。ㄓ捎诓捎迷济娣e計(jì)算），應(yīng)變增加α強(qiáng)化階段屈服階段試件的變形集中在某一段內(nèi)，橫截面面積顯著地收縮，出現(xiàn)頸縮現(xiàn)象，一直到試件被拉斷。e′實(shí)際的應(yīng)力增長的，如圖中的虛線de'§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)1、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)（1）強(qiáng)度性質(zhì)：四個(gè)階段四個(gè)強(qiáng)度指標(biāo)：Oσεa'abdecσeσpσsσbσp——比例極限ασe——彈性極限σs——屈服極限σb——強(qiáng)度極限§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)1、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)（2）變形性質(zhì)：兩個(gè)塑性指標(biāo)延伸率：斷面收縮率：延伸率和斷面收縮率越大，材料的塑性變形能力越強(qiáng)?！嘈圆牧稀苄圆牧稀?-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)1、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)（3）卸載定律及冷作硬化：2134εσOC

lC：彈性變形

lS：塑性變形§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)1、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)卸載定律：無論加載到曲曲線的任一點(diǎn)，然后緩慢卸載，曲線將沿著與初始加載時(shí)的直線相平行的直線卸載直到應(yīng)力為零，且卸去的應(yīng)力與卸去的變形保持為線性關(guān)系。冷作硬化：在常溫下把材料預(yù)拉到強(qiáng)化階段，卸載后立即再次加載，試件在線彈性范圍內(nèi)所能承受的最大荷載將增大。2134

l

POC

lC：彈性變形

lS：塑性變形冷拉時(shí)效：在常溫下把材料預(yù)拉到強(qiáng)化階段然后卸載，休息幾天后再加載，能獲得更高的比例極限和強(qiáng)度極限。§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)（3）卸載定律及冷作硬化：2、低碳鋼壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)aE=tga低碳鋼拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線D(ss)(se)BA(sp)E(sb)gs(MPa)200400e0.10.2O低碳鋼壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線E、σs

均與拉伸實(shí)驗(yàn)中的基本相同，無頸縮，無破壞點(diǎn)，最后被壓成餅狀§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)三、鑄鐵在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)脆性材料，抗壓能力遠(yuǎn)大于抗拉能力受拉破壞：沿著橫截面被拉斷

受壓破壞：沿著與軸線約成

45o~55o的斜截面剪段§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)鑄鐵拉伸時(shí)的曲線沒有明顯的直線部分，也沒有明顯的屈服和頸縮現(xiàn)象。工程中約定其彈性模量E為150～180Gpa，而且遵循胡克定律。斷口截面：三、鑄鐵在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)名義屈服極限——對于工程中常用的沒有明顯屈服階段的塑性材料，如硬鋁、青銅、高強(qiáng)鋼等，國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，試件卸載后有0.2%的塑性應(yīng)變時(shí)的應(yīng)力值作為名義屈服極限，用表示§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)塑性材料脆性材料斷裂前有很大塑性變形斷裂前變形很小抗壓能力與抗拉能力相近抗壓能力遠(yuǎn)大于抗拉能力伸長率δ≥5%伸長率δ<5%可承受沖擊載荷，適合于鍛壓和冷加工適合于做基礎(chǔ)構(gòu)件或外殼材料的塑性和脆性會因?yàn)橹圃旆椒üに嚄l件的改變而改變§7-3材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)塑性材料和脆性材料力學(xué)性能比較一、基本概念2、極限應(yīng)力：材料發(fā)生斷裂或出現(xiàn)明顯的塑性變形而喪失正常工作能力時(shí)的狀態(tài)稱為極限狀態(tài)，此時(shí)的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力，記做σ01、危險(xiǎn)截面：桿件上應(yīng)力最大的截面。對于軸向拉壓桿，危險(xiǎn)截面在最大正應(yīng)力的橫截面上?！?-4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算§7-4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算脆性材料——塑性材料——3、破壞條件：σ≥σ0一、基本概念§7-4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算§7-4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算3、破壞條件：σ≥σ04、許用應(yīng)力：把極限應(yīng)力除以一個(gè)大于一的系數(shù)n，稱為安全因數(shù)，所得結(jié)果稱為許用應(yīng)力，記做[σ]n>1——安全因數(shù)由于極限應(yīng)力σ0的測定是近似的而且構(gòu)件工作時(shí)的應(yīng)力計(jì)算理論有一定的近似性，所以不能把σ0直接用于強(qiáng)度計(jì)算的控制應(yīng)力。為了安全起見，引入許用應(yīng)力，作為應(yīng)力的上限。——即桿件的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力，保證構(gòu)件不發(fā)生強(qiáng)度破壞并有一定安全裕量二、強(qiáng)度條件2、軸向拉壓等直桿內(nèi)最大正應(yīng)力發(fā)生在最大軸力所在的橫截面上。注：要運(yùn)用強(qiáng)度公式，首先要判斷危險(xiǎn)截面的位置及最大工作應(yīng)力的位置。1、對于軸向拉壓桿：§7-4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算三、強(qiáng)度條件的三類應(yīng)用（1）強(qiáng)度校核（2）設(shè)計(jì)截面（3）確定許用荷載注：當(dāng)滿足強(qiáng)度條件求許用荷載的方法：先求許用軸力，再根據(jù)軸力和荷載的關(guān)系確定許用荷載?！?-4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算例題：三角屋架的主要尺寸如圖所示，它所承受的豎向均布荷載沿水平方向的集度為q=10kN/m。屋架中鋼拉桿AB直徑d=22mm，許用應(yīng)力[]=170MPa。試校核AB的強(qiáng)度。CqAB8.4m1.4m§7-4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算解：（1）求支反力CqAB8.4m1.4m因?yàn)榇宋菁芙Y(jié)構(gòu)及其荷載左右對稱，所以FRAFRB（2）求AB桿的軸力取半個(gè)屋架為脫離體，畫受力圖CA4.2mFRAFNABFHCFVC1.4mq§7-4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算（3）求桿AB的應(yīng)力CqAB8.4m1.4mFRAFRB（4）強(qiáng)度校核CA4.2mFRAFNABFHCFVC1.4mq（5）結(jié)論：滿足強(qiáng)度條件（或者“安全”）§7-4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算四、應(yīng)用強(qiáng)度條件的步驟及注意事項(xiàng)1、步驟：①內(nèi)力分析——找出危險(xiǎn)截面的位置②應(yīng)力分析——找出危險(xiǎn)截面上最大應(yīng)力的位置③強(qiáng)度條件及其應(yīng)用2、注意事項(xiàng)：①軸向拉壓桿橫截面上只有正應(yīng)力，沒有切應(yīng)力；②不論是強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面還是求許用荷載，最后一定要有結(jié)論?！?-4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算ABCF求：1、校核該結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度2、求容許荷載[F]3、當(dāng)F＝[F]時(shí)，重新選擇截面面積例：如圖所示結(jié)構(gòu)，已知：AB桿為鋼桿，長度面積，BC桿為木桿，長度，面積，力F=10KN§7-4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算例：如圖所示結(jié)構(gòu)，已知：AB桿為鋼桿，長度面積，BC桿為木桿，長度，面積，力F=10KNABCF解：1、校核該結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度取鉸B為研究對象，畫受力圖BFFN1FN2§7-4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算例：如圖所示結(jié)構(gòu)，已知：AB桿為鋼桿，長度面積，BC桿為木桿，長度，面積，力F=10KNABCF解：1、校核該結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度BFFN1FN2所以滿足強(qiáng)度條件§7-4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算例：如圖所示結(jié)構(gòu)，已知：AB桿為鋼桿，長度面積，BC桿為木桿，長度，面積，力F=10KN解：2、求容許荷載[F]BFFN1FN2分析：要求容許荷載，先求容許軸力由得由得§7-4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算例：如圖所示結(jié)構(gòu)，已知：AB桿為鋼桿，長度面積，BC桿為木桿，長度，面積，力F=10KNABCF解：3、當(dāng)F＝[F]＝40.4KN時(shí)，重新選擇截面面積BFFN1FN2由得所以，可以選擇AB桿的面積為505mm2，BC桿的面積為10000mm2§7-4軸向拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算§7-5連接件的實(shí)用計(jì)算§7-5連接件的實(shí)用計(jì)算連接部位的受力往往非常復(fù)雜，除了拉斷以外，連接的破壞形式主要是剪切破壞和擠壓破壞。一、剪切的實(shí)用計(jì)算外力與連接件軸線垂直連接件橫截面發(fā)生錯(cuò)位連接件發(fā)生了剪切破壞，我們將錯(cuò)位橫截面稱為剪切面§7-5連接件的實(shí)用計(jì)算單剪切雙剪切搭接對接FF以螺栓為例剪切面FS將螺栓從剪切面截開，由力的平衡，有：FS

——剪力F§7-5連接件的實(shí)用計(jì)算切應(yīng)力在剪切面上的分布情況是非常復(fù)雜的，工程上往往采用實(shí)用計(jì)算的方法：假設(shè)與剪力F

S對應(yīng)的切應(yīng)力τj在剪切面上是均勻分布的，即F

S——剪力（剪切面上內(nèi)力的合力）A

j——剪切面面積§7-5連接件的實(shí)用計(jì)算FFS許用切應(yīng)力剪切強(qiáng)度條件二、擠壓的實(shí)用計(jì)算一般來講，承受剪切的構(gòu)件在發(fā)生剪切變形的同時(shí)都伴隨有擠壓，通過擠壓來實(shí)現(xiàn)力的傳遞。擠壓破壞的特點(diǎn)是：在構(gòu)件相互接觸的表面，因承受了較大的壓力，是接觸處的局部區(qū)域發(fā)生顯著的塑性變形或擠碎§7-5連接件的實(shí)用計(jì)算（1）螺栓壓扁（2）鋼板在孔緣壓皺擠壓破壞的兩種形式§7-5連接件的實(shí)用計(jì)算在擠壓力作用下接觸面的變形稱為擠壓變形擠壓面為右半個(gè)圓柱面擠壓面為左半個(gè)圓柱面板與鉚釘之間接觸并傳遞力的面稱為擠壓面§7-5連接件的實(shí)用計(jì)算擠壓面上傳遞的壓力稱為擠壓力，記為Fbs由擠壓力引起的應(yīng)力稱為擠壓應(yīng)力與剪切應(yīng)力的分布一樣，擠壓應(yīng)力的分布也非常復(fù)雜，工程上往往采取實(shí)用計(jì)算的辦法——一般假設(shè)擠壓應(yīng)力平均分布在擠壓面上，且采用實(shí)際擠壓面沿?cái)D壓方向的正投影面積來作為計(jì)算擠壓面面積Abs。擠壓力計(jì)算擠壓面面積許用擠壓應(yīng)力§7-5連接件的實(shí)用計(jì)算t——板厚擠壓強(qiáng)度條件連接部位破壞的主要形式連接件被連接件——板擠壓破壞擠壓破壞剪切破壞軸向拉壓破壞§7-5連接件的實(shí)用計(jì)算例圖示受拉力P作用下的螺栓，剪切面面積為

，擠壓面面積為

。Dπdhπ(D2-d2)/4§7-5連接件的實(shí)用計(jì)算鉚釘群等量受力的條件鉚釘直徑均相等（粗細(xì)相同）外力通過鉚釘群的形心§7-5連接件的實(shí)用計(jì)算FFAB(a)t例題：一銷釘連接如圖所示,已知外力F=18kN,被連接的構(gòu)件A和B的厚度分別為t=8mm和t1=5mm,銷釘直徑d=15mm,銷釘材料的許用切應(yīng)力為[]=60MPa,許用擠壓應(yīng)力為[bS]=200Mpa,試校核銷釘?shù)膹?qiáng)度。dF(b)d解：銷釘受力如圖b所示剪切面擠壓面FFAB(a)td(b)FFFSFSFSFS剪切強(qiáng)度校核受剪面為m—m和n—n面由截面法得兩個(gè)面上的剪力受剪面的面積為受剪面上的名義切應(yīng)力為mmnndF=18kN,t=8mm，t1=5mm,d=15mm,[]=60MPa,[bS]=200Mpa校核擠壓強(qiáng)度這兩部分的擠壓力相等，故應(yīng)取長度為t的中間段進(jìn)行擠壓強(qiáng)度校核。F擠壓面td故銷釘是安全的。F=18kN,t=8mm，t1=5mm,d=15mm,[]=60MPa,[bS]=200Mpa例7.6在圖7.18（a）所示搭接中，因?yàn)閮蓚€(gè)外力作用線不在一直線上，所以在連接處會產(chǎn)生彎曲變形。為了避免這一缺點(diǎn)，可采用圖7.21（a）所示連接形式，稱為對接。設(shè)外力F=300kN，試對該連接作強(qiáng)度校核。已知：板的寬度b=150mm，兩蓋板的厚度t1=10mm，兩主板的厚度t2=20mm，鉚釘直徑d=28mm。連接中各部分材料相同，其許用拉應(yīng)力，許用切應(yīng)力，許用擠壓應(yīng)力。例7.6在圖7.18（a）所示搭接中，因?yàn)閮蓚€(gè)外力作用線不在一直線上，所以在連接處會產(chǎn)生彎曲變形。為了避免這一缺點(diǎn)，可采用圖7.21（a）所示連接形式，稱為對接。設(shè)外力F=300kN，試對該連接作強(qiáng)度校核。已知：板的寬度b=150mm，兩蓋板的厚度t1=10mm，兩主板的厚度t2=20mm，鉚釘直徑d=28mm。連接中各部分材料相同，其許用拉應(yīng)力，許用切應(yīng)力，許用擠壓應(yīng)力。例7.6在圖7.18（a）所示搭接中，因?yàn)閮蓚€(gè)外力作用線不在一直線上，所以在連接處會產(chǎn)生彎曲變形。為了避免這一缺點(diǎn)，可采用圖7.21（a）所示連接形式，稱為對接。設(shè)外力F=300kN，試對該連接作強(qiáng)度校核。已知：板的寬度b=150mm，兩蓋板的厚度t1=10mm，兩主板的厚度t2=20mm，鉚釘直徑d=28mm。連接中各部分材料相同，其許用拉應(yīng)力，許用切應(yīng)力，許用擠壓應(yīng)力。PPttPPb例題：一鉚釘接頭用四個(gè)鉚釘連接兩塊鋼板。鋼板與鉚釘材料相同。鉚釘直徑d=16mm，鋼板的尺寸為b=100mm，t=10mm，P=90KN，鉚釘?shù)脑S用應(yīng)力是[]=120MPa，[bS]=120MPa，鋼板的許用拉應(yīng)力[]=160MPa。試校核鉚釘接頭的強(qiáng)度。(1)鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度受剪面每個(gè)鉚釘受力為P/4每個(gè)鉚釘受剪面上的剪力為PPb(2)鉚釘?shù)臄D壓強(qiáng)度每個(gè)鉚釘受擠壓力為受剪面擠壓面面積為擠壓面由于鋼板的材料與鉚釘?shù)牟牧舷嗤钟捎谧饔昧εc反作用力的關(guān)系，鋼板也滿足擠壓強(qiáng)度條件。(3)鋼板的拉伸強(qiáng)度P+p整個(gè)接頭是安全的1122MeMe荷載特征：一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、位于垂直桿軸線的兩平面內(nèi)（橫截面）的力偶；變形特征：桿件的任意兩個(gè)橫截面將繞桿軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)，而桿的軸線仍保持直線。§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算一、扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)及假設(shè)將一等直圓軸表面等間距地畫上縱向平行線和圓周線，形成大小相同的網(wǎng)格。兩端施以大小相等方向相反一對力偶矩觀察到：#圓周線形狀、大小及間距不變，僅繞軸線做相對轉(zhuǎn)動(dòng)；#縱向平行線都傾斜了一個(gè)微小的角度，仍然近似為直線且相互平行；MeMe§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算#變形前表面的矩形網(wǎng)格，變形后成平行四邊形?！?—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算結(jié)論：1、整個(gè)橫截面上沒有正應(yīng)力2、橫截面上有切應(yīng)力，切應(yīng)力的方向垂直于半徑平面假設(shè)：橫截面在變形后仍保持為平面，其形狀和大小也不變，且半徑仍為直線。MeMe§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算一、扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)及假設(shè)dxdyABCD

C'D'dxMeMe二、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力分別從幾何、物理和靜力平衡三方面推導(dǎo)aab1dxb幾何方面3242'3'從受扭圓桿內(nèi)任取長為dx的微段abab§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算——相對扭轉(zhuǎn)角（a、b兩個(gè)橫截面相對轉(zhuǎn)動(dòng)的角度）——橫截面圓周上任一點(diǎn)1處的切應(yīng)變二、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力幾何方面再從該微段中取出微元1234O1O2作為研究對象。aab1dxb3242'3'13242'3'Rρ

ρ——離軸線任意距離ρ處的切應(yīng)變，則mm'dx§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算二、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力幾何方面13242'3'Rρ離軸線任意距離ρ處的切應(yīng)變?yōu)榇耸秸f明：同一半徑圓周上各點(diǎn)切應(yīng)變

均相同，且其值與

成正比。

mm'令單位長度扭轉(zhuǎn)角（扭率）即dx§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算同一圓周上各點(diǎn)切應(yīng)力

均相同，且其值與

成正比，

垂直與半徑。二、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力物理方面13242'3'Rρmdx§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算對于線彈性材料，試驗(yàn)表明，當(dāng)切應(yīng)力τ不超過材料的剪切比例極限時(shí)，切應(yīng)力τ與切應(yīng)變

γ保持線性關(guān)系，即——剪切胡克定律G——切變模量，量綱與應(yīng)力量綱相同，常用單位為GPa。

整個(gè)橫截面上的內(nèi)力元素

的合力必等于零，并組成一個(gè)力偶，這就是橫截面上的扭矩。RoMTdAdA二、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力靜力平衡方面即圓截面對圓心的極慣性矩§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算幾何方面離軸線任意距離ρ處的切應(yīng)變?yōu)槲锢矸矫骒o力平衡方面實(shí)心圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算公式§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算公式——圓截面對圓心的極慣性矩式中：MT為橫截面上的扭矩；

為求應(yīng)力的點(diǎn)到圓心的距離從式中可以看出：切應(yīng)力的大小與該截面的扭矩MT成正比，與作用點(diǎn)離圓心的距離

與正比，與極慣性矩成反比?！?—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算公式切應(yīng)力垂直于半徑，指向與MT的轉(zhuǎn)向一致；切應(yīng)力沿著直徑呈直線分布，橫截面周邊各點(diǎn)處切應(yīng)力將達(dá)到最大值，圓心處的切應(yīng)力為零。令得Wp——扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，單位m3注意：此公式及分布規(guī)律對于實(shí)心和空心圓截面桿均適用。MTττMTττ§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算（1）實(shí)心圓截面桿：扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)——是一個(gè)只決定于橫截面的形狀和大小的幾何量。單位m3§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算（2）空心圓截面桿：其中強(qiáng)度條件的應(yīng)用強(qiáng)度條件：三、扭轉(zhuǎn)圓軸的強(qiáng)度計(jì)算對于等截面桿，扭轉(zhuǎn)軸內(nèi)最大切應(yīng)力發(fā)生在扭矩最大的截面的圓周上（1）校核強(qiáng)度（2）設(shè)計(jì)截面（3）確定荷載先求許用扭矩，再由扭矩和荷載之間的關(guān)系確定荷載§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算0.4775kN·m0.955kN·m解：先計(jì)算外力偶矩用直接法作扭矩圖MTmax=0.955kN·mBCADMeBMeCMeDMeA0.637kN·m+－MT圖例已知A輪輸入功率為50kW，B、C、D輪輸出功率分別為15、15、20kW，軸的轉(zhuǎn)速為300r/min，[τ]＝60MPa，試設(shè)計(jì)該軸直徑。危險(xiǎn)截面是CA段中的任意一個(gè)截面。解：MTmax=0.955kN·mBCADMBeMCeMDeMAe例已知A輪輸入功率為50kW，B、C、D輪輸出功率分別為15、15、20kW，軸的轉(zhuǎn)速為300r/min，[τ]＝60MPa，試設(shè)計(jì)該軸直徑。+－由強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)軸直徑：選：d=44mm§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算0.4775kN·m0.955kN·m0.637kN·mMT圖例7.7某實(shí)心圓軸，承受最大扭矩為2kN·m，材料的許用切應(yīng)力，直徑d＝64mm。（1）校核該軸的強(qiáng)度；（2）若改用空心圓軸，且內(nèi)、外徑之比，確定截面尺寸，并比較兩種截面的材料用量。解：例7.7某實(shí)心圓軸，承受最大扭矩為2kN·m，材料的許用切應(yīng)力，直徑d＝64mm。（1）校核該軸的強(qiáng)度；（2）若改用空心圓軸，且內(nèi)、外徑之比，確定截面尺寸，并比較兩種截面的材料用量。解：取82mm，70mm。比較用量：設(shè)實(shí)心截面軸和空心截面軸的體積分別為V和V1，因?yàn)閮奢S長度相同，所以這說明空心軸的重量輕，截面更合理。xydydzabdzdxc在單元體左、右面（桿的橫截面）上只有切應(yīng)力，如圖建立坐標(biāo)系，切應(yīng)力方向與y軸平行?？芍?，兩側(cè)面的內(nèi)力元素

xdydz大小相等，方向相反，將組成一個(gè)力偶。其矩為由平衡方程四、切應(yīng)力互等定理(

xdydz)dx§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算xydydzabdzdxc要滿足平衡方程，在單元體上下兩個(gè)截面上必然也有力的存在，并且組成一個(gè)力偶。其矩為(

ydxdz)dy由平衡條件，有(

xdydz)dx＝(

ydxdz)dy四、切應(yīng)力互等定理得：

x＝y(tǒng)(

xdydz)dx§7—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算xydydzabdzdxc四、切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理：單元體兩個(gè)相互垂直的平面上，垂至于兩平面交線的切應(yīng)力總是同時(shí)存在，且大小相等，都指相（或都背離）兩平面的交線。純剪切應(yīng)力狀態(tài)：單元體平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力，則稱該單元體為純剪切應(yīng)力狀態(tài)?！?—6圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算例：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為α=0.5，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為MT，若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為MT的多少倍？（按強(qiáng)度計(jì)算）。解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為d、D，面積增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)閐1、

D1，最大許可扭矩為MT1前言軸向拉壓：圓軸扭轉(zhuǎn)：梁的彎曲：當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)，一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩M，又有剪力FS。mmFSM§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素

dFN=dA

才能合成彎矩只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dFS=dA

才能合成剪力所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力mmFSmmM

§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算純彎曲若梁在某段內(nèi)各橫截面上的

彎矩為常量

，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲。PPaaCD+-PP+PaCD段就是

純彎曲?！?—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算一、梁的正應(yīng)力ABAC、DB段是橫力彎曲

。1、試驗(yàn)及假設(shè)觀察到：在矩形截面梁的側(cè)面畫上一些等間距的水平縱線（aa、bb等）和橫向線（mm、nn等）縱線：相互平行的水平直線→相互平行的曲線，間距無變化，且上部被壓短，下部被拉長；橫向線：仍保持直線，仍與縱線垂直，但相互不再平行，相對轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算一、梁的正應(yīng)力（1）橫截面變形后仍為一平面（平截面假設(shè)），且仍與梁的軸線正交；（3）上部纖維縮短，下部纖維伸長，由變形的連續(xù)性，必有一層纖維即不伸長，也不縮短，稱之為中性層；中性層與橫截面的交線稱為中性軸。（2）梁可看成是由一層層的縱向纖維組成的，縱向纖維間無擠壓，由平面假設(shè)，同一層纖維的伸長（或縮短）相同；§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算1、試驗(yàn)及假設(shè)一、梁的正應(yīng)力中性層——即不伸長，也不縮短的一層縱向纖維中性層中性軸橫截面中性軸——中性層與橫截面的交線彎曲變形的特征——橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度中性中性軸§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算1、試驗(yàn)及假設(shè)一、梁的正應(yīng)力2、純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)在推導(dǎo)純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式時(shí)，要綜合考慮幾何，物理和靜力學(xué)三方面。如圖，從純彎曲梁段上取出長為dx的微段，將梁的軸線取為x軸，橫截面的對稱軸取為

y軸，中性軸取為z軸dxzyaabba′a′b′b′o1o2中性軸中性層§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算一、梁的正應(yīng)力dxzyaabba′a′b′b′o1o2中性軸中性層幾何方面a′a′b′o1o2b′yK1K2取距離中性軸為y處的纖維K1K2作為研究對象曲率半徑§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)一、梁的正應(yīng)力幾何方面a′a′b′o1o2b′yK1K2纖維K1K2的相對伸長為曲率半徑即：y——纖維距離中性軸的距離——梁彎曲后中性層的曲率§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)一、梁的正應(yīng)力幾何方面a′a′b′o1o2b′yK1K2曲率半徑y(tǒng)——纖維距離中性軸的距離——梁彎曲后中性層的曲率該式說明：線應(yīng)變

和纖維與中性軸的距離y成正比，同一層纖維的線應(yīng)變相同，離中性層越遠(yuǎn)，纖維的線應(yīng)變越大；和梁彎曲后中性層的曲率成正比?！?—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)一、梁的正應(yīng)力物理方面a′a′b′o1o2b′yK1K2曲率半徑由縱向纖維間無擠壓，則各條纖維均處于單向受力狀態(tài)，因此，由胡克定律，有：§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)一、梁的正應(yīng)力物理方面彎曲正應(yīng)力分布規(guī)律

彎矩為正時(shí)，正應(yīng)力以中性軸為界，下拉上壓；

彎矩為負(fù)時(shí)，正應(yīng)力上拉下壓；

中性軸上，正應(yīng)力等于零MM問題：中性軸的位置？曲率？§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)一、梁的正應(yīng)力靜力學(xué)方面yZOxM在橫截面上法向內(nèi)力元素dA

構(gòu)成了空間平行力系。dAzy根據(jù)梁上只有外力偶M這一條件可知，上式中的

FN

和My均等于零，而MZ就是橫截面上的彎矩M。——①——②——③§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)一、梁的正應(yīng)力靜力學(xué)方面yZOxMdAzy——說明中性軸過形心由①式得：§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)一、梁的正應(yīng)力靜力學(xué)方面yZOxMdAzy——說明中性軸是截面的主軸由②式得：由①②式可知，中性軸是截面的形心主軸對稱軸為截面的形心主軸，彎曲變形時(shí)對稱軸就是中性軸§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)一、梁的正應(yīng)力靜力學(xué)方面yZOxMdAzy由③式得：該式說明，中性層曲率與彎矩成正比，與EIZ成反比。IZ——截面對中性軸的慣性矩EIZ——彎曲剛度（抗彎剛度）§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)一、梁的正應(yīng)力靜力學(xué)方面IZ——截面對中性軸的慣性矩M——截面的彎矩y——求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離中性軸是截面的形心主軸，彎曲變形時(shí)對稱軸就是中性軸M正比反比——梁的正應(yīng)力公式§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)一、梁的正應(yīng)力IZ——截面對中性軸的慣性矩M——截面的彎矩y——求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離注意：1、此公式是在純彎曲狀態(tài)下推導(dǎo)出來的，對于細(xì)長梁的剪力彎曲（FS≠0）仍然適用；2、對其它對稱形狀的梁也適用（工字型、T形等）；§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)一、梁的正應(yīng)力

應(yīng)用公式時(shí)，一般將M、y以絕對值代入，根據(jù)梁變形的情況直接判斷

的正、負(fù)號。以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力（

為正號），凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力（

為負(fù)號）。yyCZCZ中性軸§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算yyCZCZ中性軸將橫截面分為受拉和受壓兩部分。M拉壓M拉壓§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算IZ——截面對中性軸的慣性矩y——求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離yZCWZ稱為彎曲截面系數(shù)（抗彎截面模量），只與截面形狀和尺寸有關(guān)，單位m3令：梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在危險(xiǎn)截面上離中性軸最遠(yuǎn)處§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)一、梁的正應(yīng)力矩形截面圓形截面yzhbdyz注：h是與中性軸垂直方向的長度§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)一、梁的正應(yīng)力假設(shè)：（1）截面上各點(diǎn)切應(yīng)力的方向都平行于截面的剪力；（2）切應(yīng)力沿截面寬度方向均勻分布，即距離中性軸等距離各點(diǎn)的切應(yīng)力相等。由彈性力學(xué)可知，對狹長矩形截面（高度h大于寬度b），以上假設(shè)成立§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算1、矩形截面梁的切應(yīng)力二、梁的切應(yīng)力mmnnP2P1q(x)mmnnxdxMM+dMFSFS1用橫截面m—m,n—n從梁中截取dx一段。彎矩產(chǎn)生正應(yīng)力剪力產(chǎn)生切應(yīng)力兩橫截面上均有剪力和彎矩。1、矩形截面梁的切應(yīng)力二、梁的切應(yīng)力兩橫截面上的彎矩不等

。所以兩截面上到中性軸距離相等的點(diǎn)（用y表示）其正應(yīng)力也不等。mmnn正應(yīng)力（）分布圖ymmnnMM+dMFSFSmnnmohbdxxyz2在距離中性軸y處假想地從梁段上截出體積元素mB1yABA1B1§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算1、矩形截面梁的切應(yīng)力二、梁的切應(yīng)力mnnmohbdxxyzyxzyBmnAB1A1體積元素mB1在兩端面mA1、nB1上兩個(gè)法向內(nèi)力不等。3yABA1B14在縱截面AB1上必有沿x方向的切向內(nèi)力dFS’。此面上也就有切應(yīng)力，且縱截面AB1上的切應(yīng)力可看做近似均勻分布?！?—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算mnnmohbdxxyzyABA1B1BB1yxzyBmnAB1A1在AB1面上的AA1線各點(diǎn)處有切應(yīng)力。根椐切應(yīng)力互等定理，在橫截面上橫線AA1上也應(yīng)有切應(yīng)力。(所求)§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算yxzyBmnAB1A1由靜力平衡方程，求出dFS’。推導(dǎo)公式步驟：1和分別求出mA1和nB1面上正應(yīng)力的合力234dFS’除以AB1面的面積得縱截面上的切應(yīng)力。由此得到橫截面上距中性軸為任意y的點(diǎn)上的切應(yīng)力公式。§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算yxzBmnAB1A1y1用A*記作mA1的面積Sz*是面積A*

對中性軸z的靜矩。§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算假設(shè)m—m,n—n上的彎矩為M和M+dM。兩截面上距中性軸y1處的正應(yīng)力為

1和

2。1求FN1*和FN2*yxzBmnAB1A1y1Sz*是面積A*對中性軸z的靜矩。同理A*為距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積。§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算yxzBmnAB1A1y12由靜力平衡方程求dFS’§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算yxzBmnAB1A13求縱截面上的切應(yīng)力’bdx4由切應(yīng)力互等定理得橫截面上距中性軸為任意y的點(diǎn)，其切應(yīng)力

的計(jì)算公式§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算ZIz

—整個(gè)橫截面對中性軸的慣性矩Sz*—過求切應(yīng)力的點(diǎn)做與中性軸平行的直線，該線任一邊的橫截面面積對中性軸的靜矩FS

—橫截面上的剪力yb—矩形截面平行于中性軸的邊長狹長矩形截面梁平面彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力計(jì)算公式?！?—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算1、矩形截面梁的切應(yīng)力二、梁的切應(yīng)力切應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律nBmAxyzOy

沿截面高度的變化由靜矩與y之間的關(guān)系確定§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算1、矩形截面梁的切應(yīng)力二、梁的切應(yīng)力nBmAxyzOy切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。z切應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律（即在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)處)(即在中性軸上各點(diǎn)處），切應(yīng)力達(dá)到最大值y=0A=bh（矩形截面的面積）§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算例：一矩形截面簡支梁，已知：l＝3m，h＝160mm，b＝100mm，h1＝40mm，F(xiàn)＝3KN，求m-m截面上K點(diǎn)的切應(yīng)力。BAzl/3mFFl/3l/3ml/6Kbhh1解：先求mm截面的剪力y0§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算工字形截面可看成是由上、下翼緣及中間腹板組成z上翼緣下翼緣腹板上、下翼緣及中間腹板均存在切應(yīng)力§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、其它常見截面梁的切應(yīng)力二、梁的切應(yīng)力（1）、工字形截面腹板就是一個(gè)狹長矩形z上翼緣腹板Iz

—整個(gè)工字形截面對中性軸的慣性矩Sz*—欲求應(yīng)力的點(diǎn)到截面邊緣間的面積（圖中陰影）A*對中性軸的靜矩FS

—橫截面上的剪力b1—工字形截面腹板的厚度yb1b切應(yīng)力的方向與剪力FS的方向一致§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、其它常見截面梁的切應(yīng)力二、梁的切應(yīng)力（1）、工字形截面z上翼緣腹板最大切應(yīng)力在中性軸上，這也是整個(gè)橫截面上的最大切應(yīng)力。腹板上的切應(yīng)力沿腹板高度按二次拋物線規(guī)律變化b1b§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、其它常見截面梁的切應(yīng)力二、梁的切應(yīng)力（1）、工字形截面腹板上切應(yīng)力變化不大，可近似看做均勻分布。zτ水平

—沿著水平方向成直線分布§7—7梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算翼緣上的切應(yīng)力情況復(fù)雜豎向切應(yīng)力水平切應(yīng)力：很小且復(fù)雜，不考慮：認(rèn)為沿翼緣厚度均勻分布2、其它常見截面梁的切應(yīng)力二、梁的切應(yīng)力（1）、工字形截面z判斷翼緣切應(yīng)力的方向——切應(yīng)力流切應(yīng)力流對所有開口薄壁截面均適用方向：已知剪力FS→腹板切應(yīng)力τ